Проблема свободной границы

В математике задача со свободной границей (задача FB) — это уравнение в частных производных , которое необходимо решить как относительно неизвестной функции, так и относительно неизвестной области . Участок границы , который неизвестен в начале задачи, называется свободной границей .${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \Омега}$

FB возникают в различных математических моделях, охватывающих приложения, которые варьируются от физических до экономических, финансовых и биологических явлений, где есть дополнительный эффект среды. Этот эффект в общем случае является качественным изменением среды и, следовательно, проявлением фазового перехода : лед в воду, жидкость в кристалл, покупка в продажу (активы), активное в неактивное (биология), синий в красный (игры-раскраски), неорганизованное в организованное (самоорганизующаяся критичность). Интересным аспектом такой критичности является так называемая динамика песочной кучи (или внутренняя DLA).

Самый классический пример — таяние льда: имея кусок льда, можно решить уравнение теплопроводности, задав соответствующие начальные и граничные условия , чтобы определить его температуру. Но если в какой-либо области температура больше точки плавления льда, эта область будет занята жидкой водой. Граница, образованная из интерфейса лед/жидкость, динамически контролируется решением уравнения в частных производных.

Плавление льда — это задача Стефана для температурного поля , которая формулируется следующим образом. Рассмотрим среду, занимающую область, состоящую из двух фаз, фазы 1, которая присутствует при , и фазы 2, которая присутствует при . Пусть две фазы имеют температуропроводности и . Например, температуропроводность воды составляет 1,4×10−7 ^м 2 ^/ с, а диффузия льда составляет 1,335×10−6 ^м 2 ^/ с.${\displaystyle Т}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle Т>0}$${\displaystyle Т<0}$ ${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{2}}$

В областях, состоящих только из одной фазы, температура определяется уравнением теплопроводности: в области ,${\displaystyle Т>0}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{1}\nabla T)+Q}$

в то время как в регионе ,${\displaystyle Т<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{2}\nabla T)+Q.}$

Это зависит от соответствующих условий на (известной) границе ; представляет собой источники или поглотители тепла.${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle Q}$

Пусть будет поверхностью, где в момент времени ; эта поверхность является границей раздела между двумя фазами. Пусть обозначает единичный внешний нормальный вектор ко второй (твердой) фазе. Условие Стефана определяет эволюцию поверхности , давая уравнение, регулирующее скорость свободной поверхности в направлении , а именно${\displaystyle \Гамма _{t}}$${\displaystyle Т=0}$${\displaystyle т}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle LV=\alpha _{1}\partial _{\nu }T_{1}-\alpha _{2}\partial _{\nu }T_{2},}$

где — скрытая теплота плавления. Под мы подразумеваем предел градиента при приближении из области , а для мы подразумеваем предел градиента при приближении из области .${\displaystyle L}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Гамма _{t}}$${\displaystyle Т>0}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Гамма _{t}}$${\displaystyle Т<0}$

В этой задаче мы заранее знаем всю область , но знаем только границу раздела лед-жидкость в момент времени . Чтобы решить задачу Стефана, нам нужно не только решить уравнение теплопроводности в каждой области, но и отслеживать свободную границу .${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle т=0}$${\displaystyle \Гамма}$

Однофазная задача Стефана соответствует принятию либо , либо равным нулю; это частный случай двухфазной задачи. В направлении большей сложности мы могли бы также рассматривать задачи с произвольным числом фаз.${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{2}}$

Другая известная задача со свободной границей — задача о препятствии , которая тесно связана с классическим уравнением Пуассона . Решения дифференциального уравнения

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=g}$

удовлетворяют вариационному принципу, то есть они минимизируют функционал

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{\Omega } фу\,\матрм {d} x}$

по всем функциям, принимающим значение на границе. В задаче о препятствии накладываем дополнительное ограничение: минимизируем функционал при условии${\displaystyle u}$${\displaystyle г}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle u\leq \varphi \,}$

в , для некоторой заданной функции .${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \varphi}$

Определим множество совпадений C как область, где . Кроме того, определим множество несовпадений как область, где не равно , а свободную границу как интерфейс между ними. Тогда удовлетворяет задаче свободной границы${\displaystyle u=\varphi}$${\displaystyle N=\Omega \setminus C}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f{\text{ в }}N,\quad u=g}$

на границе , и${\displaystyle \Омега}$

${\displaystyle u\leq \varphi {\text{in }}|\Omega,\quad \nabla u=\nabla \varphi {\text{on }}\Gamma .\,}$

Обратите внимание, что множество всех функций таких, что является выпуклым. Если задача Пуассона соответствует минимизации квадратичного функционала по линейному подпространству функций, то задача со свободной границей соответствует минимизации по выпуклому множеству.${\displaystyle v}$${\displaystyle v\leq \varphi }$

Многие проблемы со свободной границей можно с пользой рассматривать как вариационные неравенства для анализа. Чтобы проиллюстрировать этот момент, сначала обратимся к минимизации функции действительных переменных на выпуклом множестве ; минимизатор характеризуется условием${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \nabla F(x)\cdot (y-x)\geq 0{\text{ for all }}y\in C.\,}$

Если находится внутри , то градиент должен быть равен нулю; если находится на границе , то градиент при должен быть перпендикулярен границе.${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

Та же идея применима к минимизации дифференцируемого функционала на выпуклом подмножестве гильбертова пространства , где градиент теперь интерпретируется как вариационная производная. Чтобы конкретизировать эту идею, мы применим ее к проблеме препятствия, которая может быть записана как${\displaystyle F}$

${\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla ^{2}u+f)(v-u)\,\mathrm {d} x\geq 0{\text{ for all }}v\leq \varphi .}$

Эта формулировка позволяет определить слабое решение: использование интегрирования по частям в последнем уравнении дает, что

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla (v-u)\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }f(v-u)\,\mathrm {d} x{\text{ for all }}v\leq \varphi .}$

Это определение требует только наличия одной производной, во многом так же, как и слабая формулировка эллиптических краевых задач.${\displaystyle u}$

В теории эллиптических уравнений с частными производными существование слабого решения дифференциального уравнения демонстрируется с достаточной легкостью, используя некоторые аргументы функционального анализа. Однако показанное слабое решение лежит в пространстве функций с меньшим количеством производных, чем хотелось бы; например, для задачи Пуассона мы можем легко утверждать, что существует слабое решение, которое находится в , но оно может не иметь вторых производных. Затем применяются некоторые оценки исчисления, чтобы продемонстрировать, что слабое решение на самом деле достаточно регулярно.${\displaystyle H^{1}}$

Для задач со свободной границей эта задача более трудна по двум причинам. Во-первых, решения часто демонстрируют разрывные производные по свободной границе, в то время как они могут быть аналитическими в любой окрестности вне ее. Во-вторых, необходимо также продемонстрировать регулярность самой свободной границы. Например, для задачи Стефана свободная граница является поверхностью .${\displaystyle C^{1/2}}$

С чисто академической точки зрения свободные границы принадлежат к более широкому классу проблем, обычно называемых переопределенными проблемами, или как Дэвид Киндерлерер и Гвидо Стампаккиа рассматривали их в своей книге: Проблема соответствия данных Коши. Другие связанные FBP, которые можно упомянуть, это проблема Помпейю, гипотезы Шиффера. Смотрите внешние ссылки ниже.

Другим подходом, используемым для моделирования подобных проблем, является модель фазового поля .

• Алексиадес, Василиос (1993), Математическое моделирование процессов плавления и замерзания , Hemisphere Publishing Corporation, ISBN 1-56032-125-3
• Фридман, Авнер (1982), Вариационные принципы и задачи со свободной границей , John Wiley and Sons, Inc., ISBN 978-0-486-47853-1
• Киндерлерер, Дэвид; Стампаккиа, Гвидо (1980), Введение в вариационные неравенства и их приложения , Academic Press, ISBN 0-89871-466-4
• Каффарелли, Луис; Сальса, Сандро (2005), Геометрический подход к задачам со свободной границей. Аспирантура по математике , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 0-8218-3784-2
• Петросян, Аршак; Шахголян, Генрик; Уральцева, Нина (2012), Регулярность свободных границ в задачах типа препятствий. Аспирантура по математике , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-8794-3

• Задача о сопоставлении в PDE,
• Проблема Помпейю,
• Гипотеза Шиффера,