Алгебра Фреше

В математике , особенно в функциональном анализе , алгебра Фреше , названная в честь Мориса Рене Фреше , является ассоциативной алгеброй над действительными или комплексными числами, которая в то же время является ( локально выпуклым ) пространством Фреше . Операция умножения для должна быть совместно непрерывной . Если — возрастающее семейство ^[a]полунорм для топологии , совместная непрерывность умножения эквивалентна наличию константы и целого числа для каждого такого, что для всех . ^[b] Алгебры Фреше также называются B ₀ -алгебрами. ^[1] $А$ $(a,b)\mapsto a*b$ $a,b\in A$ $\{\|\cdot \|_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ $А$ $C_{n}>0$ $m\geq n$ $n$ $\left\|ab\right\|_{n}\leq C_{n}\left\|a\right\|_{m}\left\|b\right\|_{m}$ $a,b\in A$

Алгебра Фреше является -выпуклой, если существует такое семейство полунорм, для которого . В этом случае, перемасштабируя полунормы, мы можем также взять для каждой и полунормы называются субмультипликативными : для всех ^[c] -выпуклые алгебры Фреше также можно назвать алгебрами Фреше. ^[2] $м$ $м=н$ $C_{n}=1$ $n$ $\|ab\|_{n}\leq \|a\|_{n}\|b\|_{n}$ $a,b\in A.$ $м$

Алгебра Фреше может иметь или не иметь единичный элемент . Если унитальна , мы не требуем этого, как это часто делается для банаховых алгебр . $1_{A}$ $А$ $\|1_{A}\|_{n}=1,$

Характеристики

Непрерывность умножения. Умножение является раздельно непрерывным , если и для любой и последовательности, сходящейся в топологии Фреше . Умножение является совместно непрерывным, если и подразумевают . Совместная непрерывность умножения является частью определения алгебры Фреше. Для пространства Фреше со структурой алгебры, если умножение является раздельно непрерывным, то оно автоматически совместно непрерывным. ^[3] $a_{k}b\to ab$ $ba_{k}\to ba$ $a,b\in A$ $a_{k}\to a$ $А$ $a_{k}\to a$ $b_{k}\to b$ $a_{k}b_{k}\to ab$
Группа обратимых элементов. Если — множество обратимых элементов , то обратное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда — множество . ^[4] В отличие от банаховых алгебр , может не быть открытым множеством . Если — открыто, то называется -алгеброй . (Если оказывается неунитальным , то мы можем присоединить единицу к ^[d] и работать с , или множество квазиобратимых ^[e] может занять место .) $invA$ $А$ ${\begin{cases}invA\to invA\\u\mapsto u^{-1}\end{cases}}$ $invA$ $G_{\delta}$ $invA$ $invA$ $А$ $Q$ $А$ $А$ $invA^{+}$ $invA$
Условия для -выпуклости. $м$ Алгебра Фреше является -выпуклой тогда и только тогда, когда для каждого , тогда и только тогда, когда для одного , возрастающего семейства полунорм, которые топологизируют , для каждого существует и такое, что для всех и . ^[5] Коммутативная -алгебра Фреше является -выпуклой, ^[6] но существуют примеры некоммутативных -алгебр Фреше, которые не являются -выпуклыми. ^[7] $м$ $\{\|\cdot \|_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ $А$ $m\in \mathbb {N}$ $p\geq m$ $C_{м}>0$ $\|a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\|_{m}\leq C_{m}^{n}\|a_{1}\|_{p}\|a_{2}\|_{p}\cdots \|a_{n}\|_{p},$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A$ $n\in \mathbb {N}$ $Q$ $м$ $Q$ $м$
Свойства -выпуклых алгебр Фреше. $м$ Алгебра Фреше является -выпуклой тогда и только тогда, когда она является счетным проективным пределом банаховых алгебр. ^[8] Элемент обратим тогда и только тогда, когда его образ в каждой банаховой алгебре проективного предела обратим. ^[f]^[9]^[10] $м$ $А$

Примеры

Нулевое умножение. Если — любое пространство Фреше, мы можем создать структуру алгебры Фреше, установив для всех . $E$ $e*f=0$ $e,f\in E$
Гладкие функции на окружности. Пусть будет 1-сферой . Это одномерное компактное дифференцируемое многообразие без границы . Пусть будет множеством бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на . Это, очевидно, алгебра над комплексными числами для поточечного умножения. (Используйте правило произведения для дифференцирования .) Она коммутативна, и постоянная функция действует как тождество. Определим счетное множество полунорм на с помощью , где обозначает супремум абсолютного значения производной th . ^[g] Тогда по правилу произведения для дифференцирования имеем , где обозначает биномиальный коэффициент и Штрихованные полунормы являются субмультипликативными после повторного масштабирования с помощью . $S^{1}$ $A=C^{\infty}(S^{1})$ $S^{1}$ $1$ $А$ $\left\|\varphi \right\|_{n}=\left\|\varphi ^{(n)}\right\|_{\infty },\qquad \varphi \in A,$ $\left\|\varphi ^{(n)}\right\|_{\infty }=\sup _{x\in {S^{1}}}\left|\varphi ^{(n)}(x)\right|$ $n$ $\varphi^{(n)}$ ${\begin{aligned}\|\varphi \psi \|_{n}&=\left\|\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\varphi ^{(i)}\psi ^{(n-i)}\right\|_{\infty }\\&\leq \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\|\varphi \|_{i}\|\psi \|_{n-i}\\&\leq \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\|\varphi \|'_{n}\|\psi \|'_{n}\\&=2^{n}\|\varphi \|'_{n}\|\psi \|'_{n},\end{aligned}}$ ${n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}},$ $\|\cdot \|'_{n}=\max _{k\leq n}\|\cdot \|_{k}.$ $C_{n}=2^{n}$
Последовательности на . $\mathbb {N}$ Пусть будет пространством комплекснозначных последовательностей на натуральных числах . Определим возрастающее семейство полунорм на с помощью С поточечным умножением, является коммутативной алгеброй Фреше. Фактически, каждая полунорма является субмультипликативной для . Эта -выпуклая алгебра Фреше является унитальной, поскольку постоянная последовательность находится в . $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ $\|\varphi \|_{n}=\max _{k\leq n}|\varphi (k)|.$ $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ $\|\varphi \psi \|_{n}\leq \|\varphi \|_{n}\|\psi \|_{n}$ $\varphi ,\psi \in A$ $m$ $1(k)=1,k\in \mathbb {N}$ $A$
Оснащенная топологией равномерной сходимости на компактных множествах и поточечным умножением, , алгебра всех непрерывных функций на комплексной плоскости , или алгебра голоморфных функций на . $C(\mathbb {C} )$ $\mathbb {C}$ $\mathrm {Hol} (\mathbb {C} )$ $\mathbb {C}$
Сверточная алгебра быстро исчезающих функций на конечно порожденной дискретной группе. Пустьбудет конечно порожденной группой с дискретной топологией . Это означает, что существует набор из конечного числа элементов,такой что:Без потери общности мы можем также предположить, что единичный элементсодержитсяв. Определим функциюс помощьюТогда, и, так как мы определяем.^[h] Пустьбудет-векторным пространством, где полунормыопределяются с помощью^[i] является-выпуклой алгеброй Фреше для сверточного умножения^[j] является унитальной, посколькуявляется дискретной, иявляется коммутативной тогда и только тогда, когдаявляется абелевой . $G$ $U=\{g_{1},\dots ,g_{n}\}\subseteq G$ $\bigcup _{n=0}^{\infty }U^{n}=G.$ $e$ $G$ $U$ $\ell :G\to [0,\infty )$ $\ell (g)=\min\{n\mid g\in U^{n}\}.$ $\ell (gh)\leq \ell (g)+\ell (h)$ $\ell (e)=0$ $U^{0}=\{e\}$ $A$ $\mathbb {C}$ $S(G)={\biggr \{}\varphi :G\to \mathbb {C} \,\,{\biggl |}\,\,\|\varphi \|_{d}<\infty ,\quad d=0,1,2,\dots {\biggr \}},$ $\|\cdot \|_{d}$ $\|\varphi \|_{d}=\|\ell ^{d}\varphi \|_{1}=\sum _{g\in G}\ell (g)^{d}|\varphi (g)|.$ $A$ $m$ $\varphi *\psi (g)=\sum _{h\in G}\varphi (h)\psi (h^{-1}g),$ $A$ $G$ $A$ $G$
Невыпуклые алгебры Фреше. $m$ Алгебра Арена является примером коммутативной невыпуклой алгебры Фреше с разрывной инверсией. Топология задается нормами , а умножение задается сверткой функций относительно меры Лебега на . ^[11] $A=L^{\omega }[0,1]=\bigcap _{p\geq 1}L^{p}[0,1]$ $m$ $L^{p}$ $\|f\|_{p}=\left(\int _{0}^{1}|f(t)|^{p}dt\right)^{1/p},\qquad f\in A,$ $[0,1]$

Обобщения

Мы можем отказаться от требования, чтобы алгебра была локально выпуклой, но все еще полным метрическим пространством. В этом случае базовое пространство можно назвать пространством Фреше ^[12] или F-пространством . ^[13]

Если требование, чтобы число полунорм было счетным, отбрасывается, алгебра становится локально выпуклой (LC) или локально мультипликативно выпуклой (LMC). ^[14] Полная алгебра LMC называется алгеброй Аренса-Майкла. ^[15]

Гипотеза Майкла

Вопрос о том, являются ли все линейные мультипликативные функционалы на -выпуклой алгебре Фреше непрерывными, известен как гипотеза Майкла. ^[16] Долгое время эта гипотеза была, пожалуй, самой известной открытой проблемой в теории топологических алгебр. Гипотеза Майкла была полностью и утвердительно решена в 2022 году. ^[17] $m$

Примечания

^ Увеличение семьи означает, что для каждого $a\in A,$
$\|a\|_{0}\leq \|a\|_{1}\leq \cdots \leq \|a\|_{n}\leq \cdots$ .
^ Совместная непрерывность умножения означает, что для каждой абсолютно выпуклой окрестности нуля существует абсолютно выпуклая окрестность нуля, для которой из которой следует неравенство полунормы. Обратно, $V$ $U$ $U^{2}\subseteq V,$
${\begin{aligned}&{}\|a_{k}b_{k}-ab\|_{n}\\&=\|a_{k}b_{k}-ab_{k}+ab_{k}-ab\|_{n}\\&\leq \|a_{k}b_{k}-ab_{k}\|_{n}+\|ab_{k}-ab\|_{n}\\&\leq C_{n}{\biggl (}\|a_{k}-a\|_{m}\|b_{k}\|_{m}+\|a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}{\biggr )}\\&\leq C_{n}{\biggl (}\|a_{k}-a\|_{m}\|b\|_{m}+\|a_{k}-a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}+\|a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}{\biggr )}.\end{aligned}}$
^ Другими словами, -выпуклая алгебра Фреше является топологической алгеброй , в которой топология задается счетным семейством субмультипликативных полунорм: и алгебра является полной. $m$ $p(fg)\leq p(f)p(g),$
^ Если — алгебра над полем , то ее единицей является прямая сумма , а умножение определяется как $A$ $k$ $A^{+}$ $A$ $A\oplus k1$ $(a+\mu 1)(b+\lambda 1)=ab+\mu b+\lambda a+\mu \lambda 1.$
^ Если , то является квазиобратным для , если . $a\in A$ $b\in A$ $a$ $a+b-ab=0$
^ Если неунитальна, замените «обратимый» на «квазиобратимый». $A$
^ Чтобы увидеть полноту, пусть будет последовательностью Коши. Тогда каждая производная является последовательностью Коши в sup-норме на и, следовательно, равномерно сходится к непрерывной функции на . Достаточно проверить, что является -й производной от . Но, используя фундаментальную теорему исчисления и взяв предел внутри интеграла (используя равномерную сходимость ), мы имеем $\varphi _{k}$ $\varphi _{k}^{(l)}$ $S^{1}$ $\psi _{l}$ $S^{1}$ $\psi _{l}$ $l$ $\psi _{0}$
${\begin{aligned}&{}\psi _{l}(x)-\psi _{l}(x_{0})\\=&{}\lim _{k\to \infty }\left(\varphi _{k}^{(l)}(x)-\varphi _{k}^{(l)}(x_{0})\right)\\=&{}\lim _{k\to \infty }\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{k}^{(l+1)}(t)dt\\=&{}\int _{x_{0}}^{x}\psi _{l+1}(t)dt.\end{aligned}}$
^ Мы можем заменить генерирующий набор на , так что . Тогда удовлетворяет дополнительному свойству и является функцией длины на . $U$ $U\cup U^{-1}$ $U=U^{-1}$ $\ell$ $\ell (g^{-1})=\ell (g)$ $G$
^ Чтобы увидеть, что есть пространство Фреше, пусть будет последовательностью Коши. Тогда для каждого , есть последовательность Коши в . Определим как предел. Тогда $A$ $\varphi _{n}$ $g\in G$ $\varphi _{n}(g)$ $\mathbb {C}$ $\varphi (g)$
${\begin{aligned}&\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|\\&\leq \sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi _{m}(g)|+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{m}(g)-\varphi (g)|\\&\leq \|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|_{d}+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{m}(g)-\varphi (g)|,\end{aligned}}$
где сумма пробегает любое конечное подмножество . Пусть , и пусть таковы, что для . Позволяя работать, мы имеем $S$ $G$ $\epsilon >0$ $K_{\epsilon }>0$ $\|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|_{d}<\epsilon$ $m,n\geq K_{\epsilon }$ $m$
$\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|<\epsilon$
для . Суммируя по всем , имеем поэтому для . По оценке $n\geq K_{\epsilon }$ $G$ $\left\|\varphi _{n}-\varphi \right\|_{d}<\epsilon$ $n\geq K_{\epsilon }$
${\begin{aligned}&{}\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi (g)|\\&{}\leq \sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)|\\&{}\leq \|\varphi _{n}-\varphi \|_{d}+\|\varphi _{n}\|_{d},\end{aligned}}$
получаем . Поскольку это справедливо для каждого , то в топологии Фреше имеем и , поэтому является полным. $\|\varphi \|_{d}<\infty$ $d\in \mathbb {N}$ $\varphi \in A$ $\varphi _{n}\to \varphi$ $A$
^
${\begin{aligned}&\|\varphi *\psi \|_{d}\\&\leq \sum _{g\in G}\left(\sum _{h\in G}\ell (g)^{d}|\varphi (h)|\left|\psi (h^{-1}g)\right|\right)\\&\leq \sum _{g,h\in G}\left(\ell (h)+\ell \left(h^{-1}g\right)\right)^{d}|\varphi (h)|\left|\psi (h^{-1}g)\right|\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\left(\sum _{g,h\in G}\left|\ell ^{i}\varphi (h)\right|\left|\ell ^{d-i}\psi (h^{-1}g)\right|\right)\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\left(\sum _{h\in G}\left|\ell ^{i}\varphi (h)\right|\right)\left(\sum _{g\in G}\left|\ell ^{d-i}\psi (g)\right|\right)\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\|\varphi \|_{i}\|\psi \|_{d-i}\\&\leq 2^{d}\|\varphi \|'_{d}\|\psi \|'_{d}\end{aligned}}$

Цитаты

^ Митягин, Ролевич и Желязко 1962; Желязько 2001.
^ Хусейн 1991; Желязко 2001.
^ Waelbroeck 1971, Глава VII, Предложение 1; Palmer 1994, 2.9. $\S$
^ Waelbroeck 1971, Глава VII, Предложение 2.
^ Митягин, Ролевич и Желязко 1962, Лемма 1.2.
^ Желязко 1965, Теорема 13.17.
^ Желязько 1994, стр. 283–290.
↑ Майкл 1952, Теорема 5.1.
↑ Майкл 1952, Теорема 5.2.
↑ См. также Palmer 1994, теорема 2.9.6.
^ Фрагулопулу 2005, Пример 6.13 (2).
^ Вальбрук 1971.
^ Рудин 1973, 1.8(e).
↑ Майкл 1952; Хусейн 1991.
^ Фрагулопулу 2005, Глава 1.
↑ Майкл 1952, 12, Вопрос 1; Палмер 1994, 3.1. $\S$ $\S$
^ Патель, SR (2022-06-28). «Об утвердительном решении знаменитой проблемы Майкла в теории алгебр Фреше с приложениями к теории автоматической непрерывности». arXiv : 2006.11134 [math.FA].

Источники

Фрагулопулу, Мария (2005). «Библиография». Топологические алгебры с инволюцией . North-Holland Mathematics Studies. Том 200. Амстердам: Elsevier BV стр. 451–485. doi :10.1016/S0304-0208(05)80031-3. ISBN 978-044452025-8.
Хусейн, Такдир (1991). Ортогональные базисы Шаудера . Чистая и прикладная математика. Том. 143. Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN 0-8247-8508-8.
Майкл, Эрнест А. (1952). Локально мультипликативно-выпуклые топологические алгебры . Мемуары Американского математического общества. Т. 11. MR 0051444.
Митягин Б.; Ролевич, С.; Желязько, В. (1962). «Целые функции в B0-алгебрах». Студия Математика . 21 (3): 291–306. дои : 10.4064/см-21-3-291-306 . МР 0144222.
Palmer, TW (1994). Банаховы алгебры и общая теория *-алгебр, том I: Алгебры и банаховы алгебры . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 49. Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-052136637-3.
Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Серия по высшей математике. Нью-Йорк: McGraw-Hill Book. 1.8(e). ISBN 978-007054236-5– через Интернет-архив .
Waelbroeck, Lucien (1971). Топологические векторные пространства и алгебры . Конспект лекций по математике. Том 230. doi :10.1007/BFb0061234. ISBN 978-354005650-8. МР 0467234.
Желяшко, В. (1965). «Метрические обобщения банаховых алгебр». Розправый мат. (Диссертации по математике) . 47 . Теорема 13.17. МР 0193532.
Желязко, В. (1994). «О целых функциях в B0-алгебрах». Studia Mathematica . 110 (3): 283–290. doi : 10.4064/sm-110-3-283-290 . MR 1292849.
Желязко, В. (2001) [1994]. «Алгебра Фреше». Энциклопедия математики . Издательство EMS.

[1] Увеличение семьи означает, что для каждого $a\in A,$
$\|a\|_{0}\leq \|a\|_{1}\leq \cdots \leq \|a\|_{n}\leq \cdots$ .

[2] Совместная непрерывность умножения означает, что для каждой абсолютно выпуклой окрестности нуля существует абсолютно выпуклая окрестность нуля, для которой из которой следует неравенство полунормы. Обратно, $V$ $U$ $U^{2}\subseteq V,$
${\begin{aligned}&{}\|a_{k}b_{k}-ab\|_{n}\\&=\|a_{k}b_{k}-ab_{k}+ab_{k}-ab\|_{n}\\&\leq \|a_{k}b_{k}-ab_{k}\|_{n}+\|ab_{k}-ab\|_{n}\\&\leq C_{n}{\biggl (}\|a_{k}-a\|_{m}\|b_{k}\|_{m}+\|a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}{\biggr )}\\&\leq C_{n}{\biggl (}\|a_{k}-a\|_{m}\|b\|_{m}+\|a_{k}-a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}+\|a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}{\biggr )}.\end{aligned}}$

[4] Другими словами, -выпуклая алгебра Фреше является топологической алгеброй , в которой топология задается счетным семейством субмультипликативных полунорм: и алгебра является полной. $m$ $p(fg)\leq p(f)p(g),$

[8] Если — алгебра над полем , то ее единицей является прямая сумма , а умножение определяется как $A$ $k$ $A^{+}$ $A$ $A\oplus k1$ $(a+\mu 1)(b+\lambda 1)=ab+\mu b+\lambda a+\mu \lambda 1.$

[9] Если , то является квазиобратным для , если . $a\in A$ $b\in A$ $a$ $a+b-ab=0$

[14] Если неунитальна, замените «обратимый» на «квазиобратимый». $A$

[17] Чтобы увидеть полноту, пусть будет последовательностью Коши. Тогда каждая производная является последовательностью Коши в sup-норме на и, следовательно, равномерно сходится к непрерывной функции на . Достаточно проверить, что является -й производной от . Но, используя фундаментальную теорему исчисления и взяв предел внутри интеграла (используя равномерную сходимость ), мы имеем $\varphi _{k}$ $\varphi _{k}^{(l)}$ $S^{1}$ $\psi _{l}$ $S^{1}$ $\psi _{l}$ $l$ $\psi _{0}$
${\begin{aligned}&{}\psi _{l}(x)-\psi _{l}(x_{0})\\=&{}\lim _{k\to \infty }\left(\varphi _{k}^{(l)}(x)-\varphi _{k}^{(l)}(x_{0})\right)\\=&{}\lim _{k\to \infty }\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{k}^{(l+1)}(t)dt\\=&{}\int _{x_{0}}^{x}\psi _{l+1}(t)dt.\end{aligned}}$

[18] Мы можем заменить генерирующий набор на , так что . Тогда удовлетворяет дополнительному свойству и является функцией длины на . $U$ $U\cup U^{-1}$ $U=U^{-1}$ $\ell$ $\ell (g^{-1})=\ell (g)$ $G$

[19] Чтобы увидеть, что есть пространство Фреше, пусть будет последовательностью Коши. Тогда для каждого , есть последовательность Коши в . Определим как предел. Тогда $A$ $\varphi _{n}$ $g\in G$ $\varphi _{n}(g)$ $\mathbb {C}$ $\varphi (g)$
${\begin{aligned}&\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|\\&\leq \sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi _{m}(g)|+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{m}(g)-\varphi (g)|\\&\leq \|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|_{d}+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{m}(g)-\varphi (g)|,\end{aligned}}$
где сумма пробегает любое конечное подмножество . Пусть , и пусть таковы, что для . Позволяя работать, мы имеем $S$ $G$ $\epsilon >0$ $K_{\epsilon }>0$ $\|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|_{d}<\epsilon$ $m,n\geq K_{\epsilon }$ $m$
$\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|<\epsilon$
для . Суммируя по всем , имеем поэтому для . По оценке $n\geq K_{\epsilon }$ $G$ $\left\|\varphi _{n}-\varphi \right\|_{d}<\epsilon$ $n\geq K_{\epsilon }$
${\begin{aligned}&{}\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi (g)|\\&{}\leq \sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)|\\&{}\leq \|\varphi _{n}-\varphi \|_{d}+\|\varphi _{n}\|_{d},\end{aligned}}$
получаем . Поскольку это справедливо для каждого , то в топологии Фреше имеем и , поэтому является полным. $\|\varphi \|_{d}<\infty$ $d\in \mathbb {N}$ $\varphi \in A$ $\varphi _{n}\to \varphi$ $A$

[20] 
${\begin{aligned}&\|\varphi *\psi \|_{d}\\&\leq \sum _{g\in G}\left(\sum _{h\in G}\ell (g)^{d}|\varphi (h)|\left|\psi (h^{-1}g)\right|\right)\\&\leq \sum _{g,h\in G}\left(\ell (h)+\ell \left(h^{-1}g\right)\right)^{d}|\varphi (h)|\left|\psi (h^{-1}g)\right|\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\left(\sum _{g,h\in G}\left|\ell ^{i}\varphi (h)\right|\left|\ell ^{d-i}\psi (h^{-1}g)\right|\right)\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\left(\sum _{h\in G}\left|\ell ^{i}\varphi (h)\right|\right)\left(\sum _{g\in G}\left|\ell ^{d-i}\psi (g)\right|\right)\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\|\varphi \|_{i}\|\psi \|_{d-i}\\&\leq 2^{d}\|\varphi \|'_{d}\|\psi \|'_{d}\end{aligned}}$

[FOOTNOTEMitiaginRolewiczŻelazko1962Żelazko2001-3] Митягин, Ролевич и Желязко 1962; Желязько 2001.

[5] Хусейн 1991; Желязко 2001.

[6] Waelbroeck 1971, Глава VII, Предложение 1; Palmer 1994, 2.9. $\S$

[FOOTNOTEWaelbroeck1971Chapter_VII,_Proposition_2-7] Waelbroeck 1971, Глава VII, Предложение 2.

[FOOTNOTEMitiaginRolewiczŻelazko1962Lemma_1.2-10] Митягин, Ролевич и Желязко 1962, Лемма 1.2.

[FOOTNOTEŻelazko1965Theorem_13.17-11] Желязко 1965, Теорема 13.17.

[FOOTNOTEŻelazko1994283–290-12] Желязько 1994, стр. 283–290.

[FOOTNOTEMichael1952Theorem_5.1-13] Майкл 1952, Теорема 5.1.

[FOOTNOTEMichael1952Theorem_5.2-15] Майкл 1952, Теорема 5.2.

[16] См. также Palmer 1994, теорема 2.9.6.

[FOOTNOTEFragoulopoulou2005Example_6.13_(2)-21] Фрагулопулу 2005, Пример 6.13 (2).

[FOOTNOTEWaelbroeck1971-22] Вальбрук 1971.

[FOOTNOTERudin19731.8(e)-23] Рудин 1973, 1.8(e).

[FOOTNOTEMichael1952Husain1991-24] Майкл 1952; Хусейн 1991.

[FOOTNOTEFragoulopoulou2005Chapter_1-25] Фрагулопулу 2005, Глава 1.

[26] Майкл 1952, 12, Вопрос 1; Палмер 1994, 3.1. $\S$ $\S$

[27] Патель, SR (2022-06-28). «Об утвердительном решении знаменитой проблемы Майкла в теории алгебр Фреше с приложениями к теории автоматической непрерывности». arXiv : 2006.11134 [math.FA].