Уравнения Колмогорова
Уравнения, характеризующие непрерывные во времени марковские процессы

В теории вероятностей уравнения Колмогорова , включая прямые уравнения Колмогорова и обратные уравнения Колмогорова , характеризуют непрерывные во времени марковские процессы . В частности, они описывают, как вероятность непрерывного во времени марковского процесса в определенном состоянии изменяется со временем.

Диффузионные процессы против скачкообразных процессов

В 1931 году Андрей Колмогоров начал с теории дискретных марковских процессов, которые описываются уравнением Чепмена–Колмогорова , и попытался вывести теорию непрерывных марковских процессов, расширив это уравнение. Он обнаружил, что существуют два вида непрерывных марковских процессов, в зависимости от предполагаемого поведения на малых интервалах времени:

Если вы предполагаете, что «в течение небольшого промежутка времени существует подавляющая вероятность того, что состояние останется неизменным; однако, если оно изменится, то это изменение может быть радикальным» [1] , то вы придете к так называемым скачкообразным процессам .

Другой случай приводит к процессам, таким как «представленные диффузией и броуновским движением ; в них определенно, что некоторое изменение произойдет в любой промежуток времени, каким бы малым оно ни было; только в этом случае определенно, что изменения в течение малых промежутков времени также будут небольшими» [1] .

Для каждого из этих двух видов процессов Колмогоров вывел прямую и обратную системы уравнений (всего четыре).

История

Уравнения названы в честь Андрея Колмогорова, поскольку они были освещены в его основополагающей работе 1931 года. [2]

Уильям Феллер в 1949 году использовал названия «прямое уравнение» и «обратное уравнение» для своей более общей версии пары Колмогорова, как в скачковых, так и в диффузионных процессах. [1] Гораздо позже, в 1956 году, он назвал уравнения для скачковых процессов «прямыми уравнениями Колмогорова» и «обратными уравнениями Колмогорова». [3]

Другие авторы, такие как Мотоо Кимура [ 4], называли уравнение диффузии (Фоккера–Планка) прямым уравнением Колмогорова, и это название сохранилось до наших дней.

Современный вид

Цепи Маркова с непрерывным временем

Первоначальный вывод уравнений Колмогоровым начинается с уравнения Чепмена–Колмогорова (Колмогоров называл его фундаментальным уравнением ) для непрерывных во времени и дифференцируемых марковских процессов на конечном дискретном пространстве состояний. [2] В этой формулировке предполагается, что вероятности являются непрерывными и дифференцируемыми функциями , где (пространство состояний) и являются конечным и начальным временем соответственно. Также предполагаются адекватные предельные свойства для производных. Феллер выводит уравнения при несколько иных условиях, начиная с концепции чисто разрывного марковского процесса , а затем формулируя их для более общих пространств состояний. [5] Феллер доказывает существование решений вероятностного характера для прямых уравнений Колмогорова и обратных уравнений Колмогорова при естественных условиях. [5] П ( х , с ; у , т ) {\displaystyle P(x,s;y,t)} т > с {\displaystyle т>с} х , у ∈ Ω {\displaystyle x,y\in \Омега} т > с , т , с ∈ Р ≥ 0 {\displaystyle t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}}

Для случая счетного пространства состояний мы ставим вместо . Прямые уравнения Колмогорова имеют вид я , дж {\displaystyle я,j} х , у {\displaystyle x,y}

∂ П я дж ∂ т ( с ; т ) = ∑ к П я к ( с ; т ) А к дж ( т ) {\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)} ,

где — матрица скорости перехода (также известная как матрица генератора), А ( т ) {\displaystyle A(t)}

в то время как обратные уравнения Колмогорова

∂ П я дж ∂ с ( с ; т ) = − ∑ к П к дж ( с ; т ) А я к ( с ) {\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)}

Функции непрерывны и дифференцируемы по обоим временным аргументам. Они представляют вероятность того, что система, которая была в состоянии в момент времени, перейдет в состояние в более позднее время . Непрерывные величины удовлетворяют П я дж ( с ; т ) {\displaystyle P_{ij}(s;t)} я {\displaystyle я} с {\displaystyle с} дж {\displaystyle j} т > с {\displaystyle т>с} А я дж ( т ) {\displaystyle A_{ij}(t)}

А я дж ( т ) = [ ∂ П я дж ∂ ты ( т ; ты ) ] ты = т , А дж к ( т ) ≥ 0 ,   дж ≠ к , ∑ к А дж к ( т ) = 0. {\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}

Связь с производящей функцией

Все еще в случае дискретного состояния, допуская и предполагая, что система изначально находится в состоянии , прямые уравнения Колмогорова описывают задачу начального значения для нахождения вероятностей процесса, учитывая величины . Запишем , где , тогда s = 0 {\displaystyle s=0} i {\displaystyle i} A j k ( t ) {\displaystyle A_{jk}(t)} p k ( t ) = P i k ( 0 ; t ) {\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)} ∑ k p k ( t ) = 1 {\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}

d p k d t ( t ) = ∑ j A j k ( t ) p j ( t ) ; p k ( 0 ) = δ i k , k = 0 , 1 , … . {\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .}

Для случая чистого процесса смерти с постоянными скоростями единственными ненулевыми коэффициентами являются . Позволяя A j , j − 1 = μ j ,   j ≥ 1 {\displaystyle A_{j,j-1}=\mu _{j},\ j\geq 1}

Ψ ( x , t ) = ∑ k x k p k ( t ) , {\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }

система уравнений в этом случае может быть преобразована в частное дифференциальное уравнение для с начальным условием . После некоторых манипуляций система уравнений читается как, [6] Ψ ( x , t ) {\displaystyle {\Psi }(x,t)} Ψ ( x , 0 ) = x i {\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}}

∂ Ψ ∂ t ( x , t ) = μ ( 1 − x ) ∂ Ψ ∂ x ( x , t ) ; Ψ ( x , 0 ) = x i , Ψ ( 1 , t ) = 1. {\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}

Пример из биологии

Ниже приведен пример из биологии: [7]

p n ′ ( t ) = ( n − 1 ) β p n − 1 ( t ) − n β p n ( t ) {\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)}

Это уравнение применяется для моделирования роста населения с рождаемостью . Где - индекс населения, относительно начальной численности населения, - коэффициент рождаемости, и, наконец , , т.е. вероятность достижения определенной численности населения . n {\displaystyle n} β {\displaystyle \beta } p n ( t ) = Pr ( N ( t ) = n ) {\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)}

Аналитическое решение: [7]

p n ( t ) = ( n − 1 ) β e − n β t ∫ 0 t p n − 1 ( s ) e n β s d s {\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s}

Это формула вероятности в терминах предыдущих, т.е. . p n ( t ) {\displaystyle p_{n}(t)} p n − 1 ( t ) {\displaystyle p_{n-1}(t)}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Феллер, В. (1949). «О теории стохастических процессов с особым акцентом на приложения». Труды (первого) симпозиума в Беркли по математической статистике и вероятности . Т. 1. Издательство Калифорнийского университета. С.  403–432 .
  2. ^ аб Колмогоров, Андрей (1931). «Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung» [Об аналитических методах в теории вероятностей]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 104 : 415–458 . doi : 10.1007/BF01457949. S2CID  119439925.
  3. ^ Феллер, Уильям (1957). «О границах и боковых условиях для дифференциальных уравнений Колмогорова». Annals of Mathematics . 65 (3): 527– 570. doi :10.2307/1970064. JSTOR  1970064.
  4. ^ Кимура, Мотоо (1957). «Некоторые проблемы стохастических процессов в генетике». Annals of Mathematical Statistics . 28 (4): 882– 901. doi : 10.1214/aoms/1177706791 . JSTOR  2237051.
  5. ^ ab Феллер, Вилли (1940) «Об интегро-дифференциальных уравнениях чисто разрывных марковских процессов», Труды Американского математического общества , 48 (3), 488-515 JSTOR  1990095
  6. ^ Бейли, Норман Т.Дж. (1990) Элементы стохастических процессов с приложениями к естественным наукам , Wiley. ISBN 0-471-52368-2 (стр. 90) 
  7. ^ ab Логан, Дж. Дэвид; Волесенски, Уильям Р. (2009). Математические методы в биологии . Чистая и прикладная математика. John Wiley& Sons. стр.  325–327 . ISBN 978-0-470-52587-6.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kolmogorov_equations&oldid=1268337770"