Стохастическое доминирование

Стохастическое доминирование — это частичный порядок между случайными величинами . ^{[1] [2]} Это форма стохастического упорядочения . Эта концепция возникает в теории принятия решений и анализе решений в ситуациях, когда одна игра ( распределение вероятностей возможных результатов, также известное как перспективы) может быть оценена как превосходящая другую игру для широкого класса лиц, принимающих решения. Она основана на общих предпочтениях относительно наборов возможных результатов и связанных с ними вероятностей. Для определения доминирования требуется лишь ограниченное знание предпочтений. Неприятие риска является фактором только в стохастическом доминировании второго порядка.

Стохастическое доминирование не обеспечивает полного порядка , а лишь частичный : для некоторых пар азартных игр ни одна из них не доминирует стохастически над другой, поскольку разные члены широкого класса лиц, принимающих решения, будут по-разному относиться к тому, какая азартная игра предпочтительнее, при этом они в целом не будут считаться одинаково привлекательными.

Всюду в статье обозначают распределения вероятностей на , а обозначают конкретные случайные величины на . Обозначение означает, что имеет распределение .${\displaystyle \ро ,\ну }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X\sim \rho }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho }$

Существует последовательность стохастических доминантных порядков, от первого , ко второму , к более высоким порядкам . Последовательность становится все более инклюзивной. То есть, если , то для всех . Кроме того, существует такое, что , но не .${\displaystyle \succeq _{1}}$${\displaystyle \succeq _{2}}$${\displaystyle \succeq _{n}}$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$${\displaystyle n\leq k}$${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

Стохастическое доминирование можно проследить еще до (Блэквелла, 1953) ^[3] , но оно не было разработано до 1969–1970 гг. ^[4]

Простейшим случаем стохастического доминирования является доминирование по штатам (также известное как доминирование по штатам ), определяемое следующим образом:

Случайная величина A доминирует по состоянию над случайной величиной B, если A дает по крайней мере такой же хороший результат в каждом состоянии (каждом возможном наборе результатов) и строго лучший результат по крайней мере в одном состоянии.

Например, если доллар добавляется к одному или нескольким призам в лотерее, новая лотерея в масштабе штата доминирует над старой, поскольку она дает лучшую выплату независимо от конкретных чисел, реализованных в лотерее. Аналогично, если полис страхования рисков имеет более низкую премию и лучшее покрытие, чем другой полис, то с ущербом или без него результат лучше. Любой, кто предпочитает больше меньшему (в стандартной терминологии, любой, у кого монотонно растущие предпочтения), всегда предпочтет азартную игру с доминированием в масштабе штата.

Доминирование по состоянию подразумевает стохастическое доминирование первого порядка (FSD) ^[5] , которое определяется как:

Случайная величина A имеет стохастическое доминирование первого порядка над случайной величиной B, если для любого результата x , A дает по крайней мере такую ​​же высокую вероятность получения по крайней мере x , как и B, и для некоторого x , A дает более высокую вероятность получения по крайней мере x . В форме записи, для всех x , и для некоторого x , .${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$${\displaystyle P[A\geq x]>P[B\geq x]}$

С точки зрения кумулятивных функций распределения двух случайных величин, A доминирует над B, что означает, что для всех x , со строгим неравенством при некотором  x .${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$

В случае непересекающихся ^{[ требуется разъяснение ]} функций распределения тест суммы рангов Вилкоксона проверяет наличие стохастического доминирования первого порядка. ^[6]

Пусть даны два распределения вероятностей на , причем оба они конечны, тогда следующие условия эквивалентны, поэтому все они могут служить определением стохастического доминирования первого порядка: ^[7]${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• Для любого неубывающег${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle F_{\rho }(t)\leq F_{\nu }(t),\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• Существуют две случайные величины , такие , что , где .${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$${\displaystyle X=Y+\delta }$${\displaystyle \delta \geq 0}$

Первое определение гласит, что азартная игра первого порядка стохастически доминирует над азартной игрой тогда и только тогда, когда каждый максимизатор ожидаемой полезности с возрастающей функцией полезности предпочитает азартную игру азартной игре .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$

Третье определение гласит, что мы можем построить пару азартных игр с распределениями , так что азартная игра всегда платит по крайней мере столько же, сколько азартная игра . Более конкретно, сначала построить равномерно распределенный , затем использовать выборку обратного преобразования, чтобы получить , затем для любого .${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$${\displaystyle X=F_{X}^{-1}(Z),Y=F_{Y}^{-1}(Z)}$${\displaystyle X\geq Y}$${\displaystyle Z}$

Наглядно второе и третье определения эквивалентны, поскольку мы можем перейти от графической функции плотности A к функции B, сдвигая ее как вверх, так и влево.

Рассмотрим три азартные игры с одним подбрасыванием шестигранной игральной кости:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}{\text{State (die result)}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{gamble A wins }}\$&1&1&2&2&2&2\\{\text{gamble B wins }}\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{gamble C wins }}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

Игра A по штатам доминирует над игрой B, потому что A дает по крайней мере такой же хороший доход во всех возможных состояниях (результатах броска кубика) и дает строго лучший доход в одном из них (состояние 3). Поскольку A по штатам доминирует над B, она также доминирует над B в первом порядке.

Игра C не доминирует над B по состоянию, поскольку B дает лучшую доходность в состояниях с 4 по 6, но C стохастически доминирует над B в первом порядке, поскольку Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1, Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6 и Pr(B ≥ 3) = 0, в то время как Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3).

Игры A и C не могут быть упорядочены относительно друг друга на основе стохастического доминирования первого порядка, поскольку Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6, в то время как, с другой стороны, Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0.

В общем, хотя когда одна игра первого порядка стохастически доминирует над второй игрой, ожидаемое значение выигрыша в первой игре будет больше ожидаемого значения выигрыша во второй игре, обратное неверно: нельзя упорядочить лотереи с учетом стохастического доминирования, просто сравнивая средние значения их распределений вероятностей. Например, в приведенном выше примере у C среднее значение (2) выше, чем у A (5/3), но C не доминирует в первом порядке над A.

Другой часто используемый тип стохастического доминирования — стохастическое доминирование второго порядка . ^{[1] [8] [9]} Грубо говоря, для двух азартных игр и азартная игра имеет стохастическое доминирование второго порядка над азартной игрой, если первая более предсказуема (т. е. связана с меньшим риском) и имеет по крайней мере такое же высокое среднее значение. Все максимизаторы ожидаемой полезности, не склонные к риску (то есть те, у кого возрастающие и вогнутые функции полезности), предпочитают стохастически доминирующую азартную игру второго порядка доминируемой. Доминирование второго порядка описывает общие предпочтения меньшего класса лиц, принимающих решения (тех, для кого больше — лучше, и кто не склонен рисковать, а не всех тех, для кого больше — лучше), чем доминирование первого порядка.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$

В терминах кумулятивных функций распределения и , является стохастически доминирующим второго порядка над тогда и только тогда, когда для всех , со строгим неравенством при некоторых . Эквивалентно, доминирует во втором порядке тогда и только тогда, когда для всех неубывающих и вогнутых функций полезности .${\displaystyle F_{\rho }}$${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$${\displaystyle u(x)}$

Стохастическое доминирование второго порядка можно также выразить следующим образом: Игра второго порядка стохастически доминирует тогда и только тогда, когда существуют некоторые игры и такие, что , при этом всегда меньше или равно нулю, и при этом для всех значений . Здесь введение случайной величины делает первый порядок стохастически доминируемым (делая нелюбимым теми, у кого функция полезности возрастает), а введение случайной величины вводит сохраняющий среднее спред, в котором нелюбимым теми, у кого вогнутая полезность. Обратите внимание, что если и имеют одинаковое среднее (так что случайная величина вырождается в фиксированное число 0), то есть сохраняющий среднее спред .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$${\displaystyle x_{\rho }+y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$

Пусть даны два распределения вероятностей на , причем оба они конечны, тогда следующие условия эквивалентны, поэтому все они могут служить определением стохастического доминирования второго порядка: ^[7]${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• Для любого неубывающего и (не обязательно строго) вогнутого,${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu }(x)dx,\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• Существуют две случайные величины , такие , что , где и .${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$${\displaystyle Y=X-\delta +\epsilon }$${\displaystyle \delta \geq 0}$${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon |X-\delta ]=0}$

Они аналогичны эквивалентным определениям стохастического доминирования первого порядка, данным выше.

• Стохастическое доминирование первого порядка A над B является достаточным условием для доминирования второго порядка A над B.
• Если B — это сохраняющий среднее значение спред A , то A второго порядка стохастически доминирует над B.

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$является необходимым условием для того, чтобы A стохастически доминировало над B второго порядка .
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$является необходимым условием для доминирования второго порядка A над B. Условие подразумевает, что левый хвост должен быть толще левого хвоста .${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle F_{\rho }}$

Пусть и будут кумулятивными функциями распределения двух различных инвестиций и . доминирует в третьем порядке тогда и только тогда, когда оба${\displaystyle F_{\rho }}$${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$.

Эквивалентно, доминирует в третьем порядке тогда и только тогда, когда для всех . ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$${\displaystyle U\in D_{3}}$

Множество имеет два эквивалентных определения:${\displaystyle D_{3}}$

• набор неубывающих, вогнутых функций полезности, которые имеют положительную асимметрию (то есть имеют неотрицательную третью производную на всем протяжении). ^[10]
• набор неубывающих, вогнутых функций полезности, таких, что для любой случайной величины функция премии за риск является монотонно невозрастающей функцией . ^[11]${\displaystyle Z}$${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$${\displaystyle x}$

Здесь определяется как решение проблемы . Более подробную информацию см. на странице премии за риск .${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$$${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$

• Достаточным условием является доминирование второго порядка.

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x))}$является необходимым условием. Условие подразумевает, что геометрическое среднее должно быть больше или равно геометрическому среднему .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$является необходимым условием. Условие подразумевает, что левый хвост должен быть толще левого хвоста .${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle F_{\rho }}$

Также были проанализированы более высокие порядки стохастического доминирования, а также обобщения двойственной связи между порядками стохастического доминирования и классами функций предпочтения. ^[12] Вероятно, наиболее мощный критерий доминирования основан на принятом экономическом предположении об уменьшении абсолютного неприятия риска . ^{[13] [14]} Это влечет за собой несколько аналитических проблем, и исследовательские усилия направлены на их решение. ^[15]

Формально стохастическое доминирование n-го порядка определяется как ^[16]

• Для любого распределения вероятностей на определим функции индуктивно:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots }$$

• Для любых двух распределений вероятностей на нестрогое и строгое стохастическое доминирование n-го порядка определяется как${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle [0,\infty )}$$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )}$$$${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu }$$

Эти отношения транзитивны и все более инклюзивны. То есть, если , то для всех . Далее, существует такое, что , но не .${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$${\displaystyle k\geq n}$${\displaystyle \rho ,\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

Определим n-й момент как , тогда${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$

Стохастические отношения доминирования могут использоваться в качестве ограничений в задачах математической оптимизации , в частности, стохастического программирования . ^{[17] [18] [19]} В задаче максимизации действительного функционала по случайным величинам в наборе мы можем дополнительно потребовать, чтобы стохастически доминировал фиксированный случайный эталон . В этих задачах функции полезности играют роль множителей Лагранжа , связанных с ограничениями стохастического доминирования. При соответствующих условиях решение задачи также является (возможно, локальным) решением задачи максимизации по в , где — определенная функция полезности. Если используется ограничение стохастического доминирования первого порядка, функция полезности не убывает ; если используется ограничение стохастического доминирования второго порядка, является не убывающей и вогнутой . Система линейных уравнений может проверить, является ли данное решение эффективным для любой такой функции полезности. ^[20] Ограничения стохастического доминирования третьего порядка можно решать с помощью выпуклого квадратично ограниченного программирования (QCP). ^[21]${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle u(x)}$

• Современная теория портфеля
• Маргинальное условное стохастическое доминирование
• Расширение набора ответов — эквивалентно стохастическому доминированию в контексте отношений предпочтения.
• Квантовый катализатор
• Эффективность по Парето
• Лексикографическое доминирование