В математике частное дифференциальное уравнение первого порядка — это частное дифференциальное уравнение , включающее первые производные неизвестной функции переменных . Уравнение имеет вид [1]
с использованием нижних индексов для обозначения частных производных .
Такие уравнения возникают при построении характеристических поверхностей для гиперболических уравнений в частных производных , в вариационном исчислении , в некоторых геометрических задачах и в простых моделях газовой динамики, решение которых включает метод характеристик , например, уравнение адвекции . Если семейство решений одного уравнения в частных производных первого порядка может быть найдено, то дополнительные решения могут быть получены путем формирования оболочек решений в этом семействе. В связанной процедуре общие решения могут быть получены путем интегрирования семейств обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общее решение и полный интеграл
Общее решение уравнения в частных производных первого порядка — это решение, которое содержит произвольную функцию. Но решение уравнения в частных производных первого порядка с таким же количеством произвольных констант, как и число независимых переменных, называется полным интегралом . Следующее n-параметрическое семейство решений
является полным интегралом, если . [2] Приведенные ниже обсуждения типа интегралов основаны на учебнике «Трактат о дифференциальных уравнениях» (глава IX, 6-е издание, 1928 г.) Эндрю Форсайта . [3]
Полный интеграл
Решения описываются относительно простым способом в двух или трех измерениях, с которыми ключевые концепции тривиально распространяются на более высокие измерения. Общее уравнение в частных производных первого порядка в трех измерениях имеет вид
где Предположим , что это полный интеграл, содержащий три произвольные константы . Из этого можно получить три соотношения путем дифференцирования
Наряду с полным интегралом , приведенные выше три соотношения могут быть использованы для исключения трех констант и получения уравнения (исходного уравнения в частных производных), связывающего . Обратите внимание, что исключение констант, приводящее к уравнению в частных производных, не обязательно должно быть уникальным, т. е. два различных уравнения могут приводить к одному и тому же полному интегралу, например, исключение констант из соотношения приводит к и .
Общий интеграл
Как только полный интеграл найден, из него можно построить общее решение. Общий интеграл получается путем превращения констант в функции координат, т.е. . Эти функции выбираются так, чтобы формы не менялись, так что можно использовать процесс исключения из полного интеграла. Дифференцирование полного интеграла теперь дает
в котором мы требуем, чтобы члены правой части всех трех уравнений тождественно исчезали, так что исключение из приводит к частному дифференциальному уравнению. Это требование можно записать более компактно, записав его как
где
— определитель Якоби . Условие приводит к общему решению. Всякий раз , когда , то существует функциональное соотношение между , поскольку всякий раз, когда определитель равен нулю, столбцы (или строки) не являются линейно независимыми. Возьмем это функциональное соотношение как
Как только будет найдено, проблема решена. Из приведенного выше соотношения имеем . Суммируя исходные уравнения , и находим . Теперь, исключая из двух полученных уравнений, получаем
Поскольку и независимы, нам требуется
Два приведенных выше уравнения можно использовать для решения и . Подставляя в , получаем общий интеграл . Таким образом, общий интеграл описывает соотношение между , двумя известными независимыми функциями и произвольной функцией . Обратите внимание, что мы предположили сделать определитель нулевым, но это не всегда необходимо. Соотношения или , достаточны для того, чтобы сделать определитель нулевым.
Сингулярный интеграл
Сингулярный интеграл получается при . В этом случае исключение из работает, если
Три уравнения могут быть использованы для решения трех неизвестных . Решение, полученное путем исключения таким образом, приводит к так называемым сингулярным интегралам .
Специальный интеграл
Обычно большинство интегралов попадают в три категории, определенные выше, но может случиться, что решение не вписывается ни в один из трех типов интегралов, упомянутых выше. Эти решения называются специальными интегралами . Отношение , которое удовлетворяет частному дифференциальному уравнению, называется специальным интегралом, если мы не можем определить из следующих уравнений
Если мы сможем определить из приведенного выше набора уравнений, то получится один из трех интегралов, описанных ранее.
Двумерный случай
Полный интеграл в двумерном пространстве можно записать как . Общий интеграл получается путем исключения из следующих уравнений
Сингулярный интеграл, если он существует, можно получить, исключив из следующих уравнений
Если полный интеграл недоступен, решения все еще могут быть получены путем решения системы обычных уравнений. Чтобы получить эту систему, сначала отметим, что PDE определяет конус (аналогичный световому конусу) в каждой точке: если PDE линейна по производным u (квазилинейна), то конус вырождается в линию. В общем случае пары ( p , q ), удовлетворяющие уравнению, определяют семейство плоскостей в заданной точке:
где
Огибающая этих плоскостей является конусом или линией, если PDE является квазилинейным. Условие для огибающей есть
где F оценивается в , а dp и dq являются приращениями p и q, которые удовлетворяют F = 0. Следовательно, генератор конуса представляет собой линию с направлением
Это направление соответствует световым лучам для волнового уравнения. Для интегрирования дифференциальных уравнений вдоль этих направлений нам требуются приращения для p и q вдоль луча. Это можно получить, дифференцируя уравнение в частных производных:
Поэтому направление луча в пространстве равно
Интеграция этих уравнений приводит к лучевому коноиду в каждой точке . Общие решения PDE затем могут быть получены из огибающих таких коноидов.
Определения линейной зависимости для дифференциальных систем
Эту часть можно отнести к книге Куранта. [4]
Мы предполагаем, что эти уравнения независимы, т. е. ни одно из них не может быть выведено из другого путем дифференцирования и исключения.
— Курант, Р. и Гильберт, Д. (1962), Методы математической физики: Уравнения с частными производными, II, стр. 15-18
Дано эквивалентное описание. Даны два определения линейной зависимости для линейных уравнений в частных производных первого порядка.
Где — независимые переменные; — зависимые неизвестные; — линейные коэффициенты; и — неоднородные элементы. Пусть .
Определение I: Дано числовое поле , в котором имеются коэффициенты ( ), не все из которых равны нулю, такие, что ; уравнения (*) являются линейно зависимыми.
Определение II ( дифференциальная линейная зависимость ): Дано числовое поле , когда есть коэффициенты ( ), не все из которых равны нулю, такие, что , уравнения (*) считаются дифференциально- линейно зависимыми. Если , это определение вырождается в определение I.
Характеристические поверхности для волнового уравнения являются поверхностями уровня для решений уравнения
Небольшая потеря общности будет, если мы установим : в этом случае u удовлетворяет
В векторной записи пусть
Семейство решений с плоскостями в качестве поверхностей уровня задается формулой
где
Если x и x 0 удерживаются фиксированными, огибающая этих решений получается путем нахождения точки на сфере радиусом 1/ c , где значение u является стационарным. Это верно, если параллельна . Следовательно, огибающая имеет уравнение
Эти решения соответствуют сферам, радиус которых увеличивается или уменьшается со скоростью c . Это световые конусы в пространстве-времени.
Начальная задача для этого уравнения состоит в задании поверхности уровня S , где u = 0 при t = 0. Решение получается путем взятия оболочки всех сфер с центрами на S , радиусы которых растут со скоростью c . Эта оболочка получается путем требования, чтобы
Это условие будет выполнено, если является нормальным к S . Таким образом, огибающая соответствует движению со скоростью c вдоль каждой нормали к S . Это конструкция волновых фронтов Гюйгенса : каждая точка на S испускает сферическую волну в момент времени t = 0, а волновой фронт в более поздний момент времени t является огибающей этих сферических волн. Нормали к S являются световыми лучами.
Ссылки
↑ Эванс 1998, стр. 1.
^ Гарабедян, П. Р. (1964). Уравнения с частными производными . Нью-Йорк: Wiley. OCLC 527754.
^ Форсайт, А. Р. (1928). Трактат о дифференциальных уравнениях.
^ Курант, Р. и Гильберт, Д. (1962). Методы математической физики: уравнения с частными производными. Том II. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN9783527617241.
Полянин, АД; Зайцев, ВФ; Муссио, А. (2002). Справочник по уравнениям в частных производных первого порядка . Лондон: Taylor & Francis. ISBN0-415-27267-X.
Полянин, АД (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN1-58488-299-9.
Сарра, Скотт (2003). «Метод характеристик с приложениями к законам сохранения». Журнал онлайн-математики и ее приложений .