Уравнение с частными производными первого порядка

В математике частное дифференциальное уравнение первого порядка — это частное дифференциальное уравнение , включающее первые производные неизвестной функции переменных . Уравнение имеет вид [1] с использованием нижних индексов для обозначения частных производных . ты {\displaystyle u} н 2 {\displaystyle n\geq 2} Ф ( х 1 , , х н , ты , ты х 1 , ты х н ) = 0 , {\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0,} ты {\displaystyle u}

Такие уравнения возникают при построении характеристических поверхностей для гиперболических уравнений в частных производных , в вариационном исчислении , в некоторых геометрических задачах и в простых моделях газовой динамики, решение которых включает метод характеристик , например, уравнение адвекции . Если семейство решений одного уравнения в частных производных первого порядка может быть найдено, то дополнительные решения могут быть получены путем формирования оболочек решений в этом семействе. В связанной процедуре общие решения могут быть получены путем интегрирования семейств обыкновенных дифференциальных уравнений.

Общее решение и полный интеграл

Общее решение уравнения в частных производных первого порядка — это решение, которое содержит произвольную функцию. Но решение уравнения в частных производных первого порядка с таким же количеством произвольных констант, как и число независимых переменных, называется полным интегралом . Следующее n-параметрическое семейство решений

ϕ ( х 1 , х 2 , , х н , ты , а 1 , а 2 , , а н ) {\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\точки,x_{n},u,a_{1},a_{2},\точки,a_{n})}

является полным интегралом, если . [2] Приведенные ниже обсуждения типа интегралов основаны на учебнике «Трактат о дифференциальных уравнениях» (глава IX, 6-е издание, 1928 г.) Эндрю Форсайта . [3] дет | ϕ х я а дж | 0 {\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}

Полный интеграл

Решения описываются относительно простым способом в двух или трех измерениях, с которыми ключевые концепции тривиально распространяются на более высокие измерения. Общее уравнение в частных производных первого порядка в трех измерениях имеет вид

F ( x , y , z , u , p , q , r ) = 0 , {\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}

где Предположим , что это полный интеграл, содержащий три произвольные константы . Из этого можно получить три соотношения путем дифференцирования p = u x , q = u y , r = u z . {\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.} ϕ ( x , y , z , u , a , b , c ) = 0 {\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0} ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}

ϕ x + p ϕ u = 0 {\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}
ϕ y + q ϕ u = 0 {\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}
ϕ z + r ϕ u = 0 {\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}

Наряду с полным интегралом , приведенные выше три соотношения могут быть использованы для исключения трех констант и получения уравнения (исходного уравнения в частных производных), связывающего . Обратите внимание, что исключение констант, приводящее к уравнению в частных производных, не обязательно должно быть уникальным, т. е. два различных уравнения могут приводить к одному и тому же полному интегралу, например, исключение констант из соотношения приводит к и . ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} ( x , y , z , u , p , q , r ) {\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)} u = ( x a ) 2 + ( y b ) 2 + z c {\displaystyle u={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}+z-c} p 2 + q 2 = 1 {\displaystyle p^{2}+q^{2}=1} r = 1 {\displaystyle r=1}

Общий интеграл

Как только полный интеграл найден, из него можно построить общее решение. Общий интеграл получается путем превращения констант в функции координат, т.е. . Эти функции выбираются так, чтобы формы не менялись, так что можно использовать процесс исключения из полного интеграла. Дифференцирование полного интеграла теперь дает a = a ( x , y , z ) , b = b ( x , y , z ) , c = c ( x , y , z ) {\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)} ( p , q , r ) {\displaystyle (p,q,r)}

ϕ x + p ϕ u = ( a x ϕ a + b x ϕ b + c x ϕ c ) {\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}
ϕ y + q ϕ u = ( a y ϕ a + b y ϕ b + c y ϕ c ) {\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}
ϕ z + r ϕ u = ( a z ϕ a + b z ϕ b + c z ϕ c ) {\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}

в котором мы требуем, чтобы члены правой части всех трех уравнений тождественно исчезали, так что исключение из приводит к частному дифференциальному уравнению. Это требование можно записать более компактно, записав его как ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} ϕ {\displaystyle \phi }

J ϕ a = 0 , J ϕ b = 0 , J ϕ c = 0 {\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}

где

J = ( a , b , c ) ( x , y , z ) = | a x a y a z b x b y b z c x c y c z | {\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}

— определитель Якоби . Условие приводит к общему решению. Всякий раз , когда , то существует функциональное соотношение между , поскольку всякий раз, когда определитель равен нулю, столбцы (или строки) не являются линейно независимыми. Возьмем это функциональное соотношение как J = 0 {\displaystyle J=0} J = 0 {\displaystyle J=0} ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}

c = ψ ( a , b ) . {\displaystyle c=\psi (a,b).}

Как только будет найдено, проблема решена. Из приведенного выше соотношения имеем . Суммируя исходные уравнения , и находим . Теперь, исключая из двух полученных уравнений, получаем ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} d c = ψ a d a + ψ b d b {\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db} ( a x ϕ a + b x ϕ b + c x ϕ c ) = 0 {\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0} ( a y ϕ a + b y ϕ b + c y ϕ c ) = 0 {\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0} ( a z ϕ a + b z ϕ b + c z ϕ c ) = 0 {\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0} ϕ a d a + ϕ b d b + ϕ c d c = 0 {\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0} d c {\displaystyle dc}

( ϕ a + ϕ c ψ a ) d a + ( ϕ b + ϕ c ψ b ) d b = 0 {\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}

Поскольку и независимы, нам требуется a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}

( ϕ a + ϕ c ψ a ) = 0 {\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}
( ϕ b + ϕ c ψ b ) = 0. {\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}

Два приведенных выше уравнения можно использовать для решения и . Подставляя в , получаем общий интеграл . Таким образом, общий интеграл описывает соотношение между , двумя известными независимыми функциями и произвольной функцией . Обратите внимание, что мы предположили сделать определитель нулевым, но это не всегда необходимо. Соотношения или , достаточны для того, чтобы сделать определитель нулевым. a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} ( x , y , z , u ) {\displaystyle (x,y,z,u)} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ψ ( a , b ) {\displaystyle \psi (a,b)} c = ψ ( a , b ) {\displaystyle c=\psi (a,b)} J {\displaystyle J} c = ψ ( a ) {\displaystyle c=\psi (a)} c = ψ ( b ) {\displaystyle c=\psi (b)}

Сингулярный интеграл

Сингулярный интеграл получается при . В этом случае исключение из работает, если J 0 {\displaystyle J\neq 0} ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0}

ϕ a = 0 , ϕ b = 0 , ϕ c = 0. {\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}

Три уравнения могут быть использованы для решения трех неизвестных . Решение, полученное путем исключения таким образом, приводит к так называемым сингулярным интегралам . ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}

Специальный интеграл

Обычно большинство интегралов попадают в три категории, определенные выше, но может случиться, что решение не вписывается ни в один из трех типов интегралов, упомянутых выше. Эти решения называются специальными интегралами . Отношение , которое удовлетворяет частному дифференциальному уравнению, называется специальным интегралом, если мы не можем определить из следующих уравнений χ ( x , y , z , u ) = 0 {\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0} ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)}

ϕ x χ u χ x ϕ u = 0 {\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}
ϕ y χ u χ y ϕ u = 0 {\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}
ϕ z χ u χ z ϕ u = 0. {\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}

Если мы сможем определить из приведенного выше набора уравнений, то получится один из трех интегралов, описанных ранее. ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} χ = 0 {\displaystyle \chi =0}

Двумерный случай

Полный интеграл в двумерном пространстве можно записать как . Общий интеграл получается путем исключения из следующих уравнений ϕ ( x , y , u , a , b ) = 0 {\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0} a {\displaystyle a}

ϕ ( x , y , z , a , ψ ( a ) ) = 0 , ϕ a + ψ a ϕ b = 0. {\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}

Сингулярный интеграл, если он существует, можно получить, исключив из следующих уравнений ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}

ϕ ( x , y , z , a , b ) = 0 , ϕ a = 0 , ϕ b = 0. {\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}

Если полный интеграл недоступен, решения все еще могут быть получены путем решения системы обычных уравнений. Чтобы получить эту систему, сначала отметим, что PDE определяет конус (аналогичный световому конусу) в каждой точке: если PDE линейна по производным u (квазилинейна), то конус вырождается в линию. В общем случае пары ( p , q ), удовлетворяющие уравнению, определяют семейство плоскостей в заданной точке:

u u 0 = p ( x x 0 ) + q ( y y 0 ) , {\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}

где

F ( x 0 , y 0 , u 0 , p , q ) = 0. {\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}

Огибающая этих плоскостей является конусом или линией, если PDE является квазилинейным. Условие для огибающей есть

F p d p + F q d q = 0 , {\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}

где F оценивается в , а dp и dq являются приращениями p и q, которые удовлетворяют F = 0. Следовательно, генератор конуса представляет собой линию с направлением ( x 0 , y 0 , u 0 , p , q ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}

d x : d y : d u = F p : F q : ( p F p + q F q ) . {\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}

Это направление соответствует световым лучам для волнового уравнения. Для интегрирования дифференциальных уравнений вдоль этих направлений нам требуются приращения для p и q вдоль луча. Это можно получить, дифференцируя уравнение в частных производных:

F x + F u p + F p p x + F q p y = 0 , {\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}
F y + F u q + F p q x + F q q y = 0 , {\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}

Поэтому направление луча в пространстве равно ( x , y , u , p , q ) {\displaystyle (x,y,u,p,q)}

d x : d y : d u : d p : d q = F p : F q : ( p F p + q F q ) : ( F x F u p ) : ( F y F u q ) . {\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}

Интеграция этих уравнений приводит к лучевому коноиду в каждой точке . Общие решения PDE затем могут быть получены из огибающих таких коноидов. ( x 0 , y 0 , u 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}

Определения линейной зависимости для дифференциальных систем

Эту часть можно отнести к книге Куранта. [4] § 1.2.3 {\displaystyle \S 1.2.3}

Мы предполагаем, что эти уравнения независимы, т. е. ни одно из них не может быть выведено из другого путем дифференцирования и исключения. h {\displaystyle h}

—  Курант, Р. и Гильберт, Д. (1962), Методы математической физики: Уравнения с частными производными, II, стр. 15-18

Дано эквивалентное описание. Даны два определения линейной зависимости для линейных уравнений в частных производных первого порядка.

( ) { i j a i j ( 1 ) y j x i + f 1 = 0 i j a i j ( n ) y j x i + f n = 0 {\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}

Где — независимые переменные; — зависимые неизвестные; — линейные коэффициенты; и — неоднородные элементы. Пусть . x i {\displaystyle x_{i}} y j {\displaystyle y_{j}} a i j ( k ) {\displaystyle a_{ij}^{(k)}} f k {\displaystyle f_{k}} Z k i j a i j ( k ) y j x i + f k {\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}

Определение I: Дано числовое поле , в котором имеются коэффициенты ( ), не все из которых равны нулю, такие, что ; уравнения (*) являются линейно зависимыми. P {\displaystyle P} c k P {\displaystyle c_{k}\in P} k c k Z k = 0 {\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}

Определение II ( дифференциальная линейная зависимость ): Дано числовое поле , когда есть коэффициенты ( ), не все из которых равны нулю, такие, что , уравнения (*) считаются дифференциально- линейно зависимыми. Если , это определение вырождается в определение I. P {\displaystyle P} c k , d k l P {\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P} k c k Z k + k l d k l x l Z k = 0 {\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}} d k l 0 {\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}

Системы div-rot, уравнения Максвелла , уравнения Эйнштейна (с четырьмя гармоническими координатами) и уравнения Янга-Миллса (с калибровочными условиями) хорошо определены в определении II, тогда как переопределены в определении I.

Характерные поверхности для волнового уравнения

Характеристические поверхности для волнового уравнения являются поверхностями уровня для решений уравнения

u t 2 = c 2 ( u x 2 + u y 2 + u z 2 ) . {\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}

Небольшая потеря общности будет, если мы установим : в этом случае u удовлетворяет u t = 1 {\displaystyle u_{t}=1}

u x 2 + u y 2 + u z 2 = 1 c 2 . {\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}

В векторной записи пусть

x = ( x , y , z ) and p = ( u x , u y , u z ) . {\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}

Семейство решений с плоскостями в качестве поверхностей уровня задается формулой

u ( x ) = p ( x x 0 ) , {\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}

где

| p | = 1 c , and x 0 is arbitrary . {\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}

Если x и x 0 удерживаются фиксированными, огибающая этих решений получается путем нахождения точки на сфере радиусом 1/ c , где значение u является стационарным. Это верно, если параллельна . Следовательно, огибающая имеет уравнение p {\displaystyle {\vec {p}}} x x 0 {\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}

u ( x ) = ± 1 c | x x 0 | . {\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}

Эти решения соответствуют сферам, радиус которых увеличивается или уменьшается со скоростью c . Это световые конусы в пространстве-времени.

Начальная задача для этого уравнения состоит в задании поверхности уровня S , где u = 0 при t = 0. Решение получается путем взятия оболочки всех сфер с центрами на S , радиусы которых растут со скоростью c . Эта оболочка получается путем требования, чтобы

1 c | x x 0 | is stationary for x 0 S . {\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}

Это условие будет выполнено, если является нормальным к S . Таким образом, огибающая соответствует движению со скоростью c вдоль каждой нормали к S . Это конструкция волновых фронтов Гюйгенса : каждая точка на S испускает сферическую волну в момент времени t = 0, а волновой фронт в более поздний момент времени t является огибающей этих сферических волн. Нормали к S являются световыми лучами. | x x 0 | {\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}

Ссылки

  1. Эванс 1998, стр. 1.
  2. ^ Гарабедян, П. Р. (1964). Уравнения с частными производными . Нью-Йорк: Wiley. OCLC  527754.
  3. ^ Форсайт, А. Р. (1928). Трактат о дифференциальных уравнениях.
  4. ^ Курант, Р. и Гильберт, Д. (1962). Методы математической физики: уравнения с частными производными. Том II. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 9783527617241.

Дальнейшее чтение

  • Эванс, Л.К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.
  • Полянин, АД; Зайцев, ВФ; Муссио, А. (2002). Справочник по уравнениям в частных производных первого порядка . Лондон: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27267-X.
  • Полянин, АД (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
  • Сарра, Скотт (2003). «Метод характеристик с приложениями к законам сохранения». Журнал онлайн-математики и ее приложений .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=First-order_partial_differential_equation&oldid=1250407217"