Конечно-элементное внешнее исчисление

Конечно-элементное внешнее исчисление (FEEC) — это математическая структура, которая формулирует методы конечных элементов с использованием цепных комплексов . Ее основным применением была всеобъемлющая теория для методов конечных элементов в вычислительном электромагнетизме, вычислительной механике твердого тела и жидкости. FEEC была разработана в начале 2000-х годов Дугласом Н. Арнольдом , Ричардом С. Фальком и Рагнаром Винтером , [1] [2] [3] среди других. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] Конечно-элементное внешнее исчисление иногда называют примером совместимой техники дискретизации, и оно имеет сходство с дискретным внешним исчислением , хотя это разные теории.

Начинается с признания того, что используемые дифференциальные операторы часто являются частью комплексов: последовательное применение приводит к нулю. Затем формулировка дифференциальных операторов соответствующих дифференциальных уравнений и соответствующих граничных условий как лапласиана Ходжа . Члены лапласиана Ходжа разделяются с использованием разложения Ходжа . Затем генерируется связанная вариационная седловая формулировка для смешанных величин. Дискретизация до подкомплекса, связанного с сеткой, выполняется с использованием набора проекционных операторов, которые коммутируют с дифференциальными операторами. Затем можно доказать уникальность и оптимальную сходимость как функцию плотности сетки.

FEEC имеет непосредственное отношение к диффузии , упругости , электромагнетизму , стоксову течению .

Для важного комплекса де Рама , относящегося к операторам grad, rot и div, были созданы подходящие семейства элементов не только для тетраэдров, но и для других форменных элементов, таких как кирпичи. Более того, также в соответствии с ними были созданы элементы в форме призмы и пирамиды. Для последнего, что уникально, функции формы не являются полиномиальными. Величины являются 0-формами (скаляры), 1-формами (градиенты), 2-формами (потоки) и 3-формами (плотности). [13] Диффузия, электромагнетизм и упругость, [14] поток Стокса, [15] общая теория относительности и фактически все известные комплексы, [16] все это можно выразить в терминах комплекса де Рама. Для Навье-Стокса также могут быть возможности. [17] [18]

Ссылки

  1. ^ Арнольд, Дуглас Н., Ричард С. Фальк и Рагнар Винтер. «Конечно-элементное внешнее исчисление, гомологические методы и приложения». Acta numerica 15 (2006): 1-155.
  2. ^ Арнольд, Дуглас, Ричард Фальк и Рагнар Винтер. «Конечноэлементное внешнее исчисление: от теории Ходжа к численной устойчивости». Бюллетень Американского математического общества 47.2 (2010): 281-354.
  3. ^ Арнольд, Дуглас Н. (2018). Внешнее исчисление методом конечных элементов . СИАМ. ISBN 978-1-611975-53-6.
  4. ^ Алан Демлоу и Анил Хирани, Апостериорные оценки ошибок для конечноэлементного внешнего исчисления: комплекс де Рама, Found. Comput. Math. 14 (2014), 1337-1371.
  5. ^ Кристиансен, Снорре и Рагнар Винтер. «Сглаженные проекции во внешнем исчислении конечных элементов». Математика вычислений 77.262 (2008): 813-829.
  6. ^ Кристиансен, Снорре и Франческа Рапетти. «О пространствах конечных элементов высокого порядка дифференциальных форм». Математика вычислений 85.298 (2016): 517-548.
  7. ^ Холст, Майкл, Адам Михалик и Райан Шиповски. «Сходимость и оптимальность адаптивных методов в рамках конечно-элементного внешнего исчисления». Препринт arXiv arXiv:1306.1886 (2013).
  8. ^ Холст, Майкл и Ари Стерн. «Геометрические вариационные преступления: комплексы Гильберта, конечноэлементное внешнее исчисление и проблемы на гиперповерхностях». Основы вычислительной математики 12.3 (2012): 263-293.
  9. ^ Хиптмайр, Ральф. «Каноническое построение конечных элементов». Математика вычислений Американского математического общества 68.228 (1999): 1325-1346.
  10. ^ Хиптмайр, Ральф. «Конечные элементы в вычислительном электромагнетизме». Acta Numerica 11 (2002): 237-339.
  11. ^ Кирби, Роберт С. «Малосложные конечно-элементные алгоритмы для комплекса де Рама на симплексах. Архивировано 07.06.2019 в Wayback Machine ». Журнал SIAM по научным вычислениям 36.2 (2014): A846-A868.
  12. ^ Лихт, Мартин Вернер. Об анализе априорных и апостериорных ошибок в конечно-элементном внешнем исчислении. Дисс. Диссертация, кафедра математики, Университет Осло, Норвегия, 2017.
  13. ^ Кокберн, Бернардо; Фу, Гошенг (2017-01-01). «Систематическое построение конечных элементов коммутирующих точных последовательностей». Журнал SIAM по численному анализу . 55 (4): 1650–1688 . arXiv : 1605.00132 . doi : 10.1137/16M1073352. ISSN  0036-1429. S2CID  38216995.
  14. ^ Арнольд, Дуглас Н.; Фальк, Ричард С.; Винтер, Рагнар (2007-10-01). «Смешанные методы конечных элементов для линейной упругости со слабо наложенной симметрией». Математика вычислений . 76 (260): 1699– 1724. arXiv : math/0701506 . Bibcode :2007MaCom..76.1699A. doi : 10.1090/S0025-5718-07-01998-9 .
  15. ^ Фальк, Ричард С.; Нейлан, Майкл (2013-01-01). «Комплексы Стокса и построение устойчивых конечных элементов с точечным сохранением массы». Журнал SIAM по численному анализу . 51 (2): 1308– 1326. CiteSeerX 10.1.1.294.9104 . doi :10.1137/120888132. ISSN  0036-1429. 
  16. ^ "Конечноэлементное внешнее исчисление - 4 | Институт математических наук Исаака Ньютона". www.newton.ac.uk . 5 марта 2021 г. Получено 16.03.2021 г.
  17. ^ Фанг, Шизан (2020-03-01). «Вложение Нэша, оператор формы и уравнение Навье-Стокса на римановом многообразии». Acta Mathematicae Applicatae Sinica, английская серия . 36 (2): 237– 252. arXiv : 1907.13519 . doi :10.1007/s10255-020-0928-1. ISSN  1618-3932. S2CID  199000940.
  18. ^ Samavaki, Maryam; Tuomela, Jukka (2020-02-01). "Уравнения Навье–Стокса на римановых многообразиях". Journal of Geometry and Physics . 148 : 103543. arXiv : 1812.09015 . Bibcode :2020JGP...14803543S. doi :10.1016/j.geomphys.2019.103543. ISSN  0393-0440. S2CID  119133831.


Значок заглушки

Эта статья по прикладной математике – заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Конечно-элементный_внешний_расчет&oldid=1255557449"