Коэффициент конечной разности

В математике для аппроксимации производной до произвольного порядка точности можно использовать конечную разность . Конечная разность может быть центральной , прямой или обратной .

В этой таблице содержатся коэффициенты центральных разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки: ^[1]

Например, третья производная с точностью второго порядка равна

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

где представляет собой равномерный шаг сетки между каждым интервалом конечной разности, а .${\displaystyle h_{x}}$${\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh_{x}}$

Для -й производной с точностью имеются центральные коэффициенты . Они задаются решением системы линейных уравнений${\displaystyle м}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$${\displaystyle а_{-п},а_{-п+1},...,а_{п-1},а_{п}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p }&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

где единственное ненулевое значение в правой части находится в -й строке.${\displaystyle (м+1)}$

Доступна реализация с открытым исходным кодом для вычисления коэффициентов конечной разности произвольных производных и порядка точности в одном измерении. ^[2]
Учитывая, что матрица левой стороны является транспонированной матрицей Вандермонда , перестановка показывает, что коэффициенты в основном вычисляются путем подгонки и вывода полинома -го порядка к окну точек. Следовательно, коэффициенты также могут быть вычислены как производная -го порядка полностью определенного фильтра Савицкого–Голея с полиномиальной степенью и размером окна . Для этого также доступны реализации с открытым исходным кодом. ^[3] Существует два возможных определения, которые отличаются порядком коэффициентов: фильтр для фильтрации через дискретную свертку или через произведение матрицы и вектора . Коэффициенты, приведенные в таблице выше, соответствуют последнему определению. ${\displaystyle \mathbf {J} ^{T}}$${\displaystyle 2p}$${\displaystyle 2p+1}$${\displaystyle м}$${\displaystyle 2p}$${\displaystyle 2p+1}$

Теория полиномов Лагранжа дает явные формулы для коэффициентов конечной разности. ^[4] Для первых шести производных имеем следующее:

Производный	${\displaystyle а_{0}}$	${\displaystyle a_{p}(p\neq 0)}$
1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p(np)!(n+p)!}}}$
2	${\displaystyle -2H_{n,2}}$	${\displaystyle {\frac {2!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{2}(np)!(n+p)!}}}$
3	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{3}(np)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})}$
4	${\displaystyle 12(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})}$	${\displaystyle {\frac {4!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{4}(np)!(n+p)!}}(1-p^{2}H_{n,2})}$
5	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {5!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{5}(np)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)}$
6	${\displaystyle -120H_{n,2}^{3}+360H_{n,2}H_{n,4}-120H_{n,6}}$	${\displaystyle {\frac {6!(-1)^{p+1}(n!)^{2}}{p^{6}(np)!(n+p)!}}\left(1-p^{2}H_{n,2}+{\frac {p^{4}}{2}}(H_{n,2}^{2}-H_{n,4})\right)}$

где - обобщенные гармонические числа .${\displaystyle H_{н,м}}$

В этой таблице содержатся коэффициенты прямых разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки: ^[1]

Например, первая производная с точностью третьего порядка и вторая производная со точностью второго порядка равны

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

в то время как соответствующие обратные приближения задаются как

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

Чтобы получить коэффициенты обратных приближений из коэффициентов прямых, присвойте всем нечетным производным, перечисленным в таблице в предыдущем разделе, противоположный знак, тогда как для четных производных знаки остаются прежними. Следующая таблица иллюстрирует это: ^[5]

Для произвольных точек трафарета и любой производной порядка до единицы меньшего, чем число точек трафарета, коэффициенты конечной разности могут быть получены путем решения линейных уравнений ^[6]${\displaystyle \displaystyle N}$${\displaystyle \displaystyle s}$${\displaystyle \displaystyle d<N}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},}$

где — дельта Кронекера , равная единице, если , и нулю в противном случае.${\displaystyle \delta _{i,j}}$${\displaystyle i=j}$

Пример, для порядка дифференциации :${\displaystyle s=[-3,-2,-1,0,1]}$${\displaystyle d=4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.}$

Порядок точности аппроксимации принимает обычную форму (или лучшую в случае центральной конечной разности) ^{[ требуется ссылка ]} .${\displaystyle O\left(h_{x}^{(N-d)}\right)}$

• Метод конечных разностей
• Конечная разность
• Пятиточечный трафарет
• Числовая дифференциация