Динамика файла

Термин «динамика файла» означает движение множества частиц в узком канале.

В науке: в химии , физике , математике и смежных областях динамика файла (иногда называемая динамикой одного файла ) — это диффузия N ( N → ∞) идентичных броуновских твердых сфер в квазиодномерном канале длины L ( L → ∞), так что сферы не перепрыгивают друг через друга, а средняя плотность частиц приблизительно фиксирована. Наиболее известным статистическим свойством этого процесса является то, что среднеквадратичное смещение (СКС) частицы в файле следует, , а ее функция плотности вероятности ( ПДФ ) является гауссовой по положению с дисперсией СКС. ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \mathrm {MSD} \approx t^{\frac {1}{2}}}$

Результаты в файлах, обобщающих базовый файл, включают:

• В файлах с законом плотности, который не фиксирован, а затухает как степенной закон с показателем a с расстоянием от начала координат, частица в начале координат имеет MSD , который масштабируется как, , с гауссовой плотностью распределения . ^[4]${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1+a}{2}}}$
• Когда, кроме того, коэффициенты диффузии частиц распределены по степенному закону с показателем γ (вокруг начала координат), MSD следует, с гауссовой PDF . ^[5]${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1-\gamma }{2/(1+a)-\gamma }}}$
• В аномальных файлах, которые являются файлами обновления, а именно, когда все частицы пытаются совершить прыжок вместе, однако, при времени прыжка, взятом из распределения, которое затухает как степенной закон с показателем, −1 −  α , MSD масштабируется как MSD соответствующего нормального файла, в степени α. ^[6]
• В аномальных файлах независимых частиц MSD очень медленный и масштабируется как, . Еще более захватывающе, частицы образуют кластеры в таких файлах, определяя динамический фазовый переход. Это зависит от мощности аномалии α: процент частиц в кластерах ξ следует, . ^[7]${\displaystyle MSD\approx log^{2}(t)}$${\displaystyle \xi \approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$
• Другие обобщения включают: когда частицы могут обходить друг друга с постоянной вероятностью при столкновении, наблюдается усиленная диффузия. ^[8] Когда частицы взаимодействуют с каналом, наблюдается более медленная диффузия. ^[9] Файлы, внедренные в двух измерениях, показывают схожие характеристики файлов в одном измерении. ^[7]

Обобщения базового файла важны, поскольку эти модели представляют реальность гораздо точнее, чем базовый файл. Действительно, динамика файла используется при моделировании многочисленных микроскопических процессов: ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]} диффузия в биологических и синтетических порах и пористых материалах, диффузия вдоль одномерных объектов, таких как биологические дороги, динамика мономера в полимере и т. д.

В простых броуновских файлах совместная функция плотности вероятности (PDF) для всех частиц в файле подчиняется нормальному уравнению диффузии:${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=D\Sigma _{j=-M}^{M}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

1

В , — это набор положений частиц в момент времени , а — это набор начальных положений частиц в начальный момент времени (установленный на ноль). Уравнение (1) решается с соответствующими граничными условиями, которые отражают природу файла как твердой сферы:${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{-M},x_{-M+1},\ldots ,x_{M}\}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle {\big (}D\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

2

и с соответствующим начальным условием:

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\rightarrow \infty \mid x_{0})=\Pi _{j=-M}^{M}\delta (x_{j}-x_{0,j}).}$

3

В простом файле начальная плотность фиксирована, а именно, , где — параметр, представляющий микроскопическую длину. Координаты PDF-файлов должны подчиняться порядку: .${\displaystyle x_{0,j}=j\Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x_{-M}\leq x_{-M+1}\leq \cdots \leq x_{M}}$

В таких файлах уравнение движения выглядит следующим образом:

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ).}$

4

с граничными условиями:

${\displaystyle {\big (}D_{j}\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D_{j+1}\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

5

и с начальным условием, уравнение ( 3 ), где начальные положения частиц подчиняются:

${\displaystyle x0,j=sign(j)\Delta \mid j\mid ^{1/(1-a)};\qquad 0\leq {\mathit {a}}\leq 1.}$

6

Коэффициенты диффузии файла берутся независимо от PDF,

${\displaystyle W(D)={\frac {1-\gamma }{\Lambda }}(D/\Lambda )^{-\gamma },\qquad 0\leq \gamma \leq 1,}$

7

где Λ имеет конечное значение, представляющее собой самый быстрый коэффициент диффузии в файле.

В файлах с аномалией обновления случайный период берется независимо от функции плотности вероятности времени ожидания (WT-PDF; см. раздел Марковский процесс с непрерывным временем для получения дополнительной информации) в форме: , где k — параметр. Затем все частицы в файле остаются неподвижными в течение этого случайного периода, после чего все частицы пытаются прыгнуть в соответствии с правилами файла. Эта процедура выполняется снова и снова. Уравнение движения для PDF частиц в файле с аномалией обновления получается при свертке уравнения движения для броуновского файла с ядром :${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)\sim k(kt)^{-1-\alpha },0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}\int _{0}^{t}k_{\alpha }(t-u)P(\mathbf {x} ,u\mid \mathbf {x_{0}} )\,du.}$

8

Здесь ядро ​​и WT-PDF связаны в пространстве Лапласа, . (Преобразование Лапласа функции имеет вид, .) Отражающие граничные условия, сопровождаемые уравнением ( 8 ), получаются при свертке граничных условий броуновского файла с ядром , где здесь и в броуновском файле начальные условия идентичны.${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle {\bar {k}}_{\alpha }(s)={\frac {s{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}{1-{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle {\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$

Когда каждой частице в аномальном файле назначается ее собственное время прыжка, нарисованное в форме ( одинаково для всех частиц), аномальный файл не является файлом обновления. Основной динамический цикл в таком файле состоит из следующих шагов: частица с самым быстрым временем прыжка в файле, скажем, для частицы i , пытается совершить прыжок. Затем корректируются времена ожидания для всех остальных частиц: мы вычитаем из каждого из них. Наконец, новое время ожидания рисуется для частицы i . Самое важное различие между аномальными файлами обновления и аномальными файлами, которые не являются файлами обновления, заключается в том, что когда у каждой частицы есть свои собственные часы, частицы фактически связаны также во временной области, и результатом является дальнейшее замедление в системе (доказано в основном тексте). Уравнение движения для PDF в аномальных файлах независимых частиц гласит:${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

${\displaystyle \partial _{t_{i}}P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )=D_{i}\partial _{x_{i}}^{2}\int _{0}^{t_{i}}k_{\alpha }(t_{i}-u_{i})P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} ^{'(i)},u_{i}\mid \mathbf {x_{0}} )\,du_{i};\qquad -M\leq i\leq M.}$

9

Обратите внимание, что аргумент времени в PDF — это вектор времен: , и . Сложение всех координат и выполнение интегрирования в порядке более быстрых времен сначала (порядок определяется случайным образом из равномерного распределения в пространстве конфигураций) дает полное уравнение движения в аномальных файлах независимых частиц (поэтому дополнительно требуется усреднение уравнения по всем конфигурациям). Действительно, даже уравнение ( 9 ) очень сложное, а усреднение еще больше усложняет ситуацию.${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )}$${\displaystyle \mathbf {t} =\{t_{i}\}_{i=-M}^{M}}$${\displaystyle \mathbf {t} ^{'(i)}=\{t_{c}\}_{c=-M,c\neq i}^{M}}$

Решение уравнений ( 1 )-( 2 ) представляет собой полный набор перестановок всех начальных координат, входящих в гауссианы, ^[4]

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mid \mathbf {x_{0}} )={\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-1/4Dt\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}}.}$

10

Здесь индекс идет по всем перестановкам исходных координат и содержит перестановки. Из уравнения ( 10 ) вычисляется PDF помеченной частицы в файле ^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle N!}$${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})}$

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/{\sqrt {2\tau }}},}$

11

В уравнении ( 11 ), , ( — начальное состояние меченой частицы), и . Среднеквадратическое отклонение для меченой частицы получается непосредственно из уравнения ( 11 ):${\displaystyle R_{d}=r_{d}\Delta }$${\displaystyle r_{d}=r-r_{0}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \tau =\Delta ^{-2}Dt}$

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle \sim {\sqrt {\tau }}.}$

12

Решение уравнений ( 4 )-( 7 ) аппроксимируется выражением ^[5]

${\displaystyle P(x,t\mid x_{0})\approx {\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}/4tD_{j}}.}$

13

Исходя из уравнения ( 13 ), PDF меченой частицы в гетерогенном файле следует, ^[5]

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})\sim {\frac {1}{c_{N}}}e^{-R_{d}^{2}/4\tau \tau ^{(1-a))/(2-\gamma (1+a))}};\qquad \tau =\Delta ^{-2}\Lambda t.}$

14

Среднеквадратическое отклонение меченой частицы в гетерогенном файле берется из уравнения ( 14 ):

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\rangle =2\tau ^{(1-\gamma )/(2c-\gamma )},\qquad c=1/((1+a)).}$

15

Результаты файлов аномального обновления просто выводятся из результатов броуновских файлов. Во-первых, PDF в уравнении ( 8 ) записана в терминах PDF , которая решает не свернутое уравнение, то есть уравнение броуновского файла; это соотношение сделано в пространстве Лапласа:

${\displaystyle {\bar {P}}(x,s\mid x_{0})={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}{\bar {P}}_{\text{nrml}}(x,s/{\bar {k}}_{\alpha }(s)\mid x_{0}).}$

16

(Нижний индекс nrml обозначает нормальную динамику.) Из уравнения ( 16 ) легко связать среднеквадратичное отклонение броуновских неоднородных файлов и неоднородных файлов с аномалией обновления, ^[6]

${\displaystyle \langle {\bar {r}}^{2}(s)\rangle ={\frac {1}{{\bar {k}}_{\alpha }(s)}}\langle {\bar {r}}^{2}(s/{\bar {k}}_{\alpha }(s))\rangle _{\text{nrml}}.}$

17

Из уравнения ( 18 ) следует, что среднеквадратическое отклонение файла с нормальной динамикой в ​​степени равно среднеквадратическому отклонению соответствующего файла с аномалией обновления, ^[6]${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle \sim \langle r^{2}(t)\rangle _{\text{nrml}}^{\alpha }.}$

19

Уравнение движения для аномальных файлов с независимыми частицами ( 9 ) очень сложное. Решения для таких файлов достигаются при выводе законов масштабирования и с помощью численного моделирования.

Сначала запишем закон масштабирования для среднего абсолютного смещения ( MAD ) в файле обновления с постоянной плотностью: ^{[4] [5] [7]}

${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle \sim \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n.}$

20

Здесь, - число частиц в покрытой длине , а - MAD свободной аномальной частицы, . В уравнении ( 20 ) в расчеты входит, поскольку все частицы в пределах расстояния от помеченной должны двигаться в одном направлении, чтобы помеченная частица достигла расстояния от своего начального положения. На основе уравнения ( 20 ) запишем обобщенный закон масштабирования для аномальных файлов независимых частиц:${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}\sim t^{\alpha /2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$

${\displaystyle \langle |r|\rangle \sim {\frac {\langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}{n}}f(n);\qquad 0<f(n)<1.}$

21

Первый член в правой части уравнения ( 21 ) также появляется в файлах обновления; тем не менее, член f(n) уникален. f(n) — вероятность, которая учитывает тот факт, что для перемещения n аномальных независимых частиц в одном направлении, когда эти частицы действительно пытаются прыгнуть в одном направлении (выражено термином, ( ), частицы на периферии должны двигаться первыми, чтобы частицы в середине файла имели свободное пространство для перемещения, требуя более быстрого времени прыжка для тех, кто на периферии. f(n) появляется, поскольку в аномальных файлах нет типичной шкалы времени для прыжка, а частицы независимы, и поэтому конкретная частица может стоять на месте в течение очень долгого времени, существенно ограничивая возможности прогресса для частиц вокруг нее в течение этого времени. Очевидно, , где f ( n ) = 1 для файлов обновления, поскольку частицы прыгают вместе, но также и в файлах независимых частиц с , поскольку в таких файлах есть типичная шкала времени для прыжка, рассматриваемая как время для синхронизированного прыжка. Мы вычисляем f(n) из числа конфигураций, в которых порядок времен прыжков частиц допускает движение; то есть порядок, в котором более быстрые частицы всегда располагаются по направлению к периферии. Для n частиц существует n! различных конфигураций, где одна конфигурация является оптимальной; так что, . Тем не менее, хотя и не оптимально, распространение также возможно во многих других конфигурациях; когда m — число движущихся частиц, тогда,${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}/n)}$${\displaystyle 0<f(n)<1}$${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle (1/n!)\leq f(n)}$

${\displaystyle f(n)\sim {\dbinom {n}{m}}(n-m)!1/n!,}$

22

где подсчитывает количество конфигураций, в которых эти m частиц вокруг помеченной имеют оптимальный порядок прыжков. Теперь, даже когда m~n/2, . Используя в уравнении ( 21 ), ( небольшое число больше 1), мы видим,${\displaystyle {\dbinom {n}{m}}(n-m)!}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/2}}$${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/n_{0}}}$${\displaystyle n_{0}}$

${\displaystyle \mathrm {MSD} \sim \left({\frac {\alpha }{n_{0}}}\right)^{2}\ln ^{2}(t).}$

23

(В уравнении ( 23 ) мы используем, .) Уравнение ( 23 ) показывает, что асимптотически частицы чрезвычайно медленны в аномальных рядах независимых частиц.${\displaystyle MSD\sim \mid MAD\mid ^{2}}$

С помощью численных исследований можно увидеть, что аномальные файлы независимых частиц образуют кластеры. Это явление определяет динамический фазовый переход. В устойчивом состоянии процент частиц в кластере, , следует,${\displaystyle \xi (\alpha )}$

${\displaystyle \xi (\alpha )\approx {\sqrt {1-\alpha ^{3}}}}$

24

На рисунке 1 показаны траектории 9 частиц в файле из 501 частицы. (Рекомендуется открыть файл в новом окне). Верхние панели показывают траектории для , а нижние панели показывают траектории для . Для каждого значения показаны траектории на ранних стадиях моделирования (слева) и на всех стадиях моделирования (справа). Панели демонстрируют явление кластеризации, когда траектории притягиваются друг к другу, а затем движутся практически вместе.${\displaystyle \alpha =0.9}$${\displaystyle \alpha =0.1}$${\displaystyle \alpha }$

• Броуновское движение
• Динамика Ланжевена
• Системная динамика