Файл:Tesseract2.svg

Русский: Изображение трехмерной развертки тессеракта, созданное Dmn с помощью Paint Shop Pro.

Сетка тессеракта — это развёртка тессеракта в трёхмерное пространство. Пусть измерение слева направо будет обозначено x , измерение снизу вверх — z , а измерение спереди назад — y . Пусть координаты будут ( x , y , z ). Пусть верхний куб имеет координаты (0,0,1), куб под ним — координаты (0,0,0), куб перед ним — координаты (0,−1,0), куб за ним — координаты (0,1,0), куб слева (−1,0,0), тот, что справа (1,0,0). Пусть куб под центральным имеет координаты (0,0,−1), а тот, что внизу — координаты (0,0,−2).

Центральный куб (0,0,0) виден соединенным с шестью другими кубами, но при сложении в 4-D каждый куб соединяется с шестью другими кубами. Фронтальный куб (0,−1,0) соединяется в направлении −Y с (0,0,−2), в направлении +Y с (0,0,0), в направлении +X с (1,0,0), в направлении −X с (−1,0,0), в направлении +Z с (0,0,1), в направлении −Z с (0,0,−1).

Существует двенадцать различных способов, которыми тессеракт может быть повернут (в 4-D) на 90 градусов таким образом, что четыре куба циклически поменяются местами, в то время как оставшиеся четыре куба останутся на месте, но повернутся (в 3-D). Например, один 4-D поворот вызывает следующий обмен четырьмя кубами: (0,0,1)→(0,0,0)→(0,0,−1)→(0,0,−2)→(0,0,1). Между тем, тот же самый поворот заставляет куб (0,1,0) повернуться на 90 градусов вокруг оси +X, куб (0,−1,0) повернуться на 90 градусов вокруг оси −X, куб (1,0,0) повернуться на 90 градусов в направлении −Y и куб (−1,0,0) повернуться на 90 градусов в направлении +Y.

Двенадцать 4-мерных вращений:
1: (0,0,1)→(0,0,0)→(0,0,−1)→(0,0,−2)→(0,0,1),
9: (0,0,1)→(1,0,0)→(0,0,−1)→(−1,0,0)→(0,0,1),
10: (0,0,1)←(1,0,0)←(0,0,−1)←(−1,0,0)←(0,0,1),
11: (0,0,1)→(0,1,0)→(0,0,−1)→(0,−1,0)→(0,0,1),
12: (0,0,1) ←(0,1,0) ←(0,0,−1) ←(0,−1,0) ←(0,0,1).

Каждое 4-мерное вращение имеет "дуал", который перпендикулярен 3-мерному вращению неподвижных кубов. Существует шесть пар дуальных (4-мерных) вращений:

• 1 ↔ 4,
  
• 2 ↔ 3,
  
• 5 ↔ 12,
  
• 6 ↔ 11,
  
• 7 ↔ 9,
  
• 8 ↔ 10.
  

Двойственность четырехмерного вращения подразумевает, посредством правила правой руки, как неподвижные кубы должны вращаться в трехмерном пространстве.

Так как есть восемь кубов и каждый куб соединяется с шестью другими кубами, то у каждого куба есть пара кубов, с которыми он не соединяется: (1) он сам и (2) его противоположность. Таким образом, есть четыре пары противоположных кубов:
1: (0,0,1) ↔ (0,0,−1),
2: (0,0,0) ↔ (0,0,−2),
3: (−1,0,0) ↔ (1,0,0),
4: (0,−1,0) ↔ (0,1,0).

Каждая пара противоположных кубов выстраивается вдоль противоположных сторон одной из четырех ортогональных осей 4-мерного пространства. Поэтому можно установить взаимно однозначное отображение f между развернутыми положениями кубов в 3-мерном пространстве и каноническими координатами их сложенных положений в 4-мерном пространстве, а именно.

${\displaystyle f:(-1,0,0)\mapsto (-1,0,0,0)=-I,}$

${\displaystyle f:(1,0,0)\mapsto (1,0,0,0)=I,}$

${\displaystyle f:(0,-1,0)\mapsto (0,-1,0,0)=-J,}$

${\displaystyle f:(0,1,0)\mapsto (0,1,0,0)=J,}$

${\displaystyle f:(0,0,1)\mapsto (0,0,1,0)=K,}$

${\displaystyle f:(0,0,-1)\mapsto (0,0,-1,0)=-K,}$

${\displaystyle f:(0,0,0)\mapsto (0,0,0,1)=1,}$

${\displaystyle f:(0,0,-2)\mapsto (0,0,0,-1)=-1.}$

Каноническим 4-мерным координатам были присвоены метки, соответствующие базисным кватернионам (и их отрицательным значениям). Используя эти метки, 4-мерные вращения можно выразить проще как
1: K → 1 → −K → −1 → K,
2: K → −1 → −K → L → K,
3: I → J → −I → −J → I,
4: I → −J → −I → J → I,
5: −I → 1 → I → −1 → −I,
6: −I → −1 → I → 1 → −I,
7: −J → 1 → J → −1 → −J,
8: −J → −1 → J → 1 → −J,
9: K → I → −K → −I → K,
10: K → −I → −K → I → K,
11: K → J → −K → −J → K,
12: K → −J → −K → J → K.

Все эти вращения следуют шаблону A → B →− A →− B → A , так что каждое из них можно сокращенно обозначить как упорядоченную пару ( A , B ). Тогда каждое вращение можно максимально сократить до произведения упорядоченной пары кватернионов, что даст мнимый кватернион:
1: (K,1) = K
2: (K,−1) = −K
3: (I,J) = K
4: (I,−J) = −K
5: (−I,1) = −I
6: (−I,−1) = I
7: (−J,1) = −J
8: (−J,−1) = J
9: (K,I) = J
10: (K,−I) ​​= −J
11: (K,J) = −I
12: (K,−J) = I

Тогда пары двойных кватернионов обладают следующими свойствами: произведения их однокватернионных сокращений всегда равны единице:

• 1 ↔ 4 : К (− К) = 1,
  
• 2 ↔ 3 : (−К) К = 1,
  
• 5 ↔ 12 : (− I) I = 1,
  
• 6 ↔ 11 : I (−I) = 1,
  
• 7 ↔ 9 : (−J) J = 1,
  
• 8 ↔ 10 : J (−J) = 1.
  

У каждого из двенадцати поворотов есть пара возможных дуалов, но один из них является обратным поворотом, т. е. для данного поворота ( A , B ) его обратным является ( A , − B ), поэтому он не может считаться дуалом ( A , B ), оставляя только один возможный дуал.