Метод фиктивной области

В математике метод фиктивных областей — это метод нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных в сложной области путем замены заданной задачи, поставленной в области , новой задачей, поставленной в простой области, содержащей .${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle D}$

Предположим , что в некоторой области мы хотим найти решение уравнения :${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle и(х)}$

${\displaystyle Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D}$

с граничными условиями :

${\displaystyle lu=g(x),x\in \partial D}$

Основная идея метода фиктивных областей заключается в замене заданной задачи, поставленной на области , новой задачей, поставленной на области простой формы, содержащей ( ). Например, мы можем выбрать n -мерный параллелоэдр в качестве .${\displaystyle D}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D\subset \Omega }$${\displaystyle \Омега}$

Задача в расширенной области для нового решения :${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle u_ {\epsilon }(x)}$

${\displaystyle L_{\epsilon}u_{\epsilon}=-\phi ^{\epsilon}(x),x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\in \Omega }$

${\displaystyle l_{\epsilon}u_{\epsilon}=g^{\epsilon}(x),x\in \partial \Omega }$

Необходимо поставить задачу в расширенной области так, чтобы выполнялось следующее условие:

${\displaystyle u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}$

${\displaystyle и(0)=0,и(1)=0}$

${\displaystyle u_ {\epsilon }(x)}$решение проблемы:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}$

Разрывный коэффициент и правую часть уравнения предыдущего уравнения получаем из выражений:${\displaystyle k^{\epsilon }(x)}$

${\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}$

${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)}$

Граничные условия:

${\ displaystyle u_ {\ epsilon } (0) = 0, u_ {\ epsilon } (2) = 0}$

Условия подключения в точке :${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle [u_{\epsilon}]=0,\ \left[k^{\epsilon}(x){\frac {du_{\epsilon}}{dx}}\right]=0}$

где означает:${\displaystyle [\cdot]}$

${\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)}$

Уравнение (1) имеет аналитическое решение , поэтому мы можем легко получить погрешность:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}$

${\displaystyle u_ {\epsilon }(x)}$решение проблемы:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}$

Где берем то же, что и в (3), и выражение для${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)}$${\displaystyle c^{\epsilon }(x)}$

${\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}}$

Граничные условия для уравнения (4) такие же, как для (2).

Условия подключения в точке :${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

Ошибка:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}$

• П. Н. Вабищевич, Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Издательство Московского университета, Москва, 1991.
• Смагулов С. Метод фиктивных областей для уравнения Навье–Стокса, Препринт ВЦ АН СССР, 68, 1979.
• Бугров А.Н., Смагулов С. Метод фиктивных областей для уравнения Навье–Стокса, Математическая модель течения жидкости, Новосибирск, 1978, с. 79–90