В математике константа Феллера–Торнье C FT представляет собой плотность множества всех положительных целых чисел, которые имеют четное количество различных простых множителей, возведенных в степень, большую единицы (игнорируя любые простые множители, которые появляются только в первой степени). [1]
Она названа в честь Уильяма Феллера (1906–1970) и Эрхарда Торнье (1894–1982) [2]
С ФТ = 1 2 + ( 1 2 ∏ н = 1 ∞ ( 1 − 2 п н 2 ) ) = 1 2 ( 1 + ∏ н = 1 ∞ ( 1 − 2 п н 2 ) ) = 1 2 ( 1 + 1 ζ ( 2 ) ∏ н = 1 ∞ ( 1 − 1 п н 2 − 1 ) ) = 1 2 + 3 π 2 ∏ н = 1 ∞ ( 1 − 1 п н 2 − 1 ) = 0,66131704946 … {\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{FT}}&={1 \over 2}+\left({1 \over 2}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{2 \over p_{n}^{2}}\right)\right)\\[4pt]&={{1} \over {2}}\left(1+\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{2} \over {p_{n}^{2}}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}\left(1+{{1} \over {\zeta (2)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}+{{3} \over {\pi ^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)=0.66131704946\ldots \end{aligned}}} (последовательность A065493 в OEIS )
Омега-функция Функция Big Omega задается выражением
Ω ( х ) = число простых множителей х подсчитано по кратностям {\displaystyle \Omega (x)={\text{количество простых множителей числа }}x{\text{ подсчитанное по кратностям}}} См. также: Функция простого омега .
Скобка Айверсона — это
[ П ] = { 1 если П это правда, 0 если П ложно. {\displaystyle [P]={\begin{cases}1&{\text{если }}P{\text{ истинно,}}\\0&{\text{если }}P{\text{ ложно.}}\end{cases}}} С этими обозначениями мы имеем
С ФТ = лим н → ∞ ∑ к = 1 н ( [ Ω ( к ) ≡ 0 мод 2 ] ) н {\displaystyle C_{\text{FT}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}([\Omega (k)\equiv 0{\bmod {2}}])}{n}}}
Основная дзета-функция Простая дзета-функция P определяется как
П ( с ) = ∑ п является главным 1 п с . {\displaystyle P(s)=\sum _{p{\text{ является простым числом}}}{\frac {1}{p^{s}}}.} Константа Феллера–Торнье удовлетворяет
С ФТ = 1 2 ( 1 + эксп ( − ∑ н = 1 ∞ 2 н П ( 2 н ) н ) ) . {\displaystyle C_{\text{FT}}={1 \over 2}\left(1+\exp \left(-\sum _{n=1}^{\infty }{2^{n}P(2n) \over n}\right)\right).}
Смотрите также
Ссылки ^ "Константа Феллера–Торнье – из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com . 2017-03-23 . Получено 2017-03-30 . ^ Стивен Р. Финч. "Математические константы. (Ср. константа Феллера–Торнье.)". Oeis.org . Получено 2017-03-30 . ![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\text{FT}}&={1 \over 2}+\left({1 \over 2}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{2 \over p_{n}^{2}}\right)\right)\\[4pt]&={{1} \over {2}}\left(1+\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{2} \over {p_{n}^{2}}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}\left(1+{{1} \over {\zeta (2)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}+{{3} \over {\pi ^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)=0.66131704946\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd188282528754017394645f78a4b0b59dbdf497)
![{\displaystyle [P]={\begin{cases}1&{\text{если }}P{\text{ истинно,}}\\0&{\text{если }}P{\text{ ложно.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54db37a0bfeb6185af816e956c97ee6633a15b62)
![{\displaystyle C_{\text{FT}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}([\Omega (k)\equiv 0{\bmod {2}}])}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c6f6844bc6c018f75fa3c5c3febc84ddc8c44f)
