Сверхъестественное преобразование

В математике , в частности в теории категорий , экстраестественное преобразование ^[1] является обобщением понятия естественного преобразования .

Пусть и — два функтора категорий. Семейство называется естественным по a и экстраестественным по b и c, если выполняется следующее:${\displaystyle F:A\times B^{\mathrm {op} }\times B\rightarrow D}$${\displaystyle G:A\times C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow D}$${\displaystyle \eta (a,b,c):F(a,b,b)\rightarrow G(a,c,c)}$

• ${\displaystyle \эта (-,б,в)}$является естественной трансформацией (в обычном смысле).
• (экстраестественность в b ) , , следующая диаграмма коммутирует${\displaystyle \forall (g:b\rightarrow b^{\prime })\in \mathrm {Mor} \,B}$${\displaystyle \forall a\in A}$${\displaystyle \forall c\in C}$

${\displaystyle {\begin{matrix}F(a,b',b)&\xrightarrow {F(1,1,g)} &F(a,b',b')\\_{F(1,g,1)}\downarrow \qquad &&_{\eta (a,b',c)}\downarrow \qquad \\F(a,b,b)&\xrightarrow {\eta (a,b,c)} &G(a,c,c)\end{matrix}}}$

• (экстраестественность в c ) , , следующая диаграмма коммутирует${\displaystyle \forall (h:c\rightarrow c^{\prime })\in \mathrm {Mor} \,C}$${\displaystyle \forall a\in A}$${\displaystyle \forall b\in B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}F(a,b,b)&\xrightarrow {\eta (a,b,c')} &G(a,c',c')\\_{\eta (a,b,c)}\downarrow \qquad &&_{G(1,h,1)}\downarrow \qquad \\G(a,c,c)&\xrightarrow {G(1,1,h)} &G(a,c,c')\end{matrix}}}$

Для определения клиньев и, соответственно, концов ^[2] (дуально соклиньев и соконцов) можно использовать экстраестественные преобразования , устанавливая (дуально ) константу.${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Внеестественные преобразования можно определить в терминах неестественных преобразований , частным случаем которых они являются. ^[2]

• Динатуральная трансформация

• сверхъестественное+преобразование в n Lab