Экспоненциальный факториал

Экспоненциальный факториал — это положительное целое число n, возведенное в степень n  − 1, которое, в свою очередь, возводится в степень n  − 2, и так далее в порядке правой группировки. То есть,

${\displaystyle n^{(n-1)^{(n-2)\cdots }}}$

Экспоненциальный факториал также можно определить с помощью рекуррентного соотношения

${\displaystyle a_{1}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}}$

Первые несколько экспоненциальных факториалов — это 1 , 2 , 9 , 262144 , ... ( OEIS : A049384 или OEIS : A132859 ). Например, 262144 — это экспоненциальный факториал, поскольку

${\displaystyle 262144=4^{3^{2^{1}}}}$

Используя рекуррентное соотношение, первые экспоненциальные факториалы равны:

1

2 ¹ = 2

3 ² = 9

4 ⁹ = 262144

5 ²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878...8212890625 (183231 цифр)

Экспоненциальные факториалы растут гораздо быстрее обычных факториалов или даже гиперфакториалов . Количество цифр в экспоненциальном факториале числа 6 составляет приблизительно 5 × 10 ^{183 230} .

Сумма обратных величин показательных факториалов от 1 и далее представляет собой следующее трансцендентное число :

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{3^{2^{1}}}}+{\frac {1}{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{5^{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}+\ldots =1,611114925808376736\underbrace {11111111111\ldots 1111111111111} _{183212}272243682859\ldots }$

Эта сумма трансцендентна, поскольку является числом Лиувилля .

Подобно тетрации , в настоящее время не существует общепринятого метода расширения показательной факториальной функции до действительных и комплексных значений ее аргумента, в отличие от факториальной функции, для которой такое расширение обеспечивает гамма-функция . Но ее можно расширить, если она определена в полосе шириной 1.

Аналогично, существуют разногласия относительно соответствующего значения в 0; любое значение будет соответствовать рекурсивному определению. Плавное расширение до вещественных чисел удовлетворит , что предполагает значение строго между 0 и 1.${\displaystyle f(0)=f'(1)}$

Этот раздел пуст. Вы можете помочь, дополнив его. ( Август 2023 )

• Джонатан Сондов, «Экспоненциальный факториал» Из Mathworld , веб-ресурса Wolfram

Эта статья по теории чисел — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е