Ожидаемые средние квадраты

В статистике ожидаемые средние квадраты (EMS) — это ожидаемые значения определенных статистик, возникающих при разбиении сумм квадратов в дисперсионном анализе (ANOVA). Их можно использовать для определения того, какая статистика должна появиться в знаменателе в F-тесте для проверки нулевой гипотезы об отсутствии определенного эффекта.

Когда общая скорректированная сумма квадратов в ANOVA разбивается на несколько компонентов, каждый из которых приписывается эффекту определенной предикторной переменной, каждая из сумм квадратов в этом разбиении является случайной величиной, которая имеет ожидаемое значение . Это ожидаемое значение, деленное на соответствующее число степеней свободы, является ожидаемым средним квадратом для этой предикторной переменной.

Следующий пример взят из книги Дональда Хедекера и Роберта Д. Гиббонса «Анализ продольных данных» . ^[1]

Каждое из s видов лечения (одно из которых может быть плацебо) назначается выборке из (заглавных) N случайно выбранных пациентов, у которых в каждый из (строчных) n указанных моментов времени наблюдаются определенные измерения, для (таким образом, количество пациентов, получающих различные виды лечения, может различаться), и Мы предполагаем, что наборы пациентов, получающих различные виды лечения, не пересекаются, поэтому пациенты вложены в виды лечения и не пересекаются с видами лечения. Мы имеем${\textstyle Y_{hij}}$${\textstyle h=1,\ldots ,s,\quad i=1,\ldots ,N_{h}}$${\textstyle j=1,\ldots ,n.}$

${\displaystyle Y_{hij}=\mu +\gamma _{h}+\tau _{j}+(\gamma \tau )_{hj}+\pi _{i(h)}+\varepsilon _{ привет}}$

где

• ${\displaystyle \мю}$= большое среднее, (фиксированное)
• ${\displaystyle \гамма _{h}}$= эффект лечения , (фиксированный)${\displaystyle ч}$
• ${\displaystyle \tau _{j}}$= эффект времени , (фиксированный)${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle (\гамма \тау )_{hj}}$= эффект взаимодействия лечения и времени , (фиксированный)${\displaystyle ч}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \пи _{i(h)}}$= индивидуальный эффект различия для пациента, вложенного в лечение , (случайный)${\displaystyle я}$${\displaystyle ч}$
• ${\displaystyle \varepsilon _ {hij}}$= ошибка для пациента, находящегося на лечении в момент времени . (случайная)${\displaystyle я}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle \sigma _ {\pi }^{2}}$= дисперсия случайного эффекта пациентов, включенных в лечение,
• ${\displaystyle \sigma _ {\varepsilon }}$= дисперсия ошибки.

Общая скорректированная сумма квадратов равна

${\displaystyle \sum _{hij}(Y_{hij}-{\overline {Y}})^{2}\quad {\text{where }}{\overline {Y}}={\frac {1} {n}}\sum _{hij}Y_{hij}.}$

Таблица ANOVA ниже разделяет сумму квадратов (где ):${\textstyle N=\сумма _{ч}N_{ч}}$

источник изменчивости	степени свободы	сумма квадратов	средний квадрат	ожидаемый средний квадрат
уход	${\displaystyle s-1}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{Tr}}=n\sum _{h=1}^{s}N_{h}({\overline {Y}}_{h\cdot \cdot }-{\overline {Y}}_{\cdot \cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}}{s-1}}}$	${\displaystyle \сигма _{\varepsilon}^{2}+n\сигма _{\пи}^{2}+D_{\text{Tr}}}$
время	${\displaystyle n-1}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{T}}=N\sum _{j=1}^{n}({\overline {Y}}_{\cdot \cdot j}-{\overline {Y}}_{\cdot \cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{T}}}{n-1}}}$	${\displaystyle \сигма _{\varepsilon}^{2}+D_{\text{T}}}$
лечение × время	${\displaystyle (с-1)(н-1)}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{Tr T}}=\sum _{h=1}^{s}\sum _{j=1}^{n}N_{h}({\overline {Y}}_{h\cdot j}-{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot }-{\overline {Y}}_{\cdot \cdot j}+{\overline {Y}}_{\cdot \cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{Tr T}}}{(n-1)(s-1)}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+D_{\text{Tr T}}}$
пациенты в рамках лечения	${\displaystyle Нс}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{{\text{S}}({\text{Tr}})}=n\sum _{h=1}^{s}\sum _{i=1}^{N_{h}}({\overline {Y}}_{hi\cdot }-{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{{\text{S}}({\text{Tr}})}}{Ns}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}$
ошибка	${\displaystyle (Ns)(n-1)}$	${\displaystyle {\text{SS}}_{\text{E}}=\sum _{h=1}^{s}\sum _{i=1}^{N_{h}}\sum _{j=1}^{n}(Y_{hij}-{\overline {Y}}_{h\cdot j}-{\overline {Y}}_{hi\cdot }+{\overline {Y}}_{h\cdot \cdot })^{2}}$	${\displaystyle {\dfrac {{\text{SS}}_{\text{E}}}{(N-s)(n-1)}}}$	${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}}$

Нулевая гипотеза, представляющая интерес, заключается в том, что нет никакой разницы между эффектами различных видов лечения, а значит, нет никакой разницы между средними величинами видов лечения. Это можно выразить, сказав (с обозначениями, используемыми в таблице выше). Согласно этой нулевой гипотезе, ожидаемый средний квадрат для эффектов видов лечения равен${\textstyle D_{\text{Tr}}=0,}$${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}.}$

Числитель в F-статистике для проверки этой гипотезы — это среднеквадратичное значение из-за различий между вариантами лечения, т. е. оно равно Знаменатель, однако, не равен Причина в том, что случайная величина ниже, хотя при нулевой гипотезе она имеет F-распределение , не является наблюдаемой — она не является статистикой — поскольку ее значение зависит от ненаблюдаемых параметров и${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1).}$ ${\textstyle \left.{\text{SS}}_{\text{E}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}.}$${\textstyle \sigma _{\pi }^{2}}$${\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\left.{\frac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}}\right/(s-1)}{\left.{\frac {{\text{SS}}_{\text{E}}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}\right/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}}}\neq {\frac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}/(s-1)}{{\text{SS}}_{\text{E}}/{\big (}(N-s)(n-1){\big )}}}}$

Вместо этого в качестве тестовой статистики используется следующая случайная величина, которая не определена в терминах :${\textstyle {\text{SS}}_{\text{E}}}$

${\displaystyle F={\frac {\left.{\frac {{\text{SS}}_{\text{Tr}}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}}\right/(s-1)}{\left.{\frac {{\text{SS}}_{{\text{S}}({\text{Tr}})}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}+n\sigma _{\pi }^{2}}}\right/(N-s)}}={\frac {\left.{\text{SS}}_{\text{Tr}}\right/(s-1)}{\left.{\text{SS}}_{\text{S(Tr)}}\right/(N-s)}}}$