Формула Эйлера–Родригеса

В математике и механике формула Эйлера–Родригеса описывает вращение вектора в трех измерениях. Она основана на формуле вращения Родригеса , но использует другую параметризацию.

Вращение описывается четырьмя параметрами Эйлера , введенными Леонардом Эйлером . Формула вращения Родригеса (названная в честь Олинда Родригеса ), метод расчета положения повернутой точки, используется в некоторых программных приложениях, таких как авиасимуляторы и компьютерные игры .

Определение

Вращение вокруг начала координат представлено четырьмя действительными числами a ,  b ,  c ,  d , такими, что

а 2 + б 2 + с 2 + г 2 = 1. {\displaystyle а^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}

При применении вращения точка в положении x → поворачивается в новое положение, [1]

х → ′ = ( а 2 + б 2 − с 2 − г 2 2 ( б с − а г ) 2 ( б г + а с ) 2 ( б с + а г ) а 2 + с 2 − б 2 − г 2 2 ( с г − а б ) 2 ( б г − а с ) 2 ( с г + а б ) а 2 + г 2 − б 2 − с 2 ) х → . {\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}

Векторная формулировка

Параметр a можно назвать скалярным параметром, а ω → = ( ​​b, c, d ) — векторным параметром . В стандартной векторной записи формула вращения Родригеса принимает компактную форму [ необходима цитата ]

х → ′ = х → + 2 а ( ω → × х → ) + 2 ( ω → × ( ω → × х → ) ) {\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\ омега }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)}

Симметрия

Параметры ( a ,  b ,  c ,  d ) и (− a , − b , − c , − d ) описывают одно и то же вращение. Помимо этой симметрии, каждый набор из четырех параметров описывает уникальное вращение в трехмерном пространстве.

Состав ротаций

Композиция двух вращений сама по себе является вращением. Пусть ( a 1 ,  b 1 ,  c 1 ,  d 1 ) и ( a 2 ,  b 2 ,  c 2 ,  d 2 ) будут параметрами Эйлера двух вращений. Параметры для составного вращения (вращение 2 после вращения 1) следующие:

а = а 1 а 2 − б 1 б 2 − с 1 с 2 − г 1 г 2 ; б = а 1 б 2 + б 1 а 2 − с 1 г 2 + г 1 с 2 ; с = а 1 с 2 + с 1 а 2 − г 1 б 2 + б 1 г 2 ; г = а 1 г 2 + г 1 а 2 − б 1 с 2 + с 1 б 2 . {\displaystyle {\begin{align}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{align}}}

Проверить, что a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 , просто, хотя и утомительно . (По сути, это тождество четырех квадратов Эйлера , также использованное Родригесом.)

Угол поворота и ось поворота

Любое центральное вращение в трех измерениях однозначно определяется его осью вращения (представленной единичным вектором k → = ( ​​k x , k y , k z ) ) и углом вращения φ . Параметры Эйлера для этого вращения вычисляются следующим образом:

а = потому что ⁡ φ 2 ; б = к х грех ⁡ φ 2 ; с = к у грех ⁡ φ 2 ; г = к з грех ⁡ φ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c& =k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}}

Обратите внимание, что если φ увеличивается на полный оборот в 360 градусов, аргументы синуса и косинуса увеличиваются только на 180 градусов. Результирующие параметры противоположны исходным значениям (− a , − b , − c , − d ) ; они представляют тот же самый поворот.

В частности, тождественное преобразование (нулевой поворот, φ = 0 ) соответствует значениям параметров ( a , b , c , d ) = (±1, 0, 0, 0) . Повороты на 180 градусов вокруг любой оси приводят к a = 0 .

Связь с кватернионами

Параметры Эйлера можно рассматривать как коэффициенты кватерниона ; скалярный параметр a — это действительная часть, векторные параметры b , c , d — мнимые части. Таким образом, мы имеем кватернион

д = а + б я + с дж + г к , {\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}

который является кватернионом единичной длины (или версора ), поскольку

‖ д ‖ 2 = а 2 + б 2 + с 2 + г 2 = 1. {\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}

Самое важное, что приведенные выше уравнения для композиции вращений являются в точности уравнениями для умножения кватернионов . Другими словами, группа единичных кватернионов с умножением, по модулю отрицательного знака, изоморфна группе вращений с композицией. q = q 2 q 1 {\displaystyle q=q_{2}\,q_{1}}

Связь со спиновыми матрицами SU(2)

Группа Ли SU(2) может быть использована для представления трехмерных вращений в комплексных матрицах 2 × 2. Матрица SU(2), соответствующая вращению, с точки зрения ее параметров Эйлера, имеет вид

U = (   a − d i − c − b i c − b i a + d i ) . {\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.}

что можно записать как сумму

U = a   ( 1 0 0 1 ) − i b   ( 0 1 1 0 ) − i c   ( 0 − i i 0 ) − i d   ( 1 0 0 − 1 ) = a I − i b σ x − i c σ y − i d σ z , {\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}

где σ i — спиновые матрицы Паули .

Вращение задается выражением , что можно подтвердить, умножив , что дает формулу Эйлера–Родригеса, как указано выше. X ′ ≡ ( x 1 ′ σ x + x 2 ′ σ y + x 3 ′ σ z ) = U X U † = ( a I − i b σ x − i c σ y − i d σ z ) ( x 1 σ x + x 2 σ y + x 3 σ z ) ( a I + i b σ x + i c σ y + i d σ z ) {\displaystyle X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})}

Таким образом, параметры Эйлера представляют собой действительные и мнимые координаты в матрице SU(2), соответствующей элементу спиновой группы Spin(3), которая отображается двойным накрытием в поворот в ортогональной группе SO(3). Это реализуется как единственное трехмерное неприводимое представление группы Ли SU(2) ≈ Spin(3). R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

Параметры Кэли–Клейна

Элементы матрицы известны как параметры Кэли–Клейна , в честь математиков Артура Кэли и Феликса Клейна , [a] U {\displaystyle U}

α = a − d i β = − c − b i γ = c − b i δ =   a + d i {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a-di&\beta &=-c-bi\\\gamma &=c-bi&\delta &=\ a+di\end{aligned}}}

В терминах этих параметров формула Эйлера–Родрига может быть также записана [2] [6] [a]

x → ′ = ( 1 2 ( α 2 − γ 2 + δ 2 − β 2 ) 1 2 i ( γ 2 − α 2 + δ 2 − β 2 ) γ δ − α β 1 2 i ( α 2 + γ 2 − β 2 − δ 2 ) 1 2 ( α 2 + γ 2 + β 2 + δ 2 ) − i ( α β + γ δ ) β δ − α γ i ( α γ + β δ ) α δ + β γ ) x → . {\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {1}{2}}i(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {1}{2}}i(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\delta ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{pmatrix}}{\vec {x}}.}

Клейн и Зоммерфельд широко использовали параметры в связи с преобразованиями Мёбиуса и перекрестными отношениями при обсуждении динамики гироскопа. [3] [7]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ ab Goldstein (1980) [2] рассматривает пассивное ( контравариантное или «псевдонимное») преобразование, а не активное (ковариантное или «алиби») преобразование здесь.
    Его матрица , следовательно, соответствует транспонированной матрице Эйлера–Родрига, приведенной в начале этой статьи, или, что эквивалентно, матрице Эйлера–Родрига для активного вращения , а не . Принимая это во внимание, очевидно, что его , , и в уравнении 4-67 (стр. 153) равны , , и здесь. Однако его , , , и , элементы его матрицы , соответствуют элементам матрицы здесь, а не матрице . Это затем дает его параметризацию A {\displaystyle A} − φ {\displaystyle -\varphi } φ {\displaystyle \varphi } e 1 {\displaystyle e_{1}} e 2 {\displaystyle e_{2}} e 3 {\displaystyle e_{3}} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } δ {\displaystyle \delta } Q {\displaystyle Q} U † {\displaystyle U^{\dagger }} U {\displaystyle U}
    α = a + d i β = c + b i γ = − c + b i δ = a − d i {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\;\;a+di&\beta &=c+bi\\\gamma &=-c+bi&\delta &=a-di\end{aligned}}}
    В результате, хотя его формула (4-64) посимвольно идентична приведенной здесь матрице преобразования, используя его определения для , , , и она дает его матрицу , тогда как определения, основанные на приведенной выше матрице, приводят к (активной) матрице Эйлера–Родригеса, представленной здесь. Пеннестри и др. (2016) [3] аналогичным образом определяют свои , , , и в терминах пассивной матрицы, а не активной матрицы . Параметризация здесь соответствует той, которая используется, например, в работах Сакураи и Наполитано (2020), [4] стр. 165, и Альтмана (1986), [5] уравнение 5 стр. 113 / уравнение 9 стр. 117. α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } δ {\displaystyle \delta } A {\displaystyle A} U {\displaystyle U}
    α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } δ {\displaystyle \delta } Q {\displaystyle Q} U {\displaystyle U}

Дальнейшее чтение

  • Картан, Эли (1981). Теория спиноров . Дувр. ISBN 0-486-64070-1.
  • Гамильтон, У. Р. (1899). Элементы кватернионов . Cambridge University Press.
  • Хауг, Э. Дж. (1984). Компьютерный анализ и оптимизация динамики механических систем . Springer-Verlag.
  • Гарса, Эдуардо; Пачеко Кинтанилья, Мэн (июнь 2011 г.). «Бенджамин Олинде Родригес, математика и филантропия, и ваше влияние на мексиканскую физику» (PDF) . Revista Mexicana de Física (на испанском языке): 109–113. Архивировано из оригинала (pdf) 23 апреля 2012 г.
  • Шустер, Малкольм Д. (1993). «Обзор представлений об отношении» (PDF) . Журнал астронавтических наук . 41 (4): 439–517.
  • Дай, Цзянь С. (октябрь 2015 г.). «Вариации формулы Эйлера–Родригеса, сопряжение кватернионов и внутренние связи». Теория механизмов и машин . 92 : 144–152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 .

Ссылки

  1. ^ например, Феликс Клейн (1897), Математическая теория волчка , Нью-Йорк: Scribner. стр.4
  2. ^ ab Goldstein, H. (1980), "Параметры Кэли-Клейна и связанные с ними величины". §4-5 в Classical Mechanics , 2-е изд. Reading, MA: Addison-Wesley. стр. 153
  3. ^ ab E. Pennestrì, PP Valentini, G. Figliolini, J. Angeles (2016), "Двойные параметры Кэли–Клейна и преобразование Мёбиуса: теория и приложения", Mechanism and Machine Theory 106 (январь):50-67. doi :10.1016/j.mechmachtheory.2016.08.008. pdf доступен через ResearchGate
  4. ^ Сакурай, Дж. Дж .; Наполитано, Джим (2020). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж. ISBN 978-1-108-47322-4. OCLC  1202949320.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  5. ^ Альтманн, С. (1986), Вращения, кватернионы и двойные группы . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-855372-2 
  6. ^ Weisstein, Eric W. , Параметры Кэли-Клейна, MathWorld . Доступ 2024-05-10
  7. ^ Феликс Кляйн и Арнольд Зоммерфельд , Über die Theorie des Kreisels , том 1. (Тойбнер, 1897). Переведено (2008) как: Теория вершины , том 1. Бостон: Биркхаузер. ISBN 0817647201 
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Euler–Rodrigues_formula&oldid=1250459729"