Евклидова случайная матрица

В математике случайная евклидова матрица Â размером N × N определяется с помощью произвольной детерминированной функции f ( r , r ′) и N точек { r _i }, случайно распределенных в области V d -мерного евклидова пространства . Элемент A _ij матрицы равен f ( r _i , r _j ) : A _ij = f ( r _i , r _j ).

Евклидовы случайные матрицы были впервые введены в 1999 году. ^[1] Они изучили особый случай функций f , которые зависят только от расстояний между парами точек: f ( r , r ′) = f ( r - r ′) и наложили дополнительное условие на диагональные элементы A _ii ,

A _ij = f ( ri _- r _j ) - u _δ ij _Σ k _f ( ri _- r k ) ,

мотивировано физическим контекстом, в котором они изучали матрицу. Евклидова матрица расстояний является частным примером евклидовой случайной матрицы с f ( r _i - r _j ) = | r _i - r _j | ² или f ( r _i - r _j ) = | r _i - r _j |. ^[2]

Например, во многих биологических сетях сила взаимодействия между двумя узлами зависит от физической близости этих узлов. Пространственные взаимодействия между узлами можно смоделировать как евклидову случайную матрицу, если узлы размещены в пространстве случайным образом. ^{[3] [4]}

Поскольку положения точек { r _i } случайны, элементы матрицы A _ij также случайны. Более того, поскольку элементы N × N полностью определяются только N точками и, как правило, интересуются N ≫ d , между различными элементами существуют сильные корреляции.

Эрмитовы евклидовы случайные матрицы появляются в различных физических контекстах, включая переохлажденные жидкости, ^[5] фононы в неупорядоченных системах, ^[6] и волны в случайных средах. ^[7]

Пример 1: Рассмотрим матрицу Â, сгенерированную функцией f ( r , r ′) = sin( k ₀ | r - r ′|)/( k ₀ | r - r ′|), где k ₀ = 2π/λ ₀ . Эта матрица является эрмитовой , и ее собственные значения Λ являются действительными . Для N точек, распределенных случайным образом в кубе со стороной L и объемом V = L ³ , можно показать ^[7] , что распределение вероятностей Λ приблизительно задается законом Марченко-Пастура , если плотность точек ρ = N / V подчиняется ρλ ₀ ³ ≤ 1 и 2,8 N /( k ₀ L ) ² < 1 (см. рисунок).

Была разработана теория плотности собственных значений больших ( N ≫1) неэрмитовых евклидовых случайных матриц ^[8] и применена для изучения проблемы случайного лазера . ^[9]

Пример 2: Рассмотрим матрицу Â, сгенерированную функцией f ( r , r ′) = exp( ik ₀ | r - r ′|)/( k ₀ | r - r ′|), где k ₀ = 2π/λ ₀ и f ( r = r ′) = 0. Эта матрица не является эрмитовой, а ее собственные значения Λ являются комплексными . Распределение вероятностей Λ можно найти аналитически ^[8], если плотность точек ρ = N / V удовлетворяет условию ρλ ₀ ³ ≤ 1 и 9 N /(8 k ₀ R ) ² < 1 (см. рисунок).