Экономика эргодичности

Ergodicity economics — это исследовательская программа, направленная на переработку теоретических основ экономики вокруг концепции эргодичности . ^[1] Основная цель программы — понять, как традиционная экономическая теория, сформулированная в терминах ожидаемых значений , изменяется при замене ожидаемого значения на средние по времени. В частности, программа заинтересована в понимании эффекта неэргодических процессов в экономике, то есть процессов, где ожидаемое значение наблюдаемой величины не равно ее среднему по времени.

Экономика эргодичности задается вопросом, является ли ожидаемое значение полезным индикатором поведения экономической наблюдаемой величины с течением времени. При этом она опирается на существующую критику использования ожидаемого значения в моделировании экономических решений. Такая критика началась вскоре после введения ожидаемого значения в 1654 году. Например, теория ожидаемой полезности была предложена в 1738 году Даниилом Бернулли ^[2] как способ моделирования поведения, которое несовместимо с максимизацией ожидаемого значения. В 1956 году Джон Келли разработал критерий Келли , оптимизировав использование доступной информации, а Лео Брейман позже заметил, что это эквивалентно оптимизации средней по времени производительности, в отличие от ожидаемого значения. ^[3]

Программа исследований эргодической экономики берет свое начало в двух работах Оле Петерса, физика-теоретика и нынешнего приглашенного профессора в Институте Санта-Фе , опубликованных в 2011 году . ^[4] В первой из них изучалась проблема оптимального левериджа в финансах и то, как этого можно достичь, учитывая неэргодические свойства геометрического броуновского движения . ^[5] Во второй работе принципы неэргодичности были применены для предложения возможного решения парадокса Санкт-Петербурга . ^[6] В более поздних работах были предложены возможные решения для головоломки премии за акции , головоломки страхования, выбора азартной игры, взвешивания вероятностей и даны сведения о динамике неравенства доходов. ^[7]

В математике и физике понятие эргодичности используется для характеристики динамических систем и стохастических процессов . Система называется эргодичной, если точка движущейся системы в конечном итоге посетит все части пространства, в котором движется система, в равномерном и случайном смысле. Эргодичность подразумевает, что среднее поведение вдоль одной траектории во времени (среднее по времени) эквивалентно среднему поведению большого ансамбля в один момент времени ( среднее по ансамблю ). Для бесконечно большого ансамбля среднее по ансамблю наблюдаемой эквивалентно ожидаемому значению .

Экономика эргодичности наследует от этих идей исследование эргодических свойств стохастических процессов, используемых в качестве экономических моделей. Ранняя экономическая теория была разработана в то время, когда было изобретено ожидаемое значение , но его связь со средним значением по времени была неясной. Не было сделано четкого различия между двумя математическими объектами, что равнозначно неявному предположению об эргодичности.

Эргодичная экономика исследует, какие аспекты экономики можно изучить, избегая этого неявного предположения.

Средние значения и ожидаемые значения широко используются в экономической теории, чаще всего в качестве сводной статистики. Одной из распространенных критик этой практики является чувствительность средних значений к выбросам. Экономика эргодичности фокусируется на другой критике и подчеркивает физический смысл ожидаемых значений как средних по статистическому ансамблю параллельных систем. Она настаивает на физическом обосновании при использовании ожидаемых значений. По сути, должно выполняться по крайней мере одно из двух условий:

• среднее значение наблюдаемой величины во многих реальных системах имеет отношение к проблеме, а выборка систем достаточно велика, чтобы ее можно было хорошо аппроксимировать статистическим ансамблем ;

• среднее значение наблюдаемой величины в одной реальной системе за длительный период времени имеет отношение к проблеме, и наблюдаемая величина хорошо моделируется как эргодическая.

В эргодической экономике ожидаемые значения заменяются, где это необходимо, средними значениями, которые учитывают эргодичность или неэргодичность рассматриваемых наблюдаемых величин.

Экономика эргодичности подчеркивает, что происходит с богатством агента с течением времени . Из этого следует возможная теория принятия решений, в которой агенты максимизируют средний по времени темп роста богатства. ^{[8] [9]} Функциональная форма темпа роста, , зависит от процесса богатства . В общем случае темп роста принимает вид , где функция , линеаризуется , так что темпы роста, оцененные в разное время, можно осмысленно сравнивать.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle g={\frac {\Delta v(x)}{\Delta t}}}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle x(t)}$

Процессы роста обычно нарушают эргодичность, но их темпы роста могут быть эргодическими. В этом случае средний по времени темп роста может быть вычислен как скорость изменения ожидаемого значения , т.е. ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle v(x)}$

${\displaystyle g_{t}={\frac {E[\Delta v(x)]}{\Delta t}}}$. (1)

В этом контексте это называется преобразованием эргодичности.${\displaystyle v(x)}$

Влиятельный класс моделей для принятия экономических решений известен как теория ожидаемой полезности . Следующая конкретная модель может быть сопоставлена ​​с оптимизацией темпов роста, выделенной эргодической экономикой. Здесь агенты оценивают денежное богатство в соответствии с функцией полезности , и постулируется, что решения максимизируют ожидаемое значение изменения полезности,${\displaystyle x}$${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle E[\Delta u(x)]}$. (2)

Эта модель была предложена как усовершенствование максимизации ожидаемого значения, где агенты максимизируют . Нелинейная функция полезности позволяет кодировать поведенческие паттерны, не представленные в максимизации ожидаемого значения. В частности, агенты, максимизирующие ожидаемую полезность, могут иметь идиосинкразические предпочтения риска. Агент, заданный выпуклой функцией полезности, более склонен к риску, чем максимизатор ожидаемого богатства, а вогнутая функция полезности подразумевает большее неприятие риска.${\displaystyle E[\Delta x]}$

Сравнивая (2) с (1), мы можем идентифицировать функцию полезности с помощью линеаризации и сделать два выражения идентичными, разделив (2) на . Деление на просто реализует предпочтение более быстрого роста полезности в протоколе принятия решений на основе теории ожидаемой полезности. ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$

Это сопоставление показывает, что две модели дадут идентичные прогнозы, если функция полезности, применяемая в рамках теории ожидаемой полезности, совпадает с преобразованием эргодичности, необходимым для вычисления эргодического темпа роста.

Таким образом, экономика эргодичности подчеркивает динамические обстоятельства, при которых принимается решение, тогда как теория ожидаемой полезности подчеркивает идиосинкразические предпочтения для объяснения поведения. Различные преобразования эргодичности указывают на различные типы динамики богатства, тогда как различные функции полезности указывают на различные личные предпочтения. Картирование подчеркивает связь между двумя подходами, показывая, что различия в личных предпочтениях могут возникать исключительно в результате различных динамических контекстов лиц, принимающих решения.

Простым примером процесса богатства агента является геометрическое броуновское движение (GBM), обычно используемое в математических финансах и других областях. Говорят, что оно следует GBM, если оно удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle dx=x(t)(\mu \,dt+\sigma \,dW_{t})}$, (3)

где - приращение в винеровском процессе , а ('дрейф') и ('волатильность') - константы. Решение (3) дает${\displaystyle dW_{t}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle x(t)=x(0)\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$. (4)

В этом случае преобразование эргодичности , как легко проверить, линейно растет со временем.${\displaystyle v(x)=\ln(x)}$${\displaystyle \ln x(t)=\ln x(0)+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}}$

Следуя рецепту, изложенному выше, это приводит к среднему по времени темпу роста

${\displaystyle g_{t}={\frac {E[\Delta v(x)]}{\Delta t}}=\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$. (5)

Отсюда следует, что для геометрического броуновского движения максимизация скорости изменения логарифмической функции полезности эквивалентна максимизации среднего по времени темпа роста богатства, т.е. того, что происходит с богатством агента с течением времени. ${\displaystyle u(x)=\ln(x)}$

Стохастические процессы, отличные от (3), обладают другими преобразованиями эргодичности, где оптимальные по росту агенты максимизируют ожидаемое значение функций полезности, отличных от логарифма. Тривиально, замена (3) на аддитивную динамику подразумевает линейное преобразование эргодичности, и можно вывести много похожих пар динамик и преобразований.

Популярной иллюстрацией неэргодичности в экономических процессах является многократное мультипликативное подбрасывание монеты, пример биномиального мультипликативного процесса. ^[10] Он демонстрирует, как анализ ожидаемого значения может указывать на то, что игра выгодна, хотя игрок гарантированно проиграет с течением времени.

В этом мысленном эксперименте, обсуждаемом в ^[7], человек участвует в простой игре, где он подбрасывает честную монету. Если выпадает орел, человек получает 50% от своего текущего богатства; если выпадает решка, человек теряет 40%.

Игра показывает разницу между ожидаемой стоимостью инвестиции или ставки и средним по времени или реальным результатом многократного участия в этой ставке с течением времени.

Обозначая текущее богатство как , а время получения выплаты как , мы находим, что богатство после одного раунда задается случайной величиной , которая принимает значения (для орла) и (для решки), каждое с вероятностью . Ожидаемое значение богатства игрока после одного раунда, таким образом,${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t+\delta t}$${\displaystyle x(t+\delta t)}$${\displaystyle 1.5\times x(t)}$${\displaystyle 0.6\times x(t)}$${\displaystyle p_{\text{H}}=p_{\text{T}}=1/2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[x(t+\delta t)]&=p_{\text{H}}\times 1.5x(t)+p_{\text{T}}\times 0.6x(t)\\&=1.05x(t).\end{aligned}}}$

По индукции, после раундов ожидаемое богатство составляет , увеличиваясь экспоненциально на 5% за раунд в игре.${\displaystyle T}$${\displaystyle E[x(t+T\delta t)]=1.05^{T}x(t)}$

Этот расчет показывает, что игра благоприятна по ожиданиям — ее ожидаемая ценность увеличивается с каждым сыгранным раундом.

Усредненная по времени производительность показывает, что происходит с богатством одного игрока, который играет повторно, реинвестируя все свое богатство в каждом раунде. Благодаря компаундированию, после раундов богатство будет${\displaystyle T}$

${\displaystyle x(t+T\delta t)=\prod _{\tau =1}^{T}r_{\tau }x(t),}$

где мы написали для обозначения реализованного случайного множителя, на который умножается богатство в раунде игры (либо для орла; либо для решки). В среднем с течением времени богатство выросло за раунд на фактор${\displaystyle r_{\tau }}$${\displaystyle \tau ^{\text{th}}}$${\displaystyle r_{\tau }=r_{\text{H}}=1.5}$${\displaystyle r_{\tau }=r_{\text{T}}=0.6}$

${\displaystyle {\bar {r}}_{T}=\left({\frac {x(t+T\delta t)}{x(t)}}\right)^{1/T}.}$

Вводя обозначение для числа выпавших орлов в последовательности подбрасываний монеты, перепишем это как${\displaystyle n_{\text{H}}}$

${\displaystyle {\bar {r}}_{T}=\left(r_{\text{H}}^{n_{\text{H}}}r_{\text{T}}^{T-n_{\text{H}}}\right)^{1/T}=r_{\text{H}}^{n_{\text{H}}/T}r_{\text{T}}^{(T-n_{\text{H}})/T}.}$

Для любого конечного , средний по времени фактор роста за раунд, , является случайной величиной. Долгосрочный предел, найденный путем расхождения числа раундов , дает характерный скаляр, который можно сравнить с фактором роста за раунд ожидаемого значения. Доля выпавших орлов затем сходится к вероятности выпадения орлов (а именно 1/2), а средний по времени фактор роста равен${\displaystyle T}$${\displaystyle {\bar {r}}_{T}}$${\displaystyle T\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\bar {r}}_{T}=\left(r_{\text{H}}r_{\text{T}}\right)^{\frac {1}{2}}\approx 0.95.}$

Сравнение ожидаемого значения и средней по времени производительности иллюстрирует эффект нарушенной эргодичности: со временем с вероятностью единица богатство уменьшается примерно на 5% за раунд, в отличие от увеличения на 5% за раунд ожидаемого значения.

This section gives self-sourcing popular culture examples. Please help improve this section by adding citations to reliable sources and remove less pertinent examples. Unsourced or poorly sourced material may be challenged or removed. (November 2023) (Learn how and when to remove this message)

В декабре 2020 года Bloomberg news опубликовал статью под названием «Все, что мы узнали о современной экономической теории, неверно» ^[11], в которой обсуждались последствия эргодичности в экономике после публикации обзора этой темы в Nature Physics . ^[7] Morningstar освещал эту историю, чтобы обсудить инвестиционный аргумент в пользу диверсификации акций . ^[12]

В книге «Skin in the Game » Нассим Николас Талеб предполагает, что проблема эргодичности требует переосмысления того, как экономисты используют вероятности . ^[13] Краткое изложение аргументов было опубликовано Талебом в статье на Medium в августе 2017 года. ^[14]

В книге «Конец теории » Ричард Букстабер называет неэргодичность одной из четырех характеристик нашей экономики, которые являются частью финансовых кризисов, которые традиционная экономика не может адекватно объяснить, и которые любая модель таких кризисов должна адекватно учитывать. ^[15] Остальные три: вычислительная неприводимость, эмерджентные явления и радикальная неопределенность. ^{[ требуется ссылка ]}

В книге «Эргодический инвестор и предприниматель» Бойд и Рирдон рассматривают практические последствия неэргодического роста капитала для инвесторов и предпринимателей, особенно для тех, кто ориентирован на устойчивость, круговую экономику, чистый положительный эффект или регенеративную направленность. ^[16]

Джеймс Уайт и Виктор Хагани обсуждают область эргодической экономики в своей книге «Пропавшие миллиардеры» . ^[17]

Утверждалось, что теория ожидаемой полезности неявно предполагает эргодичность в том смысле, что она оптимизирует ожидаемое значение, которое имеет отношение только к долгосрочной выгоде лица, принимающего решения, если соответствующая наблюдаемая является эргодической. ^[7] Доктор, Ваккер и Тан утверждают, что это неверно, поскольку такие предположения «выходят за рамки теории ожидаемой полезности как статической теории». ^[18] Они также утверждают, что эргодическая экономика переоценивает важность долгосрочного роста как «основного фактора, объясняющего экономические явления», и преуменьшает важность индивидуальных предпочтений. Они также предостерегают от ненадлежащей оптимизации долгосрочного роста. Приводится пример краткосрочного решения между A) большой потерей, понесенной с уверенностью, и B) выгодой, полученной с почти уверенностью, в паре с еще большей потерей с пренебрежимо малой вероятностью. В этом примере долгосрочный темп роста благоприятствует определенной потере и кажется неподходящим критерием для краткосрочного горизонта принятия решений. Наконец, эксперимент Медера и коллег утверждает, что обнаружил, что индивидуальные предпочтения риска изменяются в зависимости от динамических условий способами, предсказанными эргодической экономикой. ^[19] Доктор, Ваккер и Тан критикуют эксперимент за то, что он был сбит с толку различиями в неоднозначности и сложностью вероятностных расчетов. Кроме того, они критикуют анализ за применение статических моделей теории ожидаемой полезности к контексту, где динамические версии более уместны. В поддержку этого Голдштейн утверждает, что показал, что многопериодный EUT предсказывает похожее изменение в предпочтениях риска, как и наблюдалось в эксперименте. ^[20]

• Институт Санта-Фе
• Петербургский парадокс