Гипотеза Эрдёша–Штрауса
О дробях единиц, добавляемых к 4/n

Нерешенная задача по математике :
Существует ли положительное целое решение для каждого целого числа ? 4 н = 1 х + 1 у + 1 з {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}} н ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
(еще нерешенные проблемы по математике)

Гипотеза Эрдёша–Штрауса — недоказанное утверждение в теории чисел . Гипотеза заключается в том, что для каждого целого числа , равного 2 или больше, существуют положительные целые числа , , и для которых Другими словами, число можно записать в виде суммы трёх положительных единичных дробей . н {\displaystyle n} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} з {\displaystyle z} 4 н = 1 х + 1 у + 1 з . {\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.} 4 / н {\displaystyle 4/н}

Гипотеза названа в честь Пауля Эрдёша и Эрнста Г. Штрауса , которые сформулировали её в 1948 году, но она связана с гораздо более древней математикой; суммы единичных дробей, подобные той, что в этой задаче, известны как египетские дроби из-за их использования в древнеегипетской математике . Гипотеза Эрдёша–Штрауса является одной из многих гипотез Эрдёша и одной из многих нерешённых проблем в математике, касающихся диофантовых уравнений .

Хотя решение неизвестно для всех значений n , бесконечно много значений в определенных бесконечных арифметических прогрессиях имеют простые формулы для своего решения, и пропуск этих известных значений может ускорить поиск контрпримеров . Кроме того, эти поиски должны рассматривать только значения , которые являются простыми числами , потому что любой составной контрпример будет иметь меньший контрпример среди своих простых множителей . Компьютерные поиски подтвердили истинность гипотезы вплоть до . н {\displaystyle n} н ≤ 10 17 {\displaystyle n\leq 10^{17}}

Если гипотеза переформулируется так, чтобы допустить отрицательные единичные дроби, то она, как известно, верна. Обобщения гипотезы на дроби с числителем 5 или больше также были изучены.

Предыстория и история

Когда рациональное число разлагается в сумму дробей единиц, разложение называется египетской дробью . Этот способ записи дробей восходит к математике Древнего Египта , в которой дроби записывались таким образом, а не в более современной вульгарной форме дроби с числителем и знаменателем . Египтяне составили таблицы египетских дробей для дробей единиц, умноженных на два, чисел, которые в современной записи будут записаны , например, таблица Математического папируса Райнда ; в этих таблицах большинство этих расширений используют либо два, либо три члена. [1] Эти таблицы были необходимы, поскольку очевидное разложение не допускалось: египтяне требовали, чтобы все дроби в египетской дроби отличались друг от друга. Это же требование, чтобы все дроби были различны, иногда налагается в гипотезе Эрдёша–Штрауса, но это не имеет существенного значения для проблемы, потому что любое решение, в котором дроби единиц не различны, может быть преобразовано в решение, в котором они все различны; см. ниже. [2] а б {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} а {\displaystyle а} б {\displaystyle б} 2 н {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}} 2 н = 1 н + 1 н {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}={\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{n}}} н > 2 {\displaystyle n>2} 4 н = 1 х + 1 у + 1 з {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}}

Хотя египтяне не всегда находили расширения, используя как можно меньше членов, более поздние математики интересовались вопросом о том, как мало членов необходимо. Каждая дробь имеет расширение не более чем из двух членов, поэтому в частности требуется не более двух членов, требуется не более трех членов и требуется не более четырех членов. Для всегда требуется два члена, а для иногда требуется три члена, поэтому для обоих этих числителей максимальное количество членов, которое может потребоваться, известно. Однако для неизвестно, требуются ли иногда четыре члена или можно ли выразить все дроби формы, используя только три единичные дроби; это гипотеза Эрдёша–Штрауса. Таким образом, гипотеза охватывает первый неизвестный случай более общего вопроса, проблемы нахождения для всех максимального количества членов, необходимых в расширениях для дробей . [1] а б {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} а {\displaystyle а} 2 н {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}} 3 н {\displaystyle {\tfrac {3}{n}}} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} 2 н {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}} 3 н {\displaystyle {\tfrac {3}{n}}} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} а {\displaystyle а} а б {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}

Один из способов нахождения коротких (но не всегда самых коротких) расширений использует жадный алгоритм для египетских дробей , впервые описанный в 1202 году Фибоначчи в его книге Liber Abaci . Этот метод выбирает одну единичную дробь за раз, на каждом шаге выбирая максимально возможную единичную дробь, которая не приведет к тому, что развернутая сумма превысит целевое число. После каждого шага числитель дроби, которую еще предстоит расширить, уменьшается, поэтому общее число шагов никогда не может превысить начальный числитель, [1] но иногда оно меньше. Например, когда он применяется к , жадный алгоритм будет использовать два члена всякий раз, когда равно 2 по модулю 3, но существует двухчленное расширение всякий раз, когда имеет множитель, равный 2 по модулю 3, более слабое условие. Для чисел вида жадный алгоритм произведет четырехчленное расширение всякий раз, когда равно 1 по модулю 4, и расширение с меньшим количеством членов в противном случае. [3] Таким образом, другой способ перефразировать гипотезу Эрдёша–Штрауса заключается в том, существует ли другой метод получения египетских дробей, использующий меньшее максимальное количество членов для чисел . [1] 3 н {\displaystyle {\tfrac {3}{n}}} н {\displaystyle n} н {\displaystyle n} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}}

Гипотеза Эрдёша–Штрауса была сформулирована в 1948 году Полом Эрдёшем и Эрнстом Г. Штраусом и опубликована Эрдёшем (1950). Ричард Облат также опубликовал раннюю работу по гипотезе, статью, написанную в 1948 году и опубликованную в 1950 году, в которой он расширил более ранние вычисления Штрауса и Гарольда Н. Шапиро, чтобы проверить гипотезу для всех . [4] н ≤ 10 5 {\displaystyle n\leq 10^{5}}

Формулировка

Гипотеза утверждает, что для каждого целого числа существуют положительные целые числа , и такие, что Например, для существует два решения: н ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} з {\displaystyle z} 4 н = 1 х + 1 у + 1 з . {\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.} н = 5 {\displaystyle n=5} 4 5 = 1 2 + 1 4 + 1 20 = 1 2 + 1 5 + 1 10 . {\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}.}

Умножение обеих частей уравнения на приводит к эквивалентной полиномиальной форме для задачи. [5] 4 н = 1 х + 1 у + 1 з {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}} н х у з {\displaystyle nxyz} 4 х у з = н ( х у + х з + у з ) {\displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)}

Отдельные дроби единиц

Некоторые исследователи дополнительно требуют, чтобы целые числа , и были отличны друг от друга, как это сделали бы египтяне, в то время как другие допускают, чтобы они были равны. [1] Для не имеет значения, требуется ли, чтобы они были различны: если существует решение с любыми тремя целыми числами, то существует решение с различными целыми числами. [2] Это происходит потому, что две одинаковые единичные дроби можно заменить с помощью одного из следующих двух расширений: (в зависимости от того, имеет ли повторяющаяся дробь четный или нечетный знаменатель), и эту замену можно повторять до тех пор, пока не останется ни одной повторяющейся дроби. [6] Однако для единственными решениями являются перестановки . [1] х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} з {\displaystyle z} н ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 1 2 г + 1 2 г ⇒ 1 г + 1 + 1 г ( г + 1 ) 1 2 г + 1 + 1 2 г + 1 ⇒ 1 г + 1 + 1 ( г + 1 ) ( 2 г + 1 ) {\displaystyle {\begin{align}{\frac {1}{2r}}+{\frac {1}{2r}}&\Стрелка вправо {\frac {1}{r+1}}+{\frac {1}{r(r+1)}}\\{\frac {1}{2r+1}}+{\frac {1}{2r+1}}&\Стрелка вправо {\frac {1}{r+1}}+{\frac {1}{(r+1)(2r+1)}}\\\end{align}}} н = 2 {\displaystyle n=2} 4 2 = 1 2 + 1 2 + 1 1 {\displaystyle {\tfrac {4}{2}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}}}

Решения с отрицательными числами

Гипотеза Эрдёша–Штрауса требует, чтобы все три из , и были положительными. Это требование имеет важное значение для сложности задачи. Даже без этого ослабления гипотеза Эрдёша–Штрауса сложна только для нечетных значений , и если бы были разрешены отрицательные значения, то задача могла бы быть решена для каждого нечетного значения с помощью следующей формулы: [7] х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} з {\displaystyle z} н {\displaystyle n} н {\displaystyle n} 4 н = 1 ( н − 1 ) / 2 + 1 ( н + 1 ) / 2 − 1 н ( н − 1 ) ( н + 1 ) / 4 . {\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n-1)/2}}+{\frac {1}{(n+1)/2}}-{\ frac {1}{n(n-1)(n+1)/4}}.}

Результаты вычислений

Если предположение ложно, его ложность можно доказать, просто найдя число , не имеющее трехчленного представления. Чтобы проверить это, различные авторы провели поиск методом грубой силы контрпримеров к предположению. [8] Поиски такого типа подтвердили, что предположение верно для всех вплоть до . [9] 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n} 10 17 {\displaystyle 10^{17}}

В таких поисках необходимо искать только разложения для чисел, где — простое число . Это связано с тем, что всякий раз, когда имеет трехчленное разложение, то же самое происходит и со всеми положительными целыми числами . Чтобы найти решение для , просто разделите все дроби единиц в решении для на : Если бы это был контрпример к гипотезе, для составного числа каждый простой множитель также предоставил бы контрпример , который был бы найден ранее с помощью поиска методом перебора. Поэтому проверка существования решения для составных чисел излишня и может быть пропущена при поиске. Кроме того, известные модульные тождества для гипотезы (см. ниже) могут ускорить эти поиски, пропуская другие значения, о которых известно, что они имеют решение. Например, жадный алгоритм находит расширение с тремя или менее членами для каждого числа , где не равно 1 по модулю 4, поэтому для поиска нужно проверять только значения, которые равны 1 по модулю 4. Один из способов добиться прогресса в решении этой проблемы — собрать больше модульных идентичностей, что позволит компьютерному поиску достигать более высоких пределов с меньшим количеством тестов. [9] 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} 4 м н {\displaystyle {\tfrac {4}{мин}}} м {\displaystyle м} 4 м н {\displaystyle {\tfrac {4}{мин}}} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} м {\displaystyle м} 4 н = 1 х + 1 у + 1 з   ⇒   4 м н = 1 м х + 1 м у + 1 м з . {\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\ \Rightarrow \ {\frac {4}{mn}}={\frac {1}{mx}}+{\frac {1}{my}}+{\frac {1}{mz}}.} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n} п {\displaystyle p} н {\displaystyle n} 4 п {\displaystyle {\tfrac {4}{p}}} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n}

Число различных решений задачи , как функция , также было найдено с помощью компьютерного поиска для малого и, по-видимому, растет несколько нерегулярно с . Начиная с , число различных решений с различными знаменателями равно 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n} н {\displaystyle n} н {\displaystyle n} н = 3 {\displaystyle n=3}

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (последовательность A073101 в OEIS ).

Даже для больших значений иногда может быть относительно немного решений; например, для существует только семь различных решений . н {\displaystyle n} н = 73 {\displaystyle n=73}

Теоретические результаты

В форме , полиномиального уравнения с целыми переменными, гипотеза Эрдёша–Штрауса является примером диофантова уравнения . Принцип Хассе для диофантовых уравнений предполагает, что эти уравнения следует изучать с использованием модульной арифметики . Если полиномиальное уравнение имеет решение в целых числах, то взятие этого решения по модулю , для любого целого числа , дает решение в модульной арифметике. В другом направлении, если уравнение имеет решение по модулю для каждой простой степени , то в некоторых случаях можно собрать воедино эти модульные решения, используя методы, связанные с китайской теоремой об остатках , чтобы получить решение в целых числах. Мощность принципа Хассе для решения некоторых задач ограничена препятствием Манина , но для гипотезы Эрдёша–Штрауса этого препятствия не существует. [10] 4 х у з = н ( х у + х з + у з ) {\displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)} д {\displaystyle д} д {\displaystyle д} д {\displaystyle д} д {\displaystyle д} д {\displaystyle д}

На первый взгляд этот принцип не имеет особого смысла для гипотезы Эрдёша–Штрауса. Для любого уравнение легко решается по модулю любого простого числа или степени простого числа, но, похоже, нет способа объединить эти решения, чтобы получить положительное целочисленное решение уравнения. Тем не менее, модульная арифметика и тождества, основанные на модульной арифметике, оказались очень важным инструментом в изучении гипотезы. [11] н {\displaystyle n} 4 х у з = н ( х у + х з + у з ) {\displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)}

Модульные идентичности

Для значений, удовлетворяющих определенным отношениям конгруэнтности , можно найти расширение для автоматически как пример полиномиального тождества. Например, всякий раз, когда равно 2 по модулю 3, имеет расширение Здесь каждый из трех знаменателей , , и является полиномом , и каждый является целым числом всякий раз, когда равно 2 по модулю 3. Жадный алгоритм для египетских дробей находит решение в трех или менее членов, когда равно не 1 или 17 mod 24, а случай 17 mod 24 охватывается отношением 2 mod 3, поэтому единственные значения , для которых эти два метода не находят расширения в трех или менее членов, — это те, которые равны 1 mod 24. [12] н {\displaystyle n} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n} 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} 4 н = 1 н + 1 ( н + 1 ) / 3 + 1 н ( н + 1 ) / 3 . {\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)/3}}+{\frac {1}{n (n+1)/3}}.} н {\displaystyle n} ( н + 1 ) / 3 {\displaystyle (n+1)/3} н ( н + 1 ) / 3 {\displaystyle n(n+1)/3} н {\displaystyle n} н {\displaystyle n} н {\displaystyle n} н {\displaystyle n}

Полиномиальные тождества, перечисленные Морделлом (1967), дают трехчленные египетские дроби для любого случая, когда является одним из: 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n}

  • 2 mod 3 (выше),
  • 3 мод 4,
  • 2 или 3 мод 5,
  • 3, 5 или 6 по модулю 7 или
  • 5 мод 8.

Комбинации тождеств Морделла могут быть использованы для расширения для всех, за исключением, возможно, тех, которые равны 1, 121, 169, 289, 361 или 529 mod 840. Наименьшее простое число, которое эти тождества не охватывают, равно 1009. Объединяя более крупные классы модульных тождеств, Уэбб и другие показали, что естественная плотность потенциальных контрпримеров к гипотезе равна нулю: когда параметр стремится к бесконечности, доля значений в интервале , которые могли бы быть контрпримерами, стремится к нулю в пределе. [13] 4 н {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} н {\displaystyle n} Н {\displaystyle N} [ 1 , N ] {\displaystyle [1,N]}

Отсутствие идентичностей

Если бы можно было найти решения, подобные приведенным выше, для достаточного количества различных модулей, образуя полную покрывающую систему сравнений, проблема была бы решена. Однако, как показал Морделл (1967), полиномиальное тождество, которое обеспечивает решение для значений , сравнимых с mod , может существовать только тогда, когда не сравнимо с квадратом по модулю . (Более формально, этот вид тождества может существовать только тогда, когда не является квадратичным вычетом по модулю .) Например, 2 является неквадратом по модулю 3, поэтому результат Морделла допускает существование тождества для сравнимого с 2 mod 3. Однако 1 является квадратом по модулю 3 (равным квадрату как 1, так и 2 mod 3), поэтому не может быть подобного тождества для всех значений , сравнимых с 1 mod 3. В более общем смысле, поскольку 1 является квадратом по модулю для всех , не может быть полной покрывающей системы модульных тождеств для всех , поскольку 1 всегда будет непокрыто. [14] n {\displaystyle n} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n > 1 {\displaystyle n>1} n {\displaystyle n}

Несмотря на результат Морделла, ограничивающий форму модулярных тождеств для этой проблемы, все еще есть надежда использовать модулярные тождества для доказательства гипотезы Эрдёша–Штрауса. Никакое простое число не может быть квадратом, поэтому по теореме Хассе–Минковского , когда является простым числом, существует большее простое число, такое что не является квадратичным вычетом по модулю . Одним из возможных подходов к доказательству гипотезы было бы нахождение для каждого простого числа большего простого числа и сравнения, решающего задачу для сравнения с mod . Если бы это можно было сделать, никакое простое число не могло бы быть контрпримером к гипотезе, и гипотеза была бы верной. [12] p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} 4 n {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p}

Количество решений

Elsholtz & Tao (2013) показали, что среднее число решений задачи (усредненное по простым числам до ) ограничено сверху полилогарифмически в . Для некоторых других диофантовых задач существование решения можно продемонстрировать с помощью асимптотических нижних оценок числа решений, но это работает лучше всего, когда число решений растет по крайней мере полиномиально, поэтому более медленный темп роста результата Elsholtz и Tao делает доказательство этого типа менее вероятным. Elsholtz и Tao классифицируют решения в зависимости от того, делится ли одно или два из , , или на ; для простых это единственные возможности, хотя (в среднем) большинство решений для составных чисел относятся к другим типам. Их доказательство использует теорему Бомбьери–Виноградова , теорему Бруна–Титчмарша и систему модульных тождеств, справедливых, когда сравнимо или по модулю , где и — любые два взаимно простых положительных целых числа, а — любой нечетный множитель . Например, задавая , получаем одно из тождеств Морделла, справедливое, когда равно 3 mod 4. [15] 4 n {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} − c {\displaystyle -c} − 1 c {\displaystyle -{\tfrac {1}{c}}} 4 a b {\displaystyle 4ab} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} a + b {\displaystyle a+b} a = b = 1 {\displaystyle a=b=1} n {\displaystyle n}

Обобщения

Как и в случае с дробями вида , было высказано предположение, что каждая дробь (для ) может быть выражена в виде суммы трех положительных единичных дробей. Обобщенная версия гипотезы гласит, что для любого положительного все, кроме конечного числа дробей, могут быть выражены в виде суммы трех положительных единичных дробей. Гипотеза для дробей была высказана Вацлавом Серпинским в статье 1956 года, которая впоследствии приписала полную гипотезу ученику Серпинского Анджею Шинцелю . [16] 4 n {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}} 5 n {\displaystyle {\tfrac {5}{n}}} n > 1 {\displaystyle n>1} k {\displaystyle k} k n {\displaystyle {\tfrac {k}{n}}} 5 n {\displaystyle {\tfrac {5}{n}}}

Даже если обобщенная гипотеза ложна для любого фиксированного значения , то число дробей с в диапазоне от 1 до , не имеющих трехчленных разложений, должно расти только сублинейно как функция . [13] В частности, если сама гипотеза Эрдеша–Штрауса (случай ) ложна, то число контрпримеров растет только сублинейно. Еще сильнее, для любого фиксированного только сублинейному числу значений требуется более двух членов в их египетских дробных разложениях. [17] Обобщенная версия гипотезы эквивалентна утверждению, что число неразлагаемых дробей не просто сублинейно, но и ограничено. k {\displaystyle k} k n {\displaystyle {\tfrac {k}{n}}} n {\displaystyle n} N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} k = 4 {\displaystyle k=4} k {\displaystyle k} n {\displaystyle n}

Когда — нечетное число , по аналогии с проблемой нечетных жадных расширений для египетских дробей можно попросить решения для , в которых , , и — различные положительные нечетные числа. Известно, что решения этого уравнения всегда существуют для случая, когда k  = 3 . [18] n {\displaystyle n} k n = 1 x + 1 y + 1 z {\displaystyle {\tfrac {k}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ abcdef Грэм (2013).
  2. ^ Аб Эппштейн (1995), раздел разрешения конфликтов.
  3. ^ Эппштейн (1995).
  4. ^ Облат (1950); Эльшольц и Тао (2013)
  5. ^ См., например, Sander (1994) для более простой диофантовой формулировки, использующей более конкретные предположения о том, какие из , и делятся на . x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} n {\displaystyle n}
  6. ^ См. раздел разрешения конфликтов в работе Эппштейна (1995) для доказательства того, что тесно связанный процесс замены (с другим расширением для четных знаменателей, которое уменьшает количество дробей) всегда заканчивается неповторяющимся расширением.
  7. ^ Джарома (2004).
  8. ^ Облат (1950); Розати (1954); Поцелуй (1959); Бернштейн (1962); Ямамото (1965); Терзи (1971); Йолленстен (1976); Коциреас (1999).
  9. ^ ab Салез (2014).
  10. ^ Брайт и Лофран (2020).
  11. ^ Элсхольц и Тао (2013).
  12. ^ ab Ионаску и Уилсон (2011).
  13. ^ Аб Уэбб (1970); Воган (1970); Ли (1981); Ян (1982); Ахмади и Блейхер (1998); Эльшольц (2001).
  14. ^ Морделл (1967).
  15. ^ О числе решений уравнения 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3, Теренс Тао , «Что нового», 7 июля 2011 г.; Подсчет числа решений уравнения Эрдёша-Штрауса на единичных дробях, Теренс Тао , 31 июля 2011 г.
  16. ^ Серпинский (1956); Воган (1970).
  17. ^ Хофмейстер и Штолль (1985).
  18. ^ Шинцель (1956); Сурьянараяна и Рао (1965); Хагедорн (2000).

Ссылки

  • Ахмади, М. Х.; Блейхер, М. Н. (1998), «О гипотезах Эрдёша и Штрауса, а также Серпинского о египетских дробях», Международный журнал математических и статистических наук , 7 (2): 169–185, MR  1666363.
  • Бернштейн, Леон (1962), «Zur Lösung der diophantischen Gleichung , insbesondere im Fall », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 211 : 1–10, doi : 10.1515/crll.1962.211.1, MR  0142508, S2CID  118098315 m / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z {\displaystyle m/n=1/x+1/y+1/z} m = 4 {\displaystyle m=4} .
  • Брайт, Мартин; Лофран, Дэниел (2020), «Препятствие Брауэра–Манина для поверхностей Эрдёша–Штрауса», Бюллетень Лондонского математического общества , 52 (4): 746–761, arXiv : 1908.02526 , doi : 10.1112/blms.12374, MR  4171399, S2CID  218959757.
  • Элсхольц, Кристиан (2001), «Суммы единичных дробей», Труды Американского математического общества , 353 (8): 3209–3227, doi : 10.1090/S0002-9947-01-02782-9 , MR  1828604 k {\displaystyle k} .
  • Elsholtz, Christian; Tao, Terence (2013), «Подсчет числа решений уравнения Эрдёша–Штрауса на единичных дробях» (PDF) , Журнал Австралийского математического общества , 94 (1): 50–105, arXiv : 1107.1010 , doi : 10.1017/S1446788712000468, MR  3101397, S2CID  17233943.
  • Эппштейн, Дэвид (1995), «Десять алгоритмов для египетских дробей», Mathematica в образовании и исследованиях , 4 (2): 5–15. См. в частности раздел «Маленькие числители».
  • Эрдеш, Пол (1950), «Az 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n знак равно а б {\displaystyle {\tfrac {1}{x_{1}}}+{\tfrac {1}{x_{2 }}}+\cdots +{\tfrac {1}{x_{n}}}={\tfrac {a}{b}}} egyenlet egész számú megoldásairól (Об одном диофантовом уравнении)" (PDF) , Матем. Лапок. (на венгерском языке), 1 : 192–210, MR  0043117..
  • Грэм, Рональд Л. (2013), «Пол Эрдеш и египетские фракции» (PDF) , в Ловасе, Ласло ; Ружа, Имре З. ; Сос, Вера Т. (ред.), Столетие Эрдеша , Математические исследования Общества Боляи, том. 25, Будапешт: Математическое общество Яноша Бойяи , стр. 289–309, номер документа : 10.1007/978-3-642-39286-3_9, MR  3203600.
  • Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , стр. D11, ISBN 0-387-20860-7.
  • Хагедорн, Томас Р. (2000), «Доказательство гипотезы о египетских дробях», American Mathematical Monthly , 107 (1), Математическая ассоциация Америки: 62–63, doi : 10.2307/2589381, JSTOR  2589381, MR  1745572.
  • Хофмайстер, Герд; Столл, Питер (1985), «Заметки о египетских дробях», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 362 : 141–145, MR  0809971.
  • Ионаску, Ойген Дж.; Уилсон, Эндрю (2011), «О гипотезе Эрдеша-Штрауса», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 56 (1): 21–30, arXiv : 1001.1100 , MR  2848047.
  • Jaroma, John H. (2004), «О разложении 4 / n {\displaystyle 4/n} на три египетские дроби», Crux Mathematicorum , 30 (1): 36–37.
  • Jollensten, Ralph W. (1976), «Заметка о египетской проблеме», Труды Седьмой юго-восточной конференции по комбинаторике, теории графов и вычислениям (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1976) , Congressus Numerantium, т. XVII, Виннипег, Ман.: Utilitas Math., стр. 351–364, MR  0429735.
  • Кисс, Эрнест (1959), «Quelques remarques sur une équation diophantienne», акад. RP Ромин Фил. Клужский конный завод. Серк. Мат. (на румынском языке), 10 : 59–62, MR  0125069.
  • Коциреас, Илиас (1999), «Гипотеза Эрдеша-Штрауса о египетских дробях», Пол Эрдеш и его математика (Будапешт, 1999) , Будапешт: Янош Больяи Математика. Соц., стр. 140–144, МР  1901903..
  • Ли, Деланг (1981), «Об уравнении », Журнал теории чисел , 13 (4): 485–494, doi : 10.1016/0022-314X(81)90039-1 , MR  0642923 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z {\displaystyle 4/n=1/x+1/y+1/z} .
  • Морделл, Луис Дж. (1967), Диофантовы уравнения , Academic Press, стр. 287–290.
  • Облат, Рихард (1950), «Sur l'équation diophantienne », Mathesis (на французском языке), 59 : 308–316, MR  0038999, М. Штраус [sic] a verifie l'hypothèse de M. Erdős pour toute valeur de n <5.000, и М. Шапиро для n <20.000. Nos theorèmes donnent la Solution pour tout nombre < 106.128 4 n = 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x_{1}}}+{\tfrac {1}{x_{2}}}+{\tfrac {1}{x_{3}}}} .
  • Розати, Луиджи Антонио (1954), «Sull'equazione diofantea », Boll. ООН. Мат. Итал. (3) (на итальянском языке), 9 : 59–63, MR  0060526. 4 / n = 1 / x 1 + 1 / x 2 + 1 / x 3 {\displaystyle 4/n=1/x_{1}+1/x_{2}+1/x_{3}} .
  • Салез, Серж Э. (2014), Гипотеза Эрдёша-Штрауса. Новые модулярные уравнения и проверка до N = 10 17 {\displaystyle N=10^{17}} , arXiv : 1406.6307 , Bibcode :2014arXiv1406.6307S
  • Sander, JW (1994), «О полумерном решете Иванеца», Журнал теории чисел , 46 (2): 123–136, doi : 10.1006/jnth.1994.1008 , MR  1269248 4 / n = 1 / x + 1 / y + 1 / z {\displaystyle 4/n=1/x+1/y+1/z} .
  • Шинцель, Андре (1956), «Sur quelques proprietés des nombres et , où est un nombre impair», Mathesis (на французском языке), 65 : 219–222, MR  0080683 3 / n {\displaystyle 3/n} 4 / n {\displaystyle 4/n} n {\displaystyle n} .
  • Серпинский, Вацлав (1956), «Sur les décompositions de nombres rationnels en Fractions Primaires», Mathesis (на французском языке), 65 : 16–32, MR  0078385. Перепечатано с дополнительными аннотациями в Серпинском, Вацлав (1974), Oeuvres Choisies , vol. I, Варшава: PWN — Éditions Scientifiques de Pologne, стр. 169–184, MR  0414302..
  • Сурьянараяна, Д.; Рао, Н. Венкатешвара (1965), «О статье Андре Шинцеля», J. Indian Math. Soc. , New Series, 29 : 165–167, MR  0202659.
  • Терци, Д.Г. (1971), «О гипотезе Эрдеша-Штрауса», Nordisk Tidskr. Обработка информации (BIT) , 11 (2): 212–216, doi : 10.1007/BF01934370, MR  0297703, S2CID  124845157.
  • Воган, RC (1970), «О проблеме Эрдёша, Штрауса и Шинцеля», Mathematika , 17 (2): 193–198, doi :10.1112/S0025579300002886, MR  0289409
  • Вебб, Уильям А. (1970), «О », Труды Американского математического общества , 25 (3), Американское математическое общество: 578–584, doi :10.2307/2036647, JSTOR  2036647, MR  0256984 4 / n = 1 / x 1 + 1 / x 2 + 1 / x 3 {\displaystyle 4/n=1/x_{1}+1/x_{2}+1/x_{3}} .
  • Ямамото, Коити (1965), «О диофантовом уравнении », Мемуары факультета естественных наук. Университет Кюсю. Серия A. Математика , 19 : 37–47, doi : 10.2206/kyushumfs.19.37 , MR  0177945 4 n = 1 x + 1 y + 1 z {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}} .
  • Ян, Сюнь Цянь (1982), «Заметка о », Труды Американского математического общества , 85 (4): 496–498, doi :10.2307/2044050, JSTOR  2044050, MR  0660589 4 n = 1 x + 1 y + 1 z {\displaystyle {\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}} .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Erdős–Straus_conjecture&oldid=1250904124"