Адекватное отношение эквивалентности

В алгебраической геометрии , разделе математики , адекватное отношение эквивалентности — это отношение эквивалентности на алгебраических циклах гладких проективных многообразий, используемое для получения хорошо работающей теории таких циклов и, в частности, хорошо определенных произведений пересечений . Пьер Самуэль формализовал концепцию адекватного отношения эквивалентности в 1958 году. [1] С тех пор оно стало центральным в теории мотивов. Для каждого адекватного отношения эквивалентности можно определить категорию чистых мотивов относительно этого отношения.

Возможные (и полезные) адекватные отношения эквивалентности включают рациональную , алгебраическую , гомологическую и численную эквивалентность . Они называются «адекватными», потому что деление по отношению эквивалентности является функториальным , т.е. перенос (с изменением коразмерности) и возврат циклов хорошо определены. Циклы коразмерности 1 по модулю рациональной эквивалентности образуют классическую группу делителей по модулю линейной эквивалентности. Все циклы по модулю рациональной эквивалентности образуют кольцо Чжоу .

Определение

Пусть Z * ( X ) := Z [ X ] — свободная абелева группа на алгебраических циклах X. Тогда адекватное отношение эквивалентности — это семейство отношений эквивалентности ~ X на Z * ( X ), по одному для каждого гладкого проективного многообразия X , удовлетворяющее следующим трем условиям:

  1. (Линейность) Отношение эквивалентности совместимо с добавлением циклов.
  2. ( Лемма о перемещении ) Если на X существуют циклы , то существует цикл, такой что ~ X и пересекается правильно. α , β ∈ З ∗ ( Х ) {\displaystyle \альфа ,\бета \in Z^{*}(X)} α ′ ∈ З ∗ ( Х ) {\displaystyle \альфа '\in Z^{*}(X)} α {\displaystyle \альфа} α ′ {\displaystyle \альфа '} α ′ {\displaystyle \альфа '} β {\displaystyle \бета}
  3. (Проталкивание вперед) Пусть и будут циклами, такими что пересекаются должным образом. Если ~ X 0, то ~ Y 0, где — проекция. α ∈ З ∗ ( Х ) {\displaystyle \альфа \in Z^{*}(X)} β ∈ З ∗ ( Х × И ) {\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)} β {\displaystyle \бета} α × И {\displaystyle \альфа \times Y} α {\displaystyle \альфа} ( π И ) ∗ ( β ⋅ ( α × И ) ) {\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))} π И : Х × И → И {\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}

Цикл продвижения вперед в последней аксиоме часто обозначается

β ( α ) := ( π И ) ∗ ( β ⋅ ( α × И ) ) {\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}

Если это график функции , то это сводится к продвижению функции вперед. Обобщения функций из X в Y в циклы на X × Y известны как соответствия . Последняя аксиома позволяет нам проталкивать циклы вперед с помощью соответствия. β {\displaystyle \beta }

Примеры отношений эквивалентности

Наиболее распространенные отношения эквивалентности, перечисленные от самых сильных к самым слабым, собраны в следующей таблице.

определениезамечания
рациональная эквивалентностьZ ~ rat Z', если существует цикл V на X × P 1 , плоский над P 1 , такой, что [ V ∩ X × {0}] − [ V ∩ X × {∞}] = [ Z ] − [ Z' ].самое точное адекватное отношение эквивалентности (лемма 3.2.2.1 в книге Ива Андре [2] ) "∩" обозначает пересечение в смысле теории циклов (т.е. с кратностями), а [ . ] обозначает цикл, связанный с подсхемой. см. также кольцо Чжоу
алгебраическая эквивалентностьZ ~ alg Z ′,   если существует кривая C и цикл V на X × C , плоский над C , такие, что [ V ∩ X × { c }] − [ V ∩ X × { d }] = [ Z ] − [ Z' ] для двух точек c и d на кривой.Строго сильнее гомологической эквивалентности, измеряемой группой Гриффитса . См. также группу Нерона–Севери .
эквивалентность сокрушительно-нильпотентностиZ ~ sn Z ′,   если Z − Z ′ является нильпотентной группой на X , то есть если ~ rat 0 на X n для n >> 0. ( Z − Z ′ ) ⊗ n {\displaystyle (Z-Z')^{\otimes n}} введен Воеводским в 1995 году. [3]
гомологическая эквивалентностьдля заданной когомологии Вейля H , Z ~ hom Z ′ ,   если образ циклов при отображении классов циклов согласуетсязависит априори от выбора H , не предполагая стандартную гипотезу D
численная эквивалентностьZ ~ num Z ′   if deg( Z ∩ T ) = deg( Z ′ ∩ T ), где T — любой цикл, такой что dim  T = codim  Z (Пересечение представляет собой линейную комбинацию точек, и мы складываем кратности пересечения в каждой точке, чтобы получить степень.)самое грубое отношение эквивалентности (Упражнение 3.2.7.2 в книге Ива Андре [4] )

Примечания

  1. ^ Самуэль, Пьер (1958), «Отношения эквивалентности в алгебраической геометрии» (PDF) , Proc. ICM , Кембриджский университет. Пресса: 470–487 , заархивировано из оригинала (PDF) 22 июля 2017 г. , получено 22 июля 2015 г.
  2. ^ Андре, Ив (2004), Введение в мотивы (пурпурные мотивы, смешанные мотивы, периоды) , Panoramas et Synthèses, vol. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1, МР  2115000
  3. ^ Воеводский, В. (1995), «Теорема о нильпотентности для циклов, алгебраически эквивалентных 0», Int. Math. Res. Notices , 4 : 1– 12
  4. ^ Андре, Ив (2004), Введение в мотивы (пурпурные мотивы, смешанные мотивы, периоды) , Panoramas et Synthèses, vol. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1, МР  2115000

Ссылки

  • Клейман, Стивен Л. (1972), «Мотивы», в Оорте, Ф. (ред.), Алгебраическая геометрия, Осло 1970 (Труды Пятой скандинавской летней школы по математике, Осло, 1970) , Гронинген: Wolters-Noordhoff, стр.  53–82 , MR  0382267
  • Яннсен, У. (2000), «Отношения эквивалентности на алгебраических циклах», Арифметика и геометрия алгебраических циклов, NATO, 200 , Kluwer Ac. Publ. Co.: 225– 260
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Adequate_equivalence_relation&oldid=1206514793"