Точка равновесия (математика)
Постоянное решение дифференциального уравнения
Диаграмма устойчивости, классифицирующая отображения Пуанкаре линейной автономной системы как устойчивые или неустойчивые в соответствии с их особенностями. Устойчивость обычно увеличивается слева от диаграммы. [1] Некоторые стоки, источники или узлы являются точками равновесия. х ′ = А х , {\displaystyle x'=Ax,}

В математике , в частности в дифференциальных уравнениях , точка равновесия — это постоянное решение дифференциального уравнения.

Формальное определение

Точка является точкой равновесия для дифференциального уравнения х ~ ∈ Р н {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}

г х г т = ф ( т , х ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

если для всех . ф ( т , х ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t, {\tilde {\mathbf {x} }}) = \ mathbf {0} } т {\displaystyle т}

Аналогично, точка является точкой равновесия (или неподвижной точкой ) для разностного уравнения х ~ ∈ Р н {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}

х к + 1 = ф ( к , х к ) {\ textstyle \ mathbf {x} _ {k + 1} = \ mathbf {f} (k, \ mathbf {x} _ {k})}

если для . ф ( к , х ~ ) = х ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k, {\tilde {\mathbf {x} }}) = {\tilde {\mathbf {x} }}} к = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots}


Равновесия можно классифицировать, рассматривая знаки собственных значений линеаризации уравнений о равновесиях. То есть, оценивая матрицу Якоби в каждой из точек равновесия системы, а затем находя полученные собственные значения, равновесия можно классифицировать. Затем поведение системы в окрестности каждой точки равновесия можно качественно определить (или даже количественно определить, в некоторых случаях), найдя собственный вектор(ы), связанный с каждым собственным значением.

Точка равновесия является гиперболической , если ни одно из собственных значений не имеет нулевой действительной части. Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, точка устойчива . Если хотя бы одно имеет положительную действительную часть, точка неустойчива . Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является седловой точкой и оно неустойчиво. Если все собственные значения действительны и имеют одинаковый знак, точка называется узлом .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Egwald Mathematics - Линейная алгебра: Системы линейных дифференциальных уравнений: Анализ линейной устойчивости. Доступно 10 октября 2019 г.

Дальнейшее чтение

  • Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
  • Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (3-е изд.). Springer. стр.  102–104 . ISBN 1-4613-0003-7.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Точка_равновесия_(математика)&oldid=1187712913"