Моделирование без уравнений

Моделирование без уравнений — это метод многомасштабных вычислений и компьютерного анализа . Он разработан для класса сложных систем, в которых наблюдается эволюция в макроскопическом, грубом масштабе интереса, в то время как точные модели даются только на тонко детализированном, микроскопическом уровне описания. Структура позволяет выполнять макроскопические вычислительные задачи (в больших масштабах пространства-времени), используя только надлежащим образом инициализированное микроскопическое моделирование в коротких временных и малых масштабах длины. Методология исключает вывод явных макроскопических уравнений эволюции , когда эти уравнения концептуально существуют, но недоступны в замкнутой форме; отсюда и термин «без уравнений». [1]

Введение

В широком спектре химических, физических и биологических систем согласованное макроскопическое поведение возникает из взаимодействий между самими микроскопическими сущностями (молекулами, клетками, зернами, животными в популяции, агентами) и с их окружающей средой. Иногда, что примечательно, модель грубомасштабного дифференциального уравнения (например, уравнения Навье-Стокса для потока жидкости или система реакция-диффузия ) может точно описывать макроскопическое поведение. Такое макромасштабное моделирование использует общие принципы сохранения (атомы, частицы, масса, импульс, энергия) и замыкается в хорошо поставленную систему посредством феноменологических конститутивных уравнений или уравнений состояния . Однако все чаще встречаются сложные системы , которые имеют только известные микроскопические, мелкомасштабные модели. В таких случаях, хотя мы наблюдаем возникновение грубомасштабного макроскопического поведения, моделирование его с помощью явных замыкающих соотношений может быть невозможным или непрактичным. Неньютоновский поток жидкости, хемотаксис , транспорт в пористой среде , эпидемиология , моделирование мозга и нейронные системы являются некоторыми типичными примерами. Моделирование без уравнений направлено на использование таких микромасштабных моделей для прогнозирования грубых макромасштабных возникающих явлений.

Выполнение крупномасштабных вычислительных задач напрямую с мелкомасштабными моделями часто невыполнимо: прямое моделирование во всей интересующей области пространства-времени часто является вычислительно невыгодным. Более того, задачи моделирования, такие как численный анализ бифуркации , часто невозможно выполнить на мелкомасштабной модели напрямую: крупномасштабное устойчивое состояние может не подразумевать устойчивое состояние для мелкомасштабной системы, поскольку отдельные молекулы или частицы не прекращают движение, когда плотность или давление газа становятся стационарными. Моделирование без уравнений обходит такие проблемы, используя короткие всплески соответствующим образом инициализированного мелкомасштабного моделирования, а в пространственных задачах — на небольших хорошо разделенных участках пространства. [2] [3] Бесплатный набор инструментов Matlab/Octave позволяет людям использовать эти методы без уравнений. [4]

Грубый шаговый датчик времени

Динамические проблемы вызывают грубый шаг по времени. По сути, короткие серии вычислительных экспериментов с мелкомасштабным симулятором оценивают локальные производные по времени. При наличии начального условия для грубых переменных в момент времени грубый шаг по времени включает четыре шага: У ( т к ) {\displaystyle U(t_{k})} т к {\displaystyle t_{k}}

  • Подъем создает микромасштабные начальные условия , соответствующие макросостоянию ; u ( t k ) {\displaystyle u(t_{k})} U ( t k ) {\displaystyle U(t_{k})}
  • Моделирование, использует микромасштабный симулятор для вычисления микромасштабного состояния за короткий интервал времени ; u ( t ) {\displaystyle u(t)} t k ≤ t ≤ t k + δ t {\displaystyle t_{k}\leq t\leq t_{k}+\delta t}
  • Ограничение, получает макросостояние из мелкомасштабного состояния ; U ( t k + δ t ) {\displaystyle U(t_{k}+\delta t)} u ( t ) {\displaystyle u(t)}
  • Временной шаг, экстраполяция макросостояния от до предсказывает состояние макровремени в будущем. U {\displaystyle U} t k {\displaystyle t_{k}} t k + 1 = t k + Δ t {\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+\Delta t}

Несколько временных шагов моделируют систему в макро-будущем. Если микромасштабная модель является стохастической, то может потребоваться ансамбль микромасштабных симуляций для получения достаточно хорошей экстраполяции на временном шаге. Такой грубый временной шаг может использоваться во многих алгоритмах традиционного континуального численного анализа, таких как численный бифуркационный анализ, оптимизация, управление и даже ускоренное грубомасштабное моделирование. Для детерминированных систем набор инструментов Matlab/Octave предоставляет пользователю высокоточные временные шаговые шаги: [4] схему Рунге-Кутты второго и четвертого порядков и общую схему интерфейса.

Традиционно алгебраические формулы определяют производные по времени грубой модели. В этом подходе производная макромасштаба оценивается внутренним микромасштабным симулятором, фактически выполняя замыкание по требованию. Причиной названия « без уравнений» является аналогия с числовой линейной алгеброй без матриц ; [5] название подчеркивает, что уравнения макроуровня никогда не строятся явно в замкнутой форме.

Ограничение

Оператор ограничения часто следует непосредственно из конкретного выбора макромасштабных переменных. Например, когда микромасштабная модель развивает ансамбль из многих частиц, ограничение обычно вычисляет первые несколько моментов распределения частиц (плотность, импульс и энергия).

Подъем

Оператор подъема обычно гораздо более сложен. Например, рассмотрим модель частиц: нам нужно определить отображение из нескольких моментов низкого порядка распределения частиц в начальные условия для каждой частицы. Предположение о том, что существует отношение, которое замыкается в этих грубых моментах низкого порядка, подразумевает, что подробные микромасштабные конфигурации являются функционалами моментов (иногда называемыми подчинением [6] ). Мы предполагаем, что это отношение устанавливается/возникает на временных масштабах, которые быстры по сравнению с общей эволюцией системы (см. теорию медленного многообразия и приложения [7] ). К сожалению, замыкание (соотношения подчинения) алгебраически неизвестны (так как в противном случае был бы известен грубый закон эволюции).

Инициализация неизвестных микромасштабных мод случайным образом вносит ошибку подъема: мы полагаемся на разделение макро- и микромасштабов времени, чтобы гарантировать быструю релаксацию к функционалам грубых макросостояний (исцеление). Может потребоваться подготовительный шаг, возможно, включающий микромасштабные симуляции, ограниченные для сохранения макросостояний фиксированными. [8] Когда система имеет уникальную фиксированную точку для неизвестных микромасштабных деталей, обусловленных грубыми макросостояниями, алгоритм ограниченных запусков может выполнить этот подготовительный шаг, используя только микромасштабный временной шаг. [9]

Наглядный пример

Игрушечная задача иллюстрирует основные концепции. Например, рассмотрим систему дифференциальных уравнений для двух переменных : ( U ( t ) , u ( t ) ) {\displaystyle (U(t),u(t))}

d U d t = − U − u + 2 , d u d t = 100 ( U 3 − u ) . {\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-U-u+2\,,\quad {\frac {du}{dt}}=100(U^{3}-u).}

Заглавные буквы обозначают предполагаемую макромасштабную переменную, а строчные — микромасштабную переменную. Эта классификация означает, что мы предполагаем, что грубая модель формы существует, хотя мы не обязательно знаем, что это такое. Произвольно определим подъем из любого заданного макросостояния как . Моделирование с использованием этого подъема и грубого временного шага показано на рисунке. U {\displaystyle U} u {\displaystyle u} d U / d t = G ( U ) {\displaystyle dU/dt=G(U)} U {\displaystyle U} ( U , u ) = ( U , 0.5 ) {\displaystyle (U,u)=(U,0.5)}

Грубый временной шаг без уравнений, примененный к иллюстративному примеру системы дифференциальных уравнений с использованием и . δ t = 0.1 {\displaystyle \delta t=0.1} U ( 0 ) = − 1 {\displaystyle U(0)=-1}

Решение дифференциального уравнения быстро переходит в медленное многообразие для любых начальных данных. Грубое решение с шагом по времени будет лучше согласовываться с полным решением при увеличении фактора 100. График показывает поднятое решение (синяя сплошная линия) . Временами решение ограничивается, а затем снова поднимается, что здесь просто устанавливает . Медленное многообразие показано красной линией. Правый график показывает производную по времени ограниченного решения как функцию времени (синяя кривая), а также производную по времени (грубая производная по времени), как это наблюдается при полном моделировании (красная кривая). u ≈ U 3 {\displaystyle u\approx U^{3}} ( U , u ) {\displaystyle (U,u)} t = n δ t {\displaystyle t=n\delta t} u ( n δ t ) = 0.5 {\displaystyle u(n\delta t)=0.5} d U / d t {\displaystyle dU/dt}

О применении к конкретным многомасштабным задачам

Подход без уравнений был применен ко многим примерам. Примеры иллюстрируют различные способы построения и сборки алгоритмических строительных блоков. Численный анализ устанавливает точность и эффективность этого подхода. Также был проведен дополнительный численный анализ других методов этого типа. [10]

Применение парадигмы, свободной от уравнений, к реальной задаче требует значительной осторожности, особенно при определении операторов подъема и ограничения, а также соответствующего внешнего решателя.

  • Первая задача — идентифицировать наблюдаемые макромасштаба. Они должны быть достаточно полными, чтобы неизвестные микромасштабные переменные могли быть надежно реконструированы (подняты). Физические аргументы часто идентифицируют наблюдаемые макромасштаба. Почти всегда ссылаются на плотности, но есть некоторые удивительно простые примеры, где корреляционные функции являются существенными макромасштабными переменными. [11] Если не прибегать к физическим аргументам, то современные методы добычи данных или обучения многообразий, такие как Isomap или карты диффузии, могут получить макромасштабные переменные из микромасштабного моделирования. [12]
  • Должно быть четкое разделение между временными шкалами макромасштабных наблюдаемых величин и временными шкалами остальных микромасштабных мод, квазиравновесных при любом макросостоянии.
  • Знание макромасштабных наблюдаемых может быть недостаточным. Одной из стратегий получения такой информации является схема «водяной ванны для младенцев», которая использует только надлежащим образом инициализированные симуляции. [13]

Грубый бифуркационный анализ

Метод рекурсивной проекции [14] позволяет вычислять бифуркационные диаграммы с использованием устаревшего кода моделирования. Он также позволяет грубому временному шагу выполнять вычисления бифуркации без уравнений. Рассмотрим грубый временной шаг в его эффективной форме

U → n + 1 = S → ( U → n , λ ; δ t ) , {\displaystyle {\vec {U}}^{n+1}={\vec {S}}({\vec {U}}^{n},\lambda ;\delta t),}

который включает явную зависимость от одного или нескольких параметров . Бифуркационный анализ вычисляет равновесия или периодические орбиты , их устойчивость и зависимость от параметра . λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda }

Вычислить грубое равновесие как фиксированную точку грубого шагового устройства по времени

U → − S → ( U → , λ ; δ t ) = 0 → . {\displaystyle {\vec {U}}-{\vec {S}}({\vec {U}},\lambda ;\delta t)={\vec {0}}.}

В контексте, свободном от уравнений, метод рекурсивного проецирования является внешним решателем этого уравнения, а грубый временной шаг позволяет реализовать этот метод с использованием динамики мелкого масштаба.

Кроме того, для задач, где макромасштаб имеет непрерывные симметрии, можно использовать подход на основе шаблонов [15] для вычисления грубых самоподобных или бегущих волновых решений как фиксированных точек грубого временного шага, который также кодирует соответствующее изменение масштаба и/или сдвиг пространства-времени и/или решения. Например, самоподобные диффузионные решения могут быть найдены как функция плотности вероятности детальной молекулярной динамики . [16]

Альтернативой методу рекурсивной проекции является использование методов Ньютона—Крылова. [17]

Грубая проективная интеграция

Грубый шаг по времени ускоряет моделирование на больших макромасштабных временах. В схеме, описанной выше, пусть большой макро-шаг по времени и будет на шкале времени медленной грубой динамики. Пусть вычисляется в терминах грубой переменной, и пусть микромасштабное моделирование вычисляется из локального временного моделирования с начальным условием, что грубая переменная . Затем мы аппроксимируем посредством экстраполяции по зазору с помощью Δ t ≫ δ t {\displaystyle \Delta t\gg \delta t} U n ≈ U ( n Δ t ) {\displaystyle U^{n}\approx U(n\Delta t)} U n , k ≈ U ( n Δ t + k δ t ) {\displaystyle U^{n,k}\approx U(n\Delta t+k\delta t)} U ( n Δ t ) = U n = U n , 0 {\displaystyle U(n\Delta t)=U^{n}=U^{n,0}} U ( ( n + 1 ) Δ t ) {\displaystyle U((n+1)\Delta t)}

U n + 1 = U n , k + ( Δ t − k δ t ) F ( U → n ) {\displaystyle U^{n+1}=U^{n,k}+(\Delta t-k\delta t)F({\vec {U}}^{n})}

где, например, простая линейная экстраполяция будет

F ( U → n ) = ( U n , k − U n , k − 1 ) / δ t {\displaystyle F({\vec {U}}^{n})=(U^{n,k}-U^{n,k-1})/\delta t}

Эта схема называется грубой проективной прямой схемой Эйлера и является самой простой в своем классе.

Шаги , предпринятые перед экстраполяцией, отражают, что мы должны позволить системе установиться на квазиравновесии (с точки зрения микромасштаба), так что мы можем сделать надежную экстраполяцию медленной динамики. Тогда размер шага проективной интеграции ограничен устойчивостью медленных мод. [18] k {\displaystyle k}

Могут быть сформированы более высокие версии грубой проективной интеграции, аналогичные Адамсу-Башфорту или Рунге-Кутте . [19] Более высокие схемы порядка для систем, где микромасштабный шум все еще заметен на макромасштабном временном шаге, более проблематичны. [20]

Динамика патча

Пространственный аналог проективной интеграции — схема gap-tooth. Идея схемы gap-tooth заключается в выполнении моделирования небольших участков пространства, зубов, разделенных немоделированным пространством, пробелами. Соответствующим образом связывая небольшие участки моделирования, мы создаем крупномасштабное, грубое моделирование пространственно протяженной системы. Когда микромасштабный симулятор является вычислительно затратным, схема gap-tooth обеспечивает эффективное крупномасштабное прогнозирование. Более того, это происходит без необходимости нам когда-либо определять алгебраическое замыкание для крупномасштабной модели. [21] [22] [23] Набор инструментов Matlab/Octave предоставляет пользователям поддержку для реализации моделирования на прямоугольной сетке участков в одномерном или двумерном пространстве. [4]

Сочетание схемы «зазор-зуб» с грубым проективным интегрированием называется динамикой пятен.

Граничные условия связи

Ключ к схеме gap-tooth и patch — это связь небольших патчей по немоделируемому пространству. Удивительно, но общий ответ — просто использовать классическую интерполяцию Лагранжа, будь то в одном измерении [23] или в нескольких измерениях. [24] Этот ответ связан с связью в целостной дискретизации и теоретической поддержкой, предоставляемой теорией медленных многообразий . Интерполяция обеспечивает граничные условия значения или потока, как того требует микромасштабный симулятор. Высокопорядковая согласованность между макромасштабной схемой gap-tooth/patch и микромасштабным моделированием достигается с помощью высокопорядковой интерполяции Лагранжа.

Однако обычно микромасштаб представляет собой модель на основе шумных частиц или агентов . В таких случаях соответствующими макромасштабными переменными являются средние значения, такие как масса и плотность импульса. Затем обычно приходится формировать средние значения по ядру каждого зуба/участка и применять условие связи по конечной области действия на краях каждого зуба/участка. Предварительная рекомендация состоит в том, чтобы сделать эти области такими же большими, как половина зуба/участка. [25] То есть для эффективности зуб/участок микромасштаба делают как можно меньше, но ограничиваются необходимостью вписываться в области действия и ядра, достаточно большие для формирования достаточно точных средних значений.

Подъем

Динамика патча представляет собой комбинацию схемы gap-tooth и грубой проективной интеграции. Как и для обычной проективной интеграции, в начале каждого всплеска микромасштабной симуляции необходимо создать начальное условие для каждого патча, которое согласуется с локальными макромасштабными переменными и макромасштабными градиентами из соседних интерполированных патчей. Достаточно тех же методов.

Открытые проблемы и будущие направления

Предположения и выборы относительно макромасштабной эволюции имеют решающее значение в схеме без уравнений. Ключевое предположение заключается в том, что переменные, которые мы выбираем для макромасштабной связи, должны эффективно закрываться на выбранном макромасштабе. Если выбранная макромасштабная длина слишком мала, то могут потребоваться более грубые масштабные переменные: например, в динамике жидкости мы традиционно закрываем уравнения в частных производных для плотности, импульса и энергии; однако в высокоскоростном потоке, особенно при более низких плотностях, нам необходимо разрешить моды молекулярных колебаний, поскольку они не уравновесились на временных масштабах потока жидкости. Качественно те же соображения применимы к подходу без уравнений.

Для многих систем соответствующие грубые переменные более или менее известны из опыта. Однако в сложных ситуациях необходимо автоматически определять соответствующие грубые переменные, а затем использовать их в макромасштабной эволюции. Это требует гораздо большего количества исследований с использованием методов из добычи данных и многообразного обучения. В некоторых задачах может оказаться, что наряду с плотностями соответствующие грубые переменные также должны включать пространственные корреляции, как в так называемых броуновских жуках. [26]

Макромасштаб, возможно, придется рассматривать как стохастическую систему, но тогда ошибки, вероятно, будут гораздо больше, а замыкания — более неопределенными.

Ссылки

  1. ^ Кеврекидис, ИГ ; Самаей, Г. (2009), «Многомасштабные вычисления без уравнений: алгоритмы и приложения», Annual Review of Physical Chemistry , 60 : 321–344, Bibcode : 2009ARPC...60..321K, doi : 10.1146/annurev.physchem.59.032607.093610, PMID  19335220
  2. ^ Кеврекидис, ИГ и др. (2003), «Без уравнений, крупнозернистые многомасштабные вычисления: предоставление возможности микроскопическим симуляторам выполнять задачи системного уровня», Comm. Math. Sciences , 1 (4): 715–762, doi : 10.4310/CMS.2003.v1.n4.a5 , MR  2041455
  3. ^ Кеврекидис, ИГ и Самей, Джованни (2009), «Многомасштабные вычисления без уравнений: алгоритмы и приложения», Annu. Rev. Phys. Chem. , 60 : 321–44, Bibcode : 2009ARPC...60..321K, doi : 10.1146/annurev.physchem.59.032607.093610, PMID  19335220{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  4. ^ abc AJ Roberts и John Maclean и JE Bunder (2019), Набор инструментов Equation-Free для функций Matlab/Octave
  5. ^ CT Kelley. Итерационные методы для линейных и нелинейных уравнений , SIAM, Филадельфия, 1995.
  6. ^ Х. Хакен. Принцип подчинения пересматривается. Physica D , 97:95–103, 1996.
  7. ^ AJ Roberts. Эффективное моделирование динамики, детерминированной и стохастической, в различных пространственных и временных масштабах. В JG Hartnett и PC Abbott, редакторы, Frontiers of Fundamental and Computational Physics: 10th International Symposium , том 1246, страницы 75–87. AIP, 2010.
  8. ^ JP Ryckaert, G. Ciccotti и H. Berendsen. Численное интегрирование декартова уравнения движения системы с ограничениями: молекулярная динамика N-алканов. J. Comput. Phys. , 23:237, 1977.
  9. ^ CW Gear, TJ Kaper, IG Kevrekidis и A. Zagaris. Проецирование на медленное многообразие: сингулярно возмущенные системы и устаревшие коды. Журнал SIAM по прикладным динамическим системам 4(3):711–732, 2005.
  10. ^ W. E и B. Engquist (2003). Гетерогенные многомасштабные методы Comm. Math. Sciences 1(1):87–132.
  11. ^ WR Young, AJ Roberts и G. Stuhne. Репродуктивные парные корреляции и кластеризация организмов. Nature, 412:328–331, 2001.
  12. ^ RR Coifman et al. (2005). Геометрические диффузии как инструмент для гармонического анализа и определения структуры данных: Карты диффузии Труды Национальной академии наук 102(21):7426–7431.
  13. ^ J. Li, PG Kevrekidis, CW Gear и IG Kevrekidis (2003). Определение природы грубого уравнения посредством микроскопического моделирования: схема «вода в детской ванночке» SIAM Multiscale Modeling and Simulation 1(3):391–407.
  14. ^ GM Schroff и HB Keller (1993). Стабилизация нестабильных процедур: метод рекурсивной проекции SIAM Journal on Numerical Analysis 30: 1099–1120.
  15. ^ C. Rowley и J. Marsden (2000). Уравнения реконструкции и разложение Карунена–Лоэва для систем с симметрией Physica D: Nonlinear Phenomena 142: 1–19.
  16. ^ L. Chen, P. Debenedetti, CW Gear и IG Kevrekidis (2004). От молекулярной динамики к грубым самоподобным решениям: простой пример с использованием вычислений без уравнений. Журнал неньютоновской механики жидкостей 120: 215–223.
  17. ^ CT Kelley (1995). Итерационные методы для линейных и нелинейных уравнений SIAM, Филадельфия.
  18. ^ CW Gear и IG Kevrekidis. Проекционные методы для жестких дифференциальных уравнений: проблемы с пробелами в спектре их собственных значений. SIAM Journal on Scientific Computing 24(4):1091–1106, 2003.
  19. ^ CW Gear; IG Kevrekidis и Theodoropoulos. Грубый интеграционный/бифуркационный анализ с помощью микроскопических симуляторов: микро-методы Галеркина. Компьютеры и химическая инженерия 26: 941–963, 2002.
  20. ^ X. Chen, AJ Roberts и IG Kevrekidis. Projective integration of expensive multiscale stochastic simulation. В W. McLean и AJ Roberts, editors, Proceedings of the 15th Biennial Computational Techniques and Applications Conference, CTAC-2010, том 52 ANZIAM J. , страницы C661–C677, август 2011 г. http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/3764
  21. ^ Кеврекидис, ИГ и др. (2003). Свободные от уравнений крупнозернистые многомасштабные вычисления: позволяющие микроскопическим симуляторам выполнять задачи системного уровня . Comm. Math. Sciences 1(4): 715–762.
  22. ^ Samaey, G.; Roose, D. и Kevrekidis, IG (2005). Схема «щель-зуб» для задач гомогенизации SIAM Multiscale Modeling and Simulation 4: 278–306.
  23. ^ ab Робертс, А. Дж. и Кеврекидис, И. Г. (2007). Общие граничные условия зуба для моделирования без уравнений SIAM J. Scientific Computing 29(4): 1495–1510.
  24. ^ AJ Roberts, T. MacKenzie и J. Bunder. Динамический системный подход к моделированию макромасштабной пространственной динамики в нескольких измерениях. J. Engineering Mathematics , 86(1):175–207, 2014.
  25. ^ Бандер, Дж. Э., А. Дж. Робертс и И. Г. Кеврекидис (2017). «Хорошая связь для многомасштабной схемы патчей в системах с микромасштабной неоднородностью». В: J. Computational Physics 337, стр. 154–174. [1]
  26. ^ WR Young, AJ Roberts и G. Stuhne. Репродуктивные парные корреляции и кластеризация организмов. Nature , 412:328–331, 2001.
  • Яннис Кеврекидис (ред.). "Моделирование без уравнений". Scholarpedia .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Equation-free_modeling&oldid=1175713095"