Количественная оценка неопределенности
Характеристика и снижение неопределенностей как в вычислительных, так и в реальных приложениях

Квантификация неопределенности ( UQ ) — это наука количественной характеристики и оценки неопределенностей как в вычислительных, так и в реальных приложениях. Она пытается определить, насколько вероятны определенные результаты, если некоторые аспекты системы не известны точно. Примером может служить прогнозирование ускорения человеческого тела при лобовом столкновении с другим автомобилем: даже если скорость была точно известна, небольшие различия в производстве отдельных автомобилей, в том, насколько сильно был затянут каждый болт и т. д., приведут к разным результатам, которые можно предсказать только в статистическом смысле.

Многие проблемы в естественных науках и инженерии также изобилуют источниками неопределенности. Компьютерные эксперименты на компьютерных симуляциях являются наиболее распространенным подходом к изучению проблем в количественной оценке неопределенности. [1] [2] [3] [4] [5] [6]

Источники

Неопределенность может входить в математические модели и экспериментальные измерения в различных контекстах. Один из способов классификации источников неопределенности — рассмотреть: [7]

Параметр
Это происходит из параметров модели, которые являются входными данными для компьютерной модели (математической модели), но чьи точные значения неизвестны экспериментаторам и не могут контролироваться в физических экспериментах, или чьи значения не могут быть точно выведены статистическими методами . Некоторые примеры этого - локальное ускорение свободного падения в эксперименте с падающим объектом, различные свойства материалов в конечно-элементном анализе для инженерии и неопределенность множителя в контексте оптимизации макроэкономической политики .
Параметрический
Это происходит из-за изменчивости входных переменных модели. Например, размеры заготовки в процессе производства могут не соответствовать точно разработанным и проинструктированным параметрам, что может привести к изменчивости ее производительности.
Структурная неопределенность
Также известное как неадекватность модели, смещение модели или несоответствие модели, это происходит из-за отсутствия знаний о физике, лежащей в основе проблемы. Это зависит от того, насколько точно математическая модель описывает истинную систему для реальной ситуации, учитывая тот факт, что модели почти всегда являются лишь приближениями к реальности. Одним из примеров является моделирование процесса падения объекта с использованием модели свободного падения; сама модель неточна, поскольку всегда существует трение воздуха. В этом случае, даже если в модели нет неизвестных параметров, все равно ожидается несоответствие между моделью и истинной физикой.
Алгоритмический
Также известна как численная неопределенность или дискретная неопределенность. Этот тип возникает из-за числовых ошибок и числовых приближений на реализацию компьютерной модели. Большинство моделей слишком сложны для точного решения. Например, метод конечных элементов или метод конечных разностей может использоваться для аппроксимации решения уравнения в частных производных (что вносит числовые ошибки). Другими примерами являются численное интегрирование и усечение бесконечной суммы, которые являются необходимыми приближениями в численной реализации.
Экспериментальный
Также известная как ошибка наблюдения, она возникает из-за изменчивости экспериментальных измерений. Экспериментальная неопределенность неизбежна и может быть замечена при многократном повторении измерения с использованием точно таких же настроек для всех входных данных/переменных.
Интерполяция
Это происходит из-за отсутствия доступных данных, собранных из компьютерных моделей моделирования и/или экспериментальных измерений. Для других входных настроек, которые не имеют данных моделирования или экспериментальных измерений, необходимо интерполировать или экстраполировать, чтобы предсказать соответствующие ответы.

Алеаторические и эпистемические

Неопределенность иногда подразделяют на две категории, [8] [9] наиболее заметно проявляющиеся в медицинских приложениях. [10]

Алеаторический
Алеаторическая неопределенность также известна как стохастическая неопределенность и является репрезентативной для неизвестных, которые различаются каждый раз, когда мы проводим один и тот же эксперимент. Например, одна стрела, выпущенная из механического лука, который точно повторяет каждый запуск (то же ускорение, высота, направление и конечная скорость), не попадет в одну и ту же точку на цели из-за случайных и сложных вибраций древка стрелы, знание которых не может быть достаточно определено, чтобы исключить результирующий разброс точек попадания. Аргумент здесь, очевидно, заключается в определении «не может». То, что мы не можем достаточно измерить с помощью наших имеющихся в настоящее время измерительных приборов, не обязательно исключает существование такой информации, которая переместила бы эту неопределенность в нижестоящую категорию. Алеаторика происходит от латинского alea или игральные кости, относящегося к азартной игре.
Эпистемическая неопределенность
Эпистемическая неопределенность также известна как систематическая неопределенность и возникает из-за вещей, которые в принципе можно знать, но не знать на практике. Это может быть связано с тем, что измерение неточно, модель не учитывает определенные эффекты или определенные данные были намеренно скрыты. Примером источника этой неопределенности может служить сопротивление в эксперименте, предназначенном для измерения ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли. Обычно используемое ускорение свободного падения 9,8 м/с² игнорирует эффекты сопротивления воздуха, но сопротивление воздуха для объекта можно измерить и включить в эксперимент, чтобы уменьшить результирующую неопределенность в расчете ускорения свободного падения.
Совместное возникновение и взаимодействие алеаторической и эпистемической неопределенности
Алеаторическая и эпистемическая неопределенность также могут возникать одновременно в одном термине, например, когда экспериментальные параметры показывают алеаторическую неопределенность, и эти экспериментальные параметры вводятся в компьютерное моделирование. Если затем для количественной оценки неопределенности суррогатная модель , например, гауссовский процесс или полиномиальное расширение хаоса, изучается из компьютерных экспериментов, этот суррогат демонстрирует эпистемическую неопределенность, которая зависит от алеаторической неопределенности экспериментальных параметров или взаимодействует с ней. [4] Такая неопределенность больше не может быть классифицирована исключительно как алеаторическая или эпистемическая, но является более общей выводной неопределенностью.

В реальных приложениях присутствуют оба вида неопределенности. Квантификация неопределенности направлена ​​на явное выражение обоих типов неопределенности по отдельности. Квантификация для алеаторических неопределенностей может быть относительно простой, где традиционная (частотная) вероятность является самой базовой формой. Часто используются такие методы, как метод Монте-Карло . Распределение вероятностей может быть представлено его моментами (в гауссовском случае достаточно среднего значения и ковариации , хотя, в общем, даже знание всех моментов до произвольно высокого порядка все еще не определяет функцию распределения однозначно), или, в последнее время, такими методами, как разложение Карунена-Лоэва и полиномиальное разложение хаоса . Чтобы оценить эпистемическую неопределенность, прилагаются усилия для понимания (отсутствия) знания системы, процесса или механизма. Эпистемическая неопределенность обычно понимается через призму байесовской вероятности , где вероятности интерпретируются как указание того, насколько уверенным может быть рациональный человек в отношении конкретного утверждения.

Математическая перспектива

В математике неопределенность часто характеризуется в терминах распределения вероятностей . С этой точки зрения эпистемическая неопределенность означает неуверенность в том, каково соответствующее распределение вероятностей, а алеаторическая неопределенность означает неуверенность в том, какова будет случайная выборка , взятая из распределения вероятностей.

Типы проблем

Существует два основных типа проблем в количественной оценке неопределенности: одна из них — прямое распространение неопределенности (где различные источники неопределенности распространяются через модель для прогнозирования общей неопределенности в реакции системы), а другая — обратная оценка неопределенности модели и неопределенности параметров (где параметры модели калибруются одновременно с использованием тестовых данных). Было проведено множество исследований по первой проблеме, и для нее было разработано большинство методов анализа неопределенности. С другой стороны, последняя проблема привлекает все большее внимание в сообществе инженерного проектирования, поскольку количественная оценка неопределенности модели и последующие прогнозы истинной реакции(й) системы представляют большой интерес для проектирования надежных систем.

Вперед

Распространение неопределенности — это количественная оценка неопределенностей в выходных данных системы, распространяемых неопределенными входными данными. Она фокусируется на влиянии на выходные данные параметрической изменчивости, перечисленной в источниках неопределенности. Целями анализа распространения неопределенности могут быть:

  • Для оценки моментов низшего порядка выходных данных, т.е. среднего значения и дисперсии .
  • Для оценки надежности выходных данных. Это особенно полезно в инженерии надежности , где выходные данные системы обычно тесно связаны с производительностью системы.
  • Для оценки полного распределения вероятностей выходов. Это полезно в сценарии оптимизации полезности , где полное распределение используется для расчета полезности.

Обратный

Учитывая некоторые экспериментальные измерения системы и некоторые результаты компьютерного моделирования из ее математической модели, обратная количественная оценка неопределенности оценивает расхождение между экспериментом и математической моделью (что называется коррекцией смещения ), а также оценивает значения неизвестных параметров в модели, если таковые имеются (что называется калибровкой параметров или просто калибровкой ). Обычно это гораздо более сложная проблема, чем прямое распространение неопределенности; однако она имеет большое значение, поскольку обычно реализуется в процессе обновления модели. Существует несколько сценариев в обратной количественной оценке неопределенности:

Результат коррекции смещения, включая обновленную модель (среднее значение прогноза) и доверительный интервал прогноза.

Только коррекция смещения

Коррекция смещения количественно определяет неадекватность модели , т.е. расхождение между экспериментом и математической моделью. Общая формула обновления модели для коррекции смещения:

y e ( x ) = y m ( x ) + δ ( x ) + ε {\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} )+\delta (\mathbf {x} )+\varepsilon }

где обозначает экспериментальные измерения как функцию нескольких входных переменных , обозначает отклик компьютерной модели (математической модели), обозначает аддитивную функцию расхождения (она же функция смещения), а обозначает экспериментальную неопределенность. Цель состоит в том, чтобы оценить функцию расхождения , и в качестве побочного продукта полученная обновленная модель представляет собой . Доверительный интервал прогнозирования предоставляется с обновленной моделью в качестве количественной оценки неопределенности. y e ( x ) {\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )} x {\displaystyle \mathbf {x} } y m ( x ) {\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} )} δ ( x ) {\displaystyle \delta (\mathbf {x} )} ε {\displaystyle \varepsilon } δ ( x ) {\displaystyle \delta (\mathbf {x} )} y m ( x ) + δ ( x ) {\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} )+\delta (\mathbf {x} )}

Только калибровка параметров

Калибровка параметров оценивает значения одного или нескольких неизвестных параметров в математической модели. Общая формула обновления модели для калибровки:

y e ( x ) = y m ( x , θ ∗ ) + ε {\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\varepsilon }

где обозначает отклик компьютерной модели, который зависит от нескольких неизвестных параметров модели , а обозначает истинные значения неизвестных параметров в ходе экспериментов. Цель состоит в том, чтобы либо оценить , либо придумать распределение вероятностей, которое охватывает наилучшие знания истинных значений параметров. y m ( x , θ ) {\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})} θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} θ ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{*}} θ ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{*}} θ ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}^{*}}

Коррекция смещения и калибровка параметров

Он рассматривает неточную модель с одним или несколькими неизвестными параметрами, а его формула обновления модели объединяет эти два параметра:

y e ( x ) = y m ( x , θ ∗ ) + δ ( x ) + ε {\displaystyle y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\delta (\mathbf {x} )+\varepsilon }

Это наиболее полная формулировка обновления модели, которая включает все возможные источники неопределенности, и ее решение требует наибольших усилий.

Избирательные методики

Было проведено много исследований для решения проблем количественной оценки неопределенности, хотя большинство из них имеют дело с распространением неопределенности. В течение последних одного-двух десятилетий также были разработаны несколько подходов для обратных проблем количественной оценки неопределенности, которые оказались полезными для большинства задач малого и среднего масштаба.

Прямое распространение

Существующие подходы к распространению неопределенности включают вероятностные подходы и невероятностные подходы. Существует в основном шесть категорий вероятностных подходов к распространению неопределенности: [11]

  • Методы, основанные на моделировании: моделирование по методу Монте-Карло , выборка по значимости , адаптивная выборка и т. д.
  • Общие методы на основе суррогатов: При неинтрузивном подходе суррогатная модель изучается для замены эксперимента или моделирования дешевым и быстрым приближением. Методы на основе суррогатов также могут использоваться в полностью байесовском стиле. [12] [4] [13] [14] Этот подход оказался особенно эффективным, когда стоимость выборки, например, вычислительно дорогостоящего моделирования, непомерно высока.
  • Методы, основанные на локальном расширении: ряд Тейлора , метод возмущения и т. д. Эти методы имеют преимущества при работе с относительно небольшой входной изменчивостью и выходами, которые не выражают высокой нелинейности. Эти линейные или линеаризованные методы подробно описаны в статье Распространение неопределенности .
  • Методы, основанные на функциональном разложении: разложение Неймана, ортогональное разложение или разложение Карунена–Лоэва (KLE), с разложением полиномиального хаоса (PCE) и вейвлет-разложением в качестве частных случаев.
  • Методы, основанные на наиболее вероятной точке (MPP): метод надежности первого порядка (FORM) и метод надежности второго порядка (SORM).
  • Методы, основанные на численном интегрировании: полное факторное численное интегрирование (FFNI) и уменьшение размерности (DR).

Среди невероятностных подходов наиболее широко используются интервальный анализ , [15] нечеткая теория , теория возможностей и теория доказательств.

Вероятностный подход считается наиболее строгим подходом к анализу неопределенности в инженерном проектировании из-за его согласованности с теорией анализа решений. Его краеугольным камнем является расчет функций плотности вероятности для выборочной статистики. [16] Это может быть выполнено строго для случайных величин, которые могут быть получены как преобразования гауссовых величин, что приводит к точным доверительным интервалам.

Обратная неопределенность

Частотник

В регрессионном анализе и задачах наименьших квадратов стандартная ошибка оценок параметров легко доступна, и ее можно расширить до доверительного интервала .

байесовский

В байесовской структуре существует несколько методологий для количественной оценки обратной неопределенности . Наиболее сложным направлением является решение проблем как с коррекцией смещения, так и с калибровкой параметров. Проблемы таких проблем включают не только влияние неадекватности модели и неопределенности параметров, но и отсутствие данных как из компьютерного моделирования, так и из экспериментов. Распространенной ситуацией является то, что входные настройки не одинаковы для экспериментов и моделирования. Другая распространенная ситуация заключается в том, что параметры, полученные из экспериментов, являются входными для моделирования. Для вычислительно затратных симуляций часто необходима суррогатная модель , например, гауссовский процесс или полиномиальное разложение хаоса , определяющая обратную задачу для нахождения суррогатной модели, которая наилучшим образом приближает моделирование. [4]

Модульный подход

Подход к обратной количественной оценке неопределенности — модульный байесовский подход. [7] [17] Модульный байесовский подход получил свое название от своей четырехмодульной процедуры. Помимо текущих доступных данных, должно быть назначено априорное распределение неизвестных параметров.

Модуль 1: Моделирование гауссовского процесса для компьютерной модели

Для решения проблемы отсутствия результатов моделирования компьютерная модель заменяется моделью гауссовского процесса (ГП).

y m ( x , θ ) ∼ G P ( h m ( ⋅ ) T β m , σ m 2 R m ( ⋅ , ⋅ ) ) {\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{m}(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m}^{2}R^{m}(\cdot ,\cdot ){\big )}}

где

R m ( ( x , θ ) , ( x ′ , θ ′ ) ) = exp ⁡ { − ∑ k = 1 d ω k m ( x k − x k ′ ) 2 } exp ⁡ { − ∑ k = 1 r ω d + k m ( θ k − θ k ′ ) 2 } . {\displaystyle R^{m}{\big (}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}),(\mathbf {x} ',{\boldsymbol {\theta }}'){\big )}=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{m}(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}\exp \left\{-\sum _{k=1}^{r}\omega _{d+k}^{m}(\theta _{k}-\theta _{k}')^{2}\right\}.}

d {\displaystyle d} — размерность входных переменных, а — размерность неизвестных параметров. В то время как — предопределено, , известные как гиперпараметры модели GP, необходимо оценить с помощью оценки максимального правдоподобия (MLE) . Этот модуль можно рассматривать как обобщенный метод кригинга . r {\displaystyle r} h m ( ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {h} ^{m}(\cdot )} { β m , σ m , ω k m , k = 1 , … , d + r } {\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m},\omega _{k}^{m},k=1,\ldots ,d+r\right\}}

Модуль 2: Моделирование гауссовского процесса для функции расхождения

Аналогично первому модулю функция расхождения заменяется моделью GP.

δ ( x ) ∼ G P ( h δ ( ⋅ ) T β δ , σ δ 2 R δ ( ⋅ , ⋅ ) ) {\displaystyle \delta (\mathbf {x} )\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{\delta }(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta }^{2}R^{\delta }(\cdot ,\cdot ){\big )}}

где

R δ ( x , x ′ ) = exp ⁡ { − ∑ k = 1 d ω k δ ( x k − x k ′ ) 2 } . {\displaystyle R^{\delta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{\delta }(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}.}

Вместе с априорным распределением неизвестных параметров и данными из компьютерных моделей и экспериментов можно вывести оценки максимального правдоподобия для . В то же время из Модуля 1 также обновляется. { β δ , σ δ , ω k δ , k = 1 , … , d } {\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta },\omega _{k}^{\delta },k=1,\ldots ,d\right\}} β m {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{m}}

Модуль 3: Апостериорное распределение неизвестных параметров

Теорема Байеса применяется для расчета апостериорного распределения неизвестных параметров:

p ( θ ∣ data , φ ) ∝ p ( d a t a ∣ θ , φ ) p ( θ ) {\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}},{\boldsymbol {\varphi }})\propto p({\rm {{data}\mid {\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }})p({\boldsymbol {\theta }})}}}

где включает все фиксированные гиперпараметры из предыдущих модулей. φ {\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}

Модуль 4: Прогнозирование экспериментального отклика и функции расхождения
Полный подход

Полностью байесовский подход требует, чтобы были назначены не только априорные данные для неизвестных параметров , но и априорные данные для других гиперпараметров . Он следует следующим шагам: [18] θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} φ {\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}

  1. Вывести апостериорное распределение ; p ( θ , φ ∣ data ) {\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})}
  2. Интегрируем и получаем . Этот единственный шаг завершает калибровку; φ {\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}} p ( θ ∣ data ) {\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}})}
  3. Прогнозирование экспериментального отклика и функции расхождения.

Однако этот подход имеет существенные недостатки:

  • Для большинства случаев является весьма неразрешимой функцией . Следовательно, интеграция становится очень проблематичной. Более того, если априорные данные для других гиперпараметров не выбраны тщательно, сложность численной интеграции возрастает еще больше. p ( θ , φ ∣ data ) {\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})} φ {\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}} φ {\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}
  • На этапе прогнозирования, прогноз (который должен включать как минимум ожидаемое значение ответов системы) также требует численного интегрирования. Марковская цепь Монте-Карло (MCMC) часто используется для интегрирования; однако это вычислительно затратно.

Полностью байесовский подход требует огромного количества вычислений и пока может оказаться непрактичным для решения самых сложных ситуаций моделирования. [18]

Известные проблемы

Теории и методологии распространения неопределенности гораздо лучше разработаны по сравнению с обратной квантификацией неопределенности. Для последнего остаются нерешенными несколько трудностей:

  1. Проблема размерности: Вычислительные затраты резко возрастают с ростом размерности задачи, т. е. числа входных переменных и/или числа неизвестных параметров.
  2. Проблема идентифицируемости: [19] Несколько комбинаций неизвестных параметров и функции расхождения могут дать одно и то же экспериментальное предсказание. Следовательно, различные значения параметров не могут быть различены/идентифицированы. Эта проблема обходит байесовский подход, где такие комбинации усредняются. [4]
  3. Неполный ответ модели: относится к модели, не имеющей решения для некоторых комбинаций входных переменных. [20] [21]
  4. Количественная оценка неопределенности входных величин: критические события, отсутствующие в имеющихся данных, или критические величины, не идентифицированные аналитиками, например, из-за ограничений существующих моделей. [22]
  5. Мало внимания уделяется влиянию выбора, сделанного аналитиками. [23]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Сакс, Джером; Уэлч, Уильям Дж.; Митчелл, Тоби Дж.; Уинн, Генри П. (1989). «Проектирование и анализ компьютерных экспериментов». Статистическая наука . 4 (4): 409–423 . doi : 10.1214/ss/1177012413 . JSTOR  2245858.
  2. ^ Иман, Рональд Л.; Хелтон, Джон К. (1988). «Исследование методов анализа неопределенности и чувствительности для компьютерных моделей». Анализ риска . 8 (1). Wiley: 71– 90. Bibcode : 1988RiskA...8...71I. doi : 10.1111/j.1539-6924.1988.tb01155.x. ISSN  0272-4332.
  3. ^ Уокер, МЫ; Харремоэс, П.; Ротманс, Дж.; ван дер Слейс, JP; ван Ассельт, MBA; Янссен, П.; Крайер фон Краусс, член парламента (2003 г.). «Определение неопределенности: концептуальная основа управления неопределенностью в поддержке принятия решений на основе моделей». Комплексная оценка . 4 (1). Издательство Swets & Zeitlinger: 5–17 . Бибкод : 2003IntAs...4....5W. дои : 10.1076/iaij.4.1.5.16466. hdl : 1874/386032 . ISSN  1389-5176.
  4. ^ abcde Ранфтль, Саша; фон дер Линден, Вольфганг (2021-11-13). "Байесовский суррогатный анализ и распространение неопределенности". Physical Sciences Forum . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . doi : 10.3390/psf2021003006 . ISSN  2673-9984.
  5. ^ Ральф К. Смит (ред.): «Количественная оценка неопределенности: теория, реализация и приложения», 2-е изд., SIAM, ISBN 978-1-61197-783-7 (2024).
  6. ^ TJ Sullivan: «Введение в количественную оценку неопределенности», Springer, ISBN 978-3319233949 (21 декабря 2015 г.).
  7. ^ ab Kennedy, Marc C.; O'Hagan, Anthony (2001). «Байесовская калибровка компьютерных моделей». Журнал Королевского статистического общества, серия B (статистическая методология) . 63 (3): 425– 464. doi : 10.1111/1467-9868.00294 .
  8. ^ Дер Кюрегян, Армен; Дитлевсен, Ове (2009). «Алеаторный или эпистемический? Имеет ли это значение?». Structural Safety . 31 (2): 105– 112. doi :10.1016/j.strusafe.2008.06.020.
  9. ^ Matthies, Hermann G. (2007). "Количественная оценка неопределенности: современное вычислительное представление вероятности и ее применение". Extreme Man-Made and Natural Hazards in Dynamics of Structures . NATO Security through Science Series. стр.  105–135 . doi :10.1007/978-1-4020-5656-7_4. ISBN 978-1-4020-5654-3.
  10. ^ Абхайя Индраян, Медицинская биостатистика , Второе издание, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, стр. 8, 673
  11. ^ Ли, Ш.; Чен, В. (2008-05-09). "Сравнительное исследование методов распространения неопределенности для задач типа "черный ящик"". Structural and Multidisciplinary Optimization . 37 (3). Springer Science and Business Media LLC: 239– 253. doi :10.1007/s00158-008-0234-7. ISSN  1615-147X. S2CID  119988015.
  12. ^ Карденас, IC (2019). «Об использовании байесовских сетей в качестве подхода к метамоделированию для анализа неопределенностей в анализе устойчивости склонов». Georisk: Оценка и управление рисками для инженерных систем и геологических опасностей . 13 (1): 53– 65. Bibcode : 2019GAMRE..13...53C. doi : 10.1080/17499518.2018.1498524. S2CID  216590427.
  13. ^ Ранфтл, Саша; Мелито, Джан Марко; Бадели, Вахид; Рейнбахер-Кёстингер, Элис; Эллерманн, Катрин; фон дер Линден, Вольфганг (2019-12-31). "Байесовская количественная оценка неопределенности с использованием данных с множественной точностью и гауссовых процессов для импедансной кардиографии расслоения аорты". Энтропия . 22 (1): 58. Bibcode : 2019Entrp..22...58R. doi : 10.3390/e22010058 . ISSN  1099-4300. PMC 7516489. PMID 33285833  . 
  14. ^ Ранфтл, Саша; Мюллер, Томас Стефан; Виндбергер, Урсула; фон дер Линден, Вольфганг; Бренн, Гюнтер (2021-05-03), Данные и коды для «Байесовского подхода к неопределенностям реологии крови в аортальной гемодинамике», doi :10.5281/zenodo.5237189 , получено 12.01.2022
  15. ^ Жолен, Л.; Киффер, М.; Дидрит, О.; Уолтер, Э. (2001). Прикладной интервальный анализ . Спрингер. ISBN 1-85233-219-0.
  16. ^ Арнаут, Л. Р. Неопределенность измерений в реверберационных камерах - I. Примеры статистики. Технический отчет TQE 2, 2-е изд., раздел 3.1, Национальная физическая лаборатория, 2008.
  17. ^ Марк С. Кеннеди, Энтони О'Хаган, Дополнительные сведения о байесовской калибровке компьютерных моделей , Шеффилд, Шеффилдский университет: 1–13, 2000
  18. ^ ab Bayarri, MJ ; Berger, JO; Liu, F. (2009-03-01). «Модуляция в байесовском анализе с упором на анализ компьютерных моделей». Байесовский анализ . 4 (1). Институт математической статистики: 119– 150. doi : 10.1214/09-ba404 . ISSN  1936-0975.
  19. ^ Арендт, Пол Д.; Эпли, Дэниел В.; Чен, Вэй ; Лэмб, Дэвид; Горсич, Дэвид (28.09.2012). «Улучшение идентифицируемости при калибровке моделей с использованием множественных ответов». Журнал механического проектирования . 134 (10). ASME International: 100909. doi : 10.1115/1.4007573. ISSN  1050-0472.
  20. ^ Карденас, IC (2019). «Об использовании байесовских сетей в качестве подхода к метамоделированию для анализа неопределенностей в анализе устойчивости склонов». Georisk: Оценка и управление рисками для инженерных систем и геологических опасностей . 13 (1): 53– 65. Bibcode : 2019GAMRE..13...53C. doi : 10.1080/17499518.2018.1498524. S2CID  216590427.
  21. ^ van den Eijnden, AP; Schweckendiek, T; Hicks, MA (2021). «Метамоделирование для анализа геотехнической надежности с зашумленными и неполными моделями». Georisk: Оценка и управление рисками для инженерных систем и геологических опасностей . 16 (3): 518– 535. doi : 10.1080/17499518.2021.1952611 . S2CID  238819106.
  22. ^ Карденас, И.; Авен, Т.; Флаге, Р. (2022). «Решение проблем в количественной оценке неопределенности. Случай оценок геологических опасностей». Geosci. Model Dev. Discuss . 16 (6): 1601– 1615. doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . hdl : 11250/3105739 .
  23. ^ Карденас, И.; Авен, Т.; Флаге, Р. (2022). «Решение проблем в количественной оценке неопределенности. Случай оценок геологических опасностей». Geosci. Model Dev. Discuss . 16 (6): 1601– 1615. doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . hdl : 11250/3105739 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uncertainty_quantification&oldid=1268168778#Aleatoric_and_epistemic_uncertainty"