расширение Энгеля

Разложение Энгеля положительного действительного числа x — это уникальная неубывающая последовательность положительных целых чисел, такая что${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\точки)}$

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots ={\frac {1}{a_{1}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Например, число Эйлера e имеет разложение Энгеля ^[1]

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

соответствующий бесконечному ряду

${\displaystyle e={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots }$

Рациональные числа имеют конечное разложение Энгеля, в то время как иррациональные числа имеют бесконечное разложение Энгеля. Если x рационально, его разложение Энгеля обеспечивает представление x в виде египетской дроби . Разложения Энгеля названы в честь Фридриха Энгеля , который изучал их в 1913 году.

Расширение, аналогичное расширению Энгеля , в котором чередующиеся члены отрицательны, называется расширением Пирса.

Краайкамп и Ву (2004) отмечают, что разложение Энгеля также можно записать как возрастающий вариант цепной дроби :

${\displaystyle x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}.}$

Они утверждают, что восходящие непрерывные дроби, подобные этой, изучались еще в Liber Abaci Фибоначчи (1202). Это утверждение, по-видимому, относится к записи составных дробей Фибоначчи, в которой последовательность числителей и знаменателей, разделяющих одну и ту же черту дроби, представляет собой восходящую непрерывную дробь:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\cfrac {c+{\cfrac {b+{\cfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

Если такая запись имеет все числители 0 или 1, как это происходит в нескольких случаях в Liber Abaci , результатом является расширение Энгеля. Однако расширение Энгеля как общая техника, по-видимому, не описывается Фибоначчи.

Чтобы найти разложение Энгеля для x , пусть

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \!,}$

и

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

где — функция потолка (наименьшее целое число, не меньшее r ).${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$

Если для любого i , остановить алгоритм. ${\displaystyle u_{i}=0}$

Другой эквивалентный метод — рассмотреть карту ^[2]

${\displaystyle g(x)=x\!\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

и установить

${\displaystyle u_{k}=1+\left\lfloor {\frac {1}{g^{(n-1)}(x)}}\right\rfloor }$

где

${\displaystyle g^{(n)}(x)=g(g^{(n-1)}(x))}$и${\displaystyle g^{(0)}(x)=x.}$

Еще один эквивалентный метод, называемый модифицированным расширением Энгеля, вычисляется по формуле

${\displaystyle h(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor \!\left(x\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +x-1\right)}$

и

${\displaystyle u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor &n=1\\\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-2)}(x)}}\right\rfloor \!\left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}}\right\rfloor \right)&n\geq 2\end{cases}}}$

Оператор переноса Фробениуса–Перрона отображения Энгеля действует на функции с${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{g}f](x)=\sum _{y:g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left|{\frac {d}{dz}}g(z)\right|_{z=y}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}}\right)}{n+1}}}$

с

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[x(n+1)-1]=n+1}$а обратный компонент n -го компонента находится путем решения уравнения .${\displaystyle {\frac {x+1}{n+1}}}$${\displaystyle x(n+1)-1=y}$${\displaystyle x}$

Преобразование Меллина карты связано с дзета-функцией Римана формулой${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[5pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[5pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}.}$

Чтобы найти разложение Энгеля 1,175, мы выполняем следующие шаги.

${\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0}$

На этом серия заканчивается. Таким образом,

${\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

а разложение Энгеля для 1,175 равно (1, 6, 20).

Каждое положительное рациональное число имеет единственное конечное разложение Энгеля. В алгоритме разложения Энгеля, если u _i — рациональное число x / y , то u _{i  + 1} = (− y mod x )/ y . Поэтому на каждом шаге числитель в оставшейся дроби u _i уменьшается, и процесс построения разложения Энгеля должен закончиться за конечное число шагов. Каждое рациональное число также имеет единственное бесконечное разложение Энгеля: используя тождество

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}$

последняя цифра n в конечном разложении Энгеля может быть заменена бесконечной последовательностью ( n  + 1)s без изменения ее значения. Например,

${\displaystyle 1.175=(1,6,20)=(1,6,21,21,21,\dots ).}$

Это аналогично тому, что любое рациональное число с конечным десятичным представлением также имеет бесконечное десятичное представление (см. 0,999... ). Бесконечное разложение Энгеля, в котором все члены равны, является геометрической прогрессией .

Эрдёш , Реньи и Сюс задались вопросом о нетривиальных границах длины конечного разложения Энгеля рационального числа x / y  ; на этот вопрос ответили Эрдёш и Шаллит , доказав , что число членов в разложении равно O( y ^{1/3 + ε} ) для любого ε > 0. ^[3]

Рассмотрим эту сумму:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}}+\cdots ,}$

где и . Таким образом, в общем случае${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} }$${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\beta }}\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}e^{\frac {1}{\beta }}\gamma \left({\frac {\alpha }{\beta }},{\frac {1}{\beta }}\right)=\{{\alpha },\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}\;}$,

где представляет собой нижнюю неполную гамма-функцию .${\displaystyle \gamma }$

В частности, если ,${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}\;}$.

Тождество Гаусса q-аналога можно записать как:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-{\frac {1}{q^{2n}}}}{1-{\frac {1}{q^{2n-1}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{q^{\frac {n(n+1)}{2}}}},\quad q\in \mathbb {N} .}$

Используя это тождество, мы можем выразить разложение Энгеля для степеней следующим образом:${\displaystyle q}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{n}}}\right)^{(-1)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}q^{i}}}.}$

Более того, это выражение можно записать в замкнутом виде как:

${\displaystyle {\frac {q^{1/8}\vartheta _{2}\left({\frac {1}{\sqrt {q}}}\right)}{2}}=\{1,q,q^{3},q^{6},q^{10},\ldots \}}$

где - вторая тета-функция .${\displaystyle \vartheta _{2}}$

${\displaystyle \pi }$= (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) (последовательность A006784 в OEIS )

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$= (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) (последовательность A028254 в OEIS )

${\displaystyle e}$= (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) (последовательность A028310 в OEIS )

Дополнительные разложения Энгеля для констант можно найти здесь.

Коэффициенты a _i разложения Энгеля обычно демонстрируют экспоненциальный рост ; точнее, для почти всех чисел в интервале (0,1] предел существует и равен e . Однако подмножество интервала, для которого это не так, все еще достаточно велико, так что его размерность Хаусдорфа равна единице. ^[4] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}}$

Тот же типичный темп роста применяется к членам в разложении, сгенерированном жадным алгоритмом для египетских дробей . Однако множество действительных чисел в интервале (0,1], чьи разложения Энгеля совпадают с их жадными разложениями, имеет меру ноль и размерность Хаусдорфа 1/2. ^[5]

• Формула непрерывной дроби Эйлера

• Вайсштейн, Эрик В. «Энгельское расширение». MathWorld – веб-ресурс Wolfram.