Функция контроля (эконометрика)

Функции управления (также известные как двухэтапное остаточное включение ) являются статистическими методами для исправления проблем эндогенности путем моделирования эндогенности в погрешности . Таким образом, подход отличается важными способами от других моделей, которые пытаются учесть ту же эконометрическую проблему. Инструментальные переменные , например, пытаются моделировать эндогенную переменную X как часто обратимую модель по отношению к соответствующему и экзогенному инструменту Z. Панельный анализ использует специальные свойства данных для выделения ненаблюдаемой неоднородности, которая, как предполагается, фиксируется с течением времени .

Функции управления были введены Хекманом и Роббом ^[1], хотя этот принцип можно проследить и в более ранних работах. ^[2] Одной из причин их популярности является то, что они работают для необратимых моделей (таких как модели дискретного выбора ) и допускают неоднородные эффекты, когда эффекты на индивидуальном уровне могут отличаться от эффектов на совокупном уровне. ^[3] Известным примером подхода с использованием функции управления является поправка Хекмана .

Предположим, что мы начинаем со стандартной настройки эндогенных переменных с аддитивными ошибками, где X — эндогенная переменная, а Z — экзогенная переменная, которая может служить инструментом.

${\displaystyle Y=g(X)+U}$

1

${\displaystyle X=\пи (Z)+V}$

2

${\displaystyle E[U\mid Z,V]=E[U\mid V]}$

3

${\displaystyle E[V\mid Z]=0}$

4

Популярный подход инструментальных переменных заключается в использовании двухшаговой процедуры и оценке уравнения ( 2 ) в первую очередь, а затем использовании оценок этого первого шага для оценки уравнения ( 1 ) на втором шаге. Однако функция управления использует то, что эта модель подразумевает

${\displaystyle E[Y\mid Z,V]=g(X)+E[U\mid Z,V]=g(X)+E[U\mid V]=g(X)+h(V)}$

5

Функция h ( V ) фактически является контрольной функцией, которая моделирует эндогенность, и отсюда этот эконометрический подход получил свое название. ^[4]

В структуре потенциальных результатов причинно-следственной модели Рубина , где Y ₁ — это переменная результата людей, для которых показатель участия D равен 1, подход на основе функции контроля приводит к следующей модели:

${\displaystyle E[Y_{1}\mid X,Z,D=1]=\mu _{1}(X)+E[U\mid D=1]}$

6

до тех пор, пока потенциальные результаты Y ₀ и Y ₁ не зависят от D и зависят от X и Z . ^[5]

Поскольку регрессия второго этапа включает сгенерированные регрессоры , ее матрицу дисперсии-ковариации необходимо скорректировать. ^{[6] [7]}

Вулдридж и Терца предлагают методологию как для работы с эндогенностью, так и для ее проверки в рамках экспоненциальной регрессии, за которой тесно следует последующее обсуждение. ^[8] Хотя пример фокусируется на модели регрессии Пуассона , его можно обобщить и на другие модели экспоненциальной регрессии, хотя это может быть достигнуто за счет дополнительных предположений (например, для моделей бинарного отклика или цензурированных данных).

Предположим следующую модель экспоненциальной регрессии, где — ненаблюдаемый член в скрытой переменной. Мы допускаем корреляцию между и (подразумевая , что возможно эндогенно), но не допускаем такой корреляции между и . ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},a_{i}]=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+a_{i})}$

Переменные служат инструментальными переменными для потенциально эндогенных . Можно предположить линейную связь между этими двумя переменными или альтернативно спроецировать эндогенную переменную на инструменты, чтобы получить следующее уравнение приведенной формы:${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle x_{i}=z_{i}\Pi +v_{i}}$

1

Обычное условие ранга необходимо для обеспечения идентификации. Затем эндогенность моделируется следующим образом, где определяет серьезность эндогенности и предполагается, что она не зависит от . ${\displaystyle \ро}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=v_{i}\rho +e_{i}}$

Принимая эти предположения, предполагая, что модели правильно определены, и нормализуя , мы можем переписать условное среднее следующим образом:${\displaystyle \operatorname {E} [\exp(e_{i})]=1}$

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},v_{i}]=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+v_{i}\rho )}$

2

Если бы они были известны на этом этапе, можно было бы оценить соответствующие параметры с помощью оценки квазимаксимального правдоподобия (QMLE). Следуя двухшаговым стратегиям процедуры, Вулдридж и Терца предлагают оценивать уравнение ( 1 ) с помощью обычных наименьших квадратов . Подогнанных остатков из этой регрессии затем можно включить в оценочное уравнение ( 2 ), и методы QMLE приведут к согласованным оценкам интересующих параметров. Тесты значимости затем можно использовать для проверки эндогенности в модели.${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

Первоначальная процедура Хеккита делает предположения о распределении относительно ошибок, однако были установлены более гибкие подходы к оценке с более слабыми предположениями о распределении. ^[9] Кроме того, Бланделл и Пауэлл показывают, как подход с использованием функции управления может быть особенно полезен в моделях с неаддитивными ошибками, таких как модели дискретного выбора. ^[10] Однако этот последний подход неявно делает предположения о сильных формах распределения и функциональности. ^[5]

• Двухэтапный метод наименьших квадратов  – Метод в статистикеСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Поправка Хекмана  – статистический метод исправления смещения выборки

• Го, Цзыцзянь; Смолл, Дилан С. (2016). «Оценка инструментальной переменной функции управления нелинейных моделей причинно-следственных связей». Журнал исследований машинного обучения . 17 (100): 1– 35. arXiv : 1602.01051 .
• Вулдридж, Джеффри М. (2015). «Методы контрольной функции в прикладной эконометрике». Журнал человеческих ресурсов . 50 (2): 420– 445. doi :10.3368/jhr.50.2.420. S2CID  119604644.