Эллис дренажная яма

Дренажная дыра Эллиса — самая ранняя известная полная математическая модель проходимой червоточины . Это статическое, сферически симметричное решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна, дополненное включением скалярного поля, минимально связанного с геометрией пространства-времени с полярностью связи, противоположной ортодоксальной полярности (отрицательной вместо положительной):${\displaystyle \фи}$

${\displaystyle {\mathbf {R} }_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {R} }\,g_{\mu \nu }=-2\ ,\left(\phi _{,\mu }\phi _{,\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}\phi ^{,\kappa }\phi _{,\каппа }\,g_{\mu \nu }\right)\,.}$

Решение было найдено в 1969 году (дата первой отправки) Гомером Г. Эллисом ^{[1] [a]} и независимо примерно в то же время Кириллом А. Бронниковым. ^[2] Бронников указал, что двумерный аналог топологии решения представляет собой гиперболоид из одной полосы, и что только использование антиортодоксальной полярности связи позволит получить решение с такой топологией. Эллис, чьей мотивацией было найти несингулярную замену для модели Шварцшильда элементарной гравитирующей частицы, показал, что подойдет только антиортодоксальная полярность, но нашел все решения для любой полярности, как и Бронников. Он изучил геометрию многообразия решений для антиортодоксальной полярности в значительной степени и обнаружил, что она

• состоит из двух асимптотически плоских трехмерных областей, соединенных в двухсферную область («сливное отверстие»),
• сингулярность - свободная,
• лишенный односторонних горизонтов событий ,
• геодезически полный
• гравитационно притягивающий с одной стороны сливного отверстия и более сильно отталкивающий с другой,
• снабженный времениподобным векторным полем, он интерпретировал как поле скорости «эфира», текущего из
  состояния покоя в бесконечности на притягивающей стороне, вниз в сливное отверстие и наружу в бесконечность на отталкивающей
  стороне, «создавая» (или реагируя на) гравитацию, ускоряясь на всем пути, и
• проходимое через дренажное отверстие в любом направлении фотонами и тестовыми частицами .

Статья Шетуани и Клемана дала название «геометрия Эллиса» частному случаю дренажной норы, в которой эфир не течет и нет гравитации, как и письмо Клемана редактору. ^{[3] [4]} Этот особый случай часто называют « кротовой норой Эллиса ». Когда полноценная дренажная нора рассматривается в ее роли прототипической проходимой червоточины, имя Бронникова присоединяется к ней наряду с именем Эллиса.

Представьте себе две евклидовы плоскости, одну над другой. Выберите два круга одинакового радиуса, один над другим, и удалите их внутренние части. Теперь склейте внешние части вместе по окружностям, плавно сгибая внешние части так, чтобы не было острых краев в месте склеивания. Если сделать это аккуратно, то получится катеноид, изображенный справа, или что-то похожее. Затем представьте себе все соединенное верхнее и нижнее пространство, заполненное жидкостью, текущей без завихрения в отверстие сверху и выходящей из нижней стороны, набирающей скорость по всему пути и изгибающей нижнюю область в более коническую форму, чем показано на Если вы представите, что переносите этот фильм с плоского экрана в 3D, заменяя плоскости евклидовыми трехмерными пространствами, а круги сферами, и думайте о жидкости, которая течет со всех направлений в отверстие сверху и вытекает снизу с неизменными направлениями, вы получите довольно хорошее представление о том, что такое «сливная яма». Техническое описание дренажной ямы как пространственно-временного многообразия дается метрикой пространства-времени, опубликованной в 1973 году. ^{[1] [2]}${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Метрическое решение дренажной скважины, представленное Эллисом в 1973 году, имеет формы собственного времени (с явным присутствием)${\displaystyle с}$

${\displaystyle {\begin{align}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f(\rho )\,c\,dt]^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f^{2}(\rho )\right]\,c^{2}dT^{2}-{\frac {1}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\end{align}}\,,}$

где и${\displaystyle \;\;d\Omega ^{2} = d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta)^{2}d\varphi ^{2}\;\;}$${\displaystyle \;\;T=t+{\displaystyle {\frac {1}{c}}\!\int \!\!\!{\frac {f(\rho )}{1-f^{2}(\rho )}}\,d\rho \,.}}$

Решение зависит от двух параметров, и , удовлетворяющих неравенствам , но в остальном не ограниченных. В терминах этих функций и задаются как${\displaystyle м}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq m<n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(\rho)=- {\sqrt {1-e^{- (2\,m/n)\phi }}}}$

и

${\displaystyle r(\rho )=\textstyle {\sqrt {(\rho -m)^{2}+a^{2}}}}$${\displaystyle e^{(m/n)\phi}={\sqrt {\frac {(\rho -m)^{2}+a^{2}}{1-f^{2}(\rho )}}}\,,}$

в котором

${\displaystyle \phi =\alpha (\rho )={\frac {n}{a}}\left[{\frac {\pi }{2}}-\tan ^{-1}\left({\frac {\rho -m}{a}}\right)\right]}$и${\displaystyle \;a={\sqrt {n^{2}-m^{2}}}.}$

Диапазоны координат:

${\displaystyle -\infty <t\,,T<\infty \,,\;\,-\infty <\rho <\infty \,,\;\;0<\vartheta <\pi \,,\; \;}$и${\displaystyle \;\,-\pi <\varphi <\pi \,.}$

(Для облегчения сравнения с решением Шварцшильда исходное решение было заменено на )${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \rho -м.}$

Асимптотически, как ,${\displaystyle \rho \to \infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n/\rho \,,\;\;r(\rho )\sim \rho \,,\;\;f(\rho )\sim -{\sqrt {2m/\rho }}\,,\;\;}$и${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \,.}$

Они показывают, при сравнении метрики дренажной ямы с метрикой Шварцшильда

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}&=c^{2}dt^{2}-[d\rho -f_{\text{S}}(\rho )\,c\,dt]^{2}-r_{\text{S}}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\\&=\left[1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )\right]\,c^{2}\,dT^{2}-{\frac {1}{1-f_{\text{S}}^{2}(\rho )}}\,d\rho ^{2}-r_{S}^{2}(\rho )\,d\Omega ^{2}\,,\end{aligned}}}$

где, в частично ( ) геометризированных единицах ,${\displaystyle G=c}$

${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho \,,\;\;f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,,\;\;}$и${\displaystyle \;\;f_{\text{S}}^{2}(\rho )=2M/\rho \,,}$

что параметр является аналогом для дренажной ямы параметра массы Шварцшильда .${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

С другой стороны, как ,${\displaystyle \rho \to -\infty }$

${\displaystyle \alpha (\rho )\sim n\pi /a\,,\;\;r(\rho )\sim -\rho e^{m\pi /a}\,,\;\;}$и${\displaystyle \;\;f^{2}(\rho )\sim 1-e^{-2m\pi /a}\,.}$

График ниже демонстрирует эти асимптотики, а также тот факт, что, в соответствии с (где метрика Шварцшильда имеет свой пресловутый односторонний горизонт событий, разделяющий внешнюю часть, где , от внутренней части черной дыры, где ), достигает положительного минимального значения, при котором «верхняя» область (где ) открывается в более просторную «нижнюю» область (где ).${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho =2M}$${\displaystyle \rho >2M}$${\displaystyle \rho <2M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho =2m}$${\displaystyle \rho >2m}$${\displaystyle \rho <2m}$

Векторное поле генерирует радиальные геодезические, параметризованные собственным временем , которое согласуется с координатным временем вдоль геодезических.${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t}$

Как можно заключить из графика , пробная частица, следуя одной из этих геодезических линий, начинает с состояния покоя в точке падает вниз по направлению к сливному отверстию, набирая скорость на всем пути, проходит через сливное отверстие и выходит в нижнюю область, все еще набирая скорость в направлении вниз, и достигает точки с ${\displaystyle f^{2}}$${\displaystyle \rho =\infty ,}$${\displaystyle \rho =-\infty }$

${\displaystyle \mathrm {speed} =c|f(-\infty )|=c{\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}<c.}$

Рассматриваемое векторное поле рассматривается как поле скорости более или менее существенного «эфира», пронизывающего все пространство-время. Этот эфир в общем случае «больше, чем просто инертная среда для распространения электромагнитных волн; это беспокойный, текущий континуум, внутренние, относительные движения которого проявляются для нас как гравитация. Массовые частицы появляются как источники или стоки этого текущего эфира». ^[1]

Для времениподобных геодезических в общем случае радиальное уравнение движения имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\rho }{d\tau ^{2}}}&=-\left({\frac {f^{2}}{2}}\right)^{\mathbf {\prime } }(\rho )+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\\&=-{\frac {m}{r^{2}(\rho )}}+(\rho -3m)\left({\frac {d\Omega }{d\tau }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

Из этого видно, что

• именно «растяжение» потока эфира, измеряемое термином , создает направленную вниз силу гравитации,${\displaystyle -(f^{2}/2)'(\rho )}$
• каждая тестовая частица, орбита которой опустится настолько низко, что упадет через сливное отверстие,${\displaystyle \rho =3m}$
• существуют пробные частицы с достаточной угловой скоростью, чтобы уравновесить нисходящее притяжение, так что их орбиты (в частности, круговые) ограничены частью верхней области, где ,${\displaystyle |d\Omega /d\tau |}$${\displaystyle \rho >3m}$
• нисходящая тяга создает в верхней области ускорение по направлению к сливному отверстию, таким образом, притягивающую гравитацию, но в нижней области ускорение от сливного отверстия, таким образом, отталкивающую гравитацию,
• нисходящая тяга достигает своего максимума там, где она минимальна, а именно, в «горле» сливного отверстия, где , и${\displaystyle r(\rho )}$${\displaystyle \rho =2m}$
• если тестовая частица может находиться в состоянии покоя (с ) в любой точке пространства. (Это особый случай негравитационной дренажной норы, известной как червоточина Эллиса .)${\displaystyle m=0,}$${\displaystyle d\rho /d\tau =d\Omega /d\tau =0}$

Из радиального уравнения движения ясно, что пробные частицы, стартующие из любой точки в верхней области без радиальной скорости ( ), без достаточной угловой скорости упадут через сливное отверстие в нижнюю область. Не так ясно, но, тем не менее, верно, что пробная частица, стартующая из точки в нижней области, может с достаточной скоростью вверх пройти через сливное отверстие в верхнюю область. Таким образом, сливное отверстие «проходимо» пробными частицами в обоих направлениях. То же самое справедливо и для фотонов.${\displaystyle d\rho /d\tau =0}$${\displaystyle d\Omega /d\tau }$

Полный каталог геодезических линий дренажной ямы можно найти в статье Эллиса. ^[1]

Для метрики общего вида метрики дренажной ямы, с полем скоростей текущего эфира, координатные скорости радиальных нулевых геодезических оказываются равными для световых волн, движущихся против потока эфира, и для световых волн, движущихся по потоку. Везде , где , так что , световые волны, борющиеся с потоком эфира, могут завоевать почву. С другой стороны, в местах, где восходящие световые волны могут в лучшем случае удержаться (если ), или в противном случае быть снесенными вниз по течению туда, куда движется эфир (если ). (Эта ситуация описывается в шутку: «Люди в легких каноэ должны избегать эфирных порогов». ^[1] )${\displaystyle \partial _{t}+cf(\rho )\partial _{\rho }}$${\displaystyle d\rho /dt}$${\displaystyle c(f(\rho )+1)}$${\displaystyle c(f(\rho )-1)}$${\displaystyle f(\rho )>-1}$${\displaystyle c(f(\rho )+1)>0}$${\displaystyle f(\rho )\leq -1}$${\displaystyle f(\rho )=-1}$${\displaystyle f(\rho )<-1}$

Последняя ситуация наблюдается в метрике Шварцшильда, где , которая находится на горизонте событий Шварцшильда, где , и меньше, чем внутри горизонта, где .${\displaystyle \textstyle f_{\text{S}}(\rho )=-{\sqrt {2M/\rho }}\,}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle r_{\text{S}}(\rho )=\rho =2M}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \rho <2M}$

Напротив, в сливной яме и для любого значения , поэтому нигде нет горизонта, по одну сторону которого световые волны, борющиеся с потоком эфира, не могли бы закрепиться.${\displaystyle \textstyle f^{2}(\rho )<1-e^{-2m\pi /a}<1}$${\displaystyle \textstyle f(\rho )=-\left[f^{2}(\rho )\right]^{1/2}>-1}$${\displaystyle \rho }$

Потому что

• ${\displaystyle r}$и определены на всей действительной прямой, и${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle r}$ограничено от ) , и${\displaystyle 0}$${\displaystyle r(2m)}$
• ${\displaystyle f^{2}}$ограничено (от ),${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {1-e^{-2m\pi /a}}}}$

метрика дренажной ямы не охватывает ни «координатную особенность», где , ни «геометрическую особенность», где , даже асимптотические. По тем же причинам каждая геодезическая с несвязанной орбитой, а с некоторым дополнительным аргументом каждая геодезическая со связанной орбитой имеет аффинную параметризацию, параметр которой простирается от до . Таким образом, многообразие дренажной ямы геодезически полно .${\displaystyle 1-f^{2}(\rho )\to 0}$${\displaystyle r(\rho )\to 0}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

Как было показано ранее, растяжение потока эфира создает в верхней области нисходящее ускорение пробных частиц, которое вместе с as идентифицируется как притягивающая гравитационная масса нелокализованной частицы дренажной ямы. В нижней области нисходящее ускорение формально то же самое, но поскольку асимптотично к , а не к as , нельзя сделать вывод, что отталкивающая гравитационная масса частицы дренажной ямы равна .${\displaystyle -m/r^{2}(\rho )}$${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$${\displaystyle \rho \to \infty }$${\displaystyle m}$${\displaystyle r(\rho )}$${\displaystyle -\rho e^{m\pi /a}}$${\displaystyle -\rho }$${\displaystyle \rho \to -\infty }$${\displaystyle -m}$

Чтобы узнать отталкивающую массу дренажной ямы, требуется найти изометрию коллектора дренажной ямы, которая меняет местами верхнюю и нижнюю области. Такая изометрия может быть описана следующим образом: Пусть обозначает коллектор дренажной ямы, параметры которого и , и обозначает коллектор дренажной ямы, параметры которого и , где${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$${\displaystyle {\bar {m}}}$${\displaystyle {\bar {n}}}$

${\displaystyle {\bar {m}}=-me^{m\pi /a}}$

и

${\displaystyle \;\;{\bar {n}}=ne^{m\pi /a}.}$

Изометрия отождествляет точку, имеющую координаты , с точкой, имеющей координаты . Из этого следует, что и на самом деле являются одним и тем же многообразием, и что нижняя область, которая теперь замаскирована под верхнюю область, где , имеет в качестве своей гравитационной массы, таким образом, гравитационно отталкивает пробные частицы сильнее, чем истинная верхняя область притягивает их, в соотношении .${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle [T,\rho ,\vartheta ,\varphi ]}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$${\displaystyle [{\bar {T}},{\bar {\rho }},{\bar {\vartheta }},{\bar {\varphi }}]=[Te^{-m\pi /a},-\rho e^{m\pi /a},\vartheta ,\varphi ]}$${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$${\displaystyle \rho \to -\infty ,}$${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$${\displaystyle {\bar {m}}}$${\displaystyle \,|{\bar {m}}|/|m|=-{\bar {m}}/m=e^{m\pi /a}>1}$

Что дренажное отверстие является асимптотически плоским, как видно из асимптотического поведения , и Что оно является асимптотически плоским, как видно из соответствующего поведения после изометрии между и , описанной выше.${\displaystyle \rho \to \infty }$${\displaystyle r(\rho )\sim \rho }$${\displaystyle f^{2}(\rho )\sim 2m/\rho \sim 0.}$${\displaystyle \rho \to -\infty }$${\displaystyle {\bar {\rho }}\to \infty }$${\displaystyle M_{m,n}}$${\displaystyle M_{{\bar {m}},{\bar {n}}}}$

В отличие от параметра , интерпретируемого как притягивающая гравитационная масса дренажной ямы, параметр не имеет очевидной физической интерпретации. Он по сути фиксирует как радиус горловины дренажной ямы, который увеличивается от когда до как , так и энергию скалярного поля , которая уменьшается от когда до как .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r(2m)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle ne}$${\displaystyle m\to n,}$${\displaystyle \phi ,}$${\displaystyle n\pi /2}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle n/2}$${\displaystyle m\to n}$

По причинам, указанным в разделе 6.1 статьи 2015 года, ^[5] Эллис предполагает, что определяет каким-то образом инерционную массу частицы, моделируемой дренажной дырой. Далее он пишет, что «' Хиггсовским ' способом выражения этой идеи является утверждение, что дренажная дыра 'приобретает' (инерционную) массу из скалярного поля ».${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi }$

Отвергнув необоснованное предположение Эйнштейна 1916 года о том, что инертная масса является источником гравитации, Эллис приходит к новым, улучшенным уравнениям поля, решением которых является космологическая модель, которая хорошо соответствует наблюдениям сверхновых, которые в 1998 году выявили ускорение расширения Вселенной. ^[5] В этих уравнениях есть два скалярных поля, минимально связанных с геометрией пространства-времени с противоположными полярностями. « Космологическая постоянная » заменяется чистой отталкивающей плотностью гравитирующей материи из-за наличия первичных дренажных «туннелей» и непрерывного создания новых туннелей, каждый из которых имеет свое превышение отталкивания над притяжением. Эти дренажные туннели, связанные с частицами видимой материи, обеспечивают их гравитацию; те, которые не связаны с видимой материей, являются невидимой « темной материей ». « Темная энергия » является чистой отталкивающей плотностью всех дренажных туннелей. В космологической модели вместо «большого взрыва» присутствует « большой отскок », инфляционное ускорение после отскока и плавный переход к эпохе замедленного движения по инерции, за которым в конечном итоге следует возврат к экспоненциальному расширению, подобному расширению де Ситтера .${\displaystyle \Lambda }$

• Червоточина Эллиса послужила отправной точкой для построения проходимой червоточины, показанной в фильме 2014 года «Интерстеллар» (хотя модель, которая была использована в конечном итоге, существенно отличалась). ^[6]
• Рассеивание через червоточину Эллиса ^[7]
• Пространственное линзирование ( не гравитационное линзирование , поскольку гравитации нет) в червоточине Эллиса
  • Микролинзирование червоточиной Эллиса ^[8]
  • Волновой эффект при линзировании червоточиной Эллиса ^[9]
  • Смещения центра изображения из-за микролинзирования червоточиной Эллиса ^[10]
  • Точное уравнение линзы для червоточины Эллиса ^[11]
  • Линзирование червоточинами ^{[12] [13]}