Неравенства Ньютона

В математике неравенства Ньютона названы в честь Исаака Ньютона . Предположим, что a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n — неотрицательные действительные числа , и пусть обозначает k -й элементарный симметрический многочлен от a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n . Тогда элементарные симметрические средние , заданные как${\displaystyle e_{k}}$

${\displaystyle S_{k}={\frac {e_{k}}{\binom {n}{k}}},}$

удовлетворяют неравенству

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}.}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда все числа a _i равны.

Видно, что S ₁ — это среднее арифметическое , а S _n — это n -ая степень среднего геометрического .

• Неравенство Маклорена

• Харди, GH; Литтлвуд, JE; Полиа, G. (1952). Неравенства . Cambridge University Press. ISBN 978-0521358804.

• Ньютон, Исаак (1707). Универсальная арифметика: свободная арифметика и разрешение арифметики .
• Д.С. Бернштейн Матричная математика: теория, факты и формулы (2009 Принстон) стр. 55
• Maclaurin, C. (1729). «Второе письмо Мартину Фолксу, эсквайру; относительно корней уравнений с демонстрацией других правил алгебры». Philosophical Transactions . 36 ( 407– 416): 59– 96. doi : 10.1098/rstl.1729.0011 .
• Уайтли, Дж. Н. (1969). «О неравенстве Ньютона для действительных многочленов». The American Mathematical Monthly . 76 (8). The American Mathematical Monthly, т. 76, № 8: 905–909 . doi :10.2307/2317943. JSTOR  2317943.
• Никулеску, Константин (2000). «Новый взгляд на неравенства Ньютона». Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 1 (2). Статья 17.