Эгалитарная эквивалентность

Эгалитарная эквивалентность (ЭЭ) является критерием справедливого дележа . При эгалитарно-эквивалентном дележе существует некий «референтный набор», такой, что каждый агент чувствует, что его/ее доля эквивалентна .${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

Принцип справедливости EE обычно сочетается с эффективностью по Парето . PEEEA — это распределение, которое является как эффективным по Парето , так и эквивалентным эгалитаризму.

Набор ресурсов делится между несколькими агентами таким образом, что каждый агент получает пакет . Каждый агент имеет субъективное отношение предпочтения , которое является полным порядком по пакету. Эти отношения предпочтения вызывают отношение эквивалентности обычным способом: если и только если .${\displaystyle я}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle я}$ ${\displaystyle \succeq _{i}}$${\displaystyle X\sim _{i}Y}$${\displaystyle X\успех _{i}Y\успех _{i}X}$

Распределение называется эгалитарно-эквивалентным, если существует такое распределение, что для всех :${\displaystyle Z}$${\displaystyle я}$

${\displaystyle X_{i}\sim _{i}Z}$

Распределение называется PEEEA , если оно одновременно является эффективным по Парето и эгалитарно эквивалентным.

Критерий EE был введен Элишой Пазнером и Дэвидом Шмейдлером в 1978 году. ^{[1] [2]}

Ранее основным критерием справедливости в экономике была свобода от зависти (EF). EF имеет то достоинство, что это порядковый критерий — его можно определить только на основе индивидуальных отношений предпочтения; ему не нужно сравнивать полезности разных агентов или предполагать, что функции полезности агентов нормализованы. Однако EF может быть несовместим с эффективностью по Парето (PE). В частности, в стандартной экономике с производством может не быть распределения, которое было бы как PE, так и EF. ^[3]

EE, как и EF, является порядковым критерием --- его можно определить только на основе индивидуальных отношений предпочтений. Однако он всегда совместим с PE --- PEEEA (распределение PE и EE) всегда существует, даже в производственных экономиках. Пацнер и Шмейдлер неформально описывают PEEEA следующим образом:

«Рассмотрим случай, когда есть два потребителя и два товара (но обратите внимание, что каждый шаг в рассуждении переносится на любое количество агентов и товаров...). Предположим, что каждому потребителю дана ровно половина всех запасов. Это эгалитарное распределение в общем случае не будет PE. Рассмотрим луч в товарном пространстве, который идет от начала координат через вектор совокупных запасов. Эгалитарное распределение представлено тем, что каждому человеку дается одинаковый набор вдоль этого луча.

Если эгалитарное распределение не является PE, то (в силу монотонности и непрерывности предпочтений) перемещение каждого человека немного вверх по лучу дает распределения полезностей, которые все еще осуществимы, поскольку начальное распределение полезности находится внутри множества возможных полезностей. В частности, если мы одновременно перемещаем каждого человека вверх по лучу товаров точно таким же образом, мы в конечном итоге достигнем распределения полезности, которое лежит на границе возможных полезностей. Это означает, что существует распределение, эффективное по Парето, которое эквивалентно с точки зрения каждого потребителя гипотетическому (неосуществимому) распределению по лучу, которое дало бы каждому потребителю тот же набор (который, будучи строго больше, чем эгалитарное распределение совокупных запасов, сам по себе не осуществим). Таким образом, это распределение PE эквивалентно эгалитарному распределению в гипотетической (большей, чем исходная) экономике...

Результирующий набор распределений — это то, что мы называем набором Парето-эффективных и эгалитарно-эквивалентных распределений (PEEEA). Это ограничение набора Парето экономики теми распределениями, которые имеют указанное свойство справедливости, что их базовое распределение уровней полезности могло бы быть сгенерировано некоторой эгалитаристской экономикой.".

В качестве частного случая предположим, что имеется конечное число однородных делимых товаров. Пусть будет некоторым набором. Для каждого пусть будет набором, в котором количество каждого товара умножено на его количество в .${\displaystyle W}$${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle rW}$${\displaystyle r}$${\displaystyle W}$

Предположим, что отношение предпочтений каждого агента представлено функцией полезности , которая калибруется таким образом, что: . Тогда частным случаем распределения EE является распределение, в котором для всех :${\displaystyle я}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}(rW)=r}$${\displaystyle я}$

${\displaystyle V_{i}(X_{i})=r}$

Другими словами, все агенты имеют одинаковую калиброванную полезность. В этом случае распределение EE, эффективное по Парето (PEEEA), совпадает с распределением максимина — распределением, которое максимизирует минимальную полезность.

Обратите внимание, что принцип максимина зависит от числовой полезности. Поэтому его нельзя использовать напрямую с порядковыми отношениями предпочтения. Принцип EE является порядковым, и он предлагает особый способ калибровки полезностей, чтобы их можно было использовать с принципом максимина.

В особом случае, когда речь идет о совокупности всех ресурсов (совокупном богатстве), эгалитарно-эквивалентный раздел также называется справедливым разделом .${\displaystyle W}$

Эрве Мулен описывает этот особый случай правила EE следующим образом: ^{[4] : 242}

«Решение EE выравнивает между агентами полезности, измеренные по «numeraire» товарного набора, подлежащего разделу. Другими словами, это решение дает каждому участнику распределение, которое он или она рассматривает как эквивалентное (с его или ее собственными предпочтениями) той же доле пирога, где «пирог» означает ресурсы, подлежащие разделу, а доля является гомотетическим сокращением пирога — это та же самая доля от общего доступного количества каждого товара».

Следующий пример основан на ^{[4] : ​​240–243}

• Есть три города: AB и C.
• Есть дорога из А в В и дорога из В в С.
• Каждая дорога может пропускать в общей сложности 100 единиц транспорта.
• Имеется 100 агентов: 40 необходимо передать трафик из пункта А в пункт В, 30 — из пункта В в пункт С и 30 — из пункта А в пункт С.
• Полезность каждого агента равна объему трафика, который ему разрешено пропускать. Таким образом, если агент получает x единиц AB и y единиц BC, его полезность равна x (если он находится в группе AB), y (если он находится в группе BC) или min(x,y) (если он находится в группе AC).

Вопрос в том, как разделить 100 единиц пропускной способности на каждой дороге между 100 агентами? Вот несколько возможных решений.

• Предположим, мы даем каждому агенту пакет , т. е. одну единицу каждой дороги (так что его полезность равна 1). Это разделение является эгалитарным , но это, очевидно, не PE, поскольку агенты AB и агенты BC могут улучшить свое благосостояние, торгуя своими долями в дорогах, которые им не нужны.${\displaystyle (x=1,y=1)}$
• Предположим, мы хотим дать каждому агенту полезность r для некоторого . Затем мы должны выделить единицы AB и единицы BC. Мы можем выделить не более 100 единиц каждой дороги; поэтому . Раздел, при котором агенты AB получают 30/21 единиц AB, агенты BC получают 30/21 единиц BC, а агенты AC получают 30/21 единиц обеих дорог, является эгалитарным эквивалентом , поскольку каждый агент безразличен между своей долей и постоянным набором . Это также справедливый раздел , поскольку нормализованная полезность каждого агента составляет 30/21 Однако это разделение все еще не является PE: оно выделяет 100 единиц AB, но только 600/7 единиц BC.${\displaystyle r>1}$${\displaystyle 40р+30р}$${\displaystyle 30р+30р}$${\displaystyle r\leq 100/70=30/21\приблизительно 1,43}$${\displaystyle (x=30/21,y=30/21)}$
• Мы можем сделать вышеуказанное разделение PE, отдав оставшиеся единицы BC агентам BC; это повышает их полезность до , не нанося вреда другим агентам. В результирующем распределении каждый агент безразличен между своей долей и постоянным набором . Следовательно, это разделение также является эгалитарно-эквивалентным. Теперь все мощности распределены, и разделение равно PE; следовательно, это PEEEA. Обратите внимание, что результирующее распределение является лексимин-оптимальным — оно максимизирует полезность самых бедных агентов, и при этом оно максимизирует полезность других агентов.${\displaystyle 40/21\приблизительно 1,90}$${\displaystyle (x=30/21,y=40/21)}$

Рассмотрим теперь следующий вариант приведенного выше примера. Полезности агентов AB и BC такие же, как и выше, но полезность агентов AC при получении x единиц AB и y единиц BC теперь составляет (x+y)/2 . Обратите внимание, что она нормализована таким образом, что их полезность от получения единицы каждого ресурса равна 1.

• Предположим, мы хотим дать каждому агенту полезность r для некоторого . Тогда мы должны распределить единицы AB и единицы BC, где . Поскольку имеется 100 единиц каждого товара, мы имеем . Раздел, при котором агенты AB получают 60/39 единиц AB, агенты BC получают 60/39 единиц BC, а агенты AC получают 50/39 AB плюс 70/39 BC, является EE, поскольку каждый агент безразличен между своей долей и постоянным набором . Это также справедливо, поскольку полезность всех агентов составляет 60/39. Это также PE, следовательно, это PEEEA. К сожалению, это не EF, поскольку агенты BC завидуют агентам AC. Более того, набор агента AC доминирует над набором агента BC: они получают больше каждого ресурса, что кажется совершенно несправедливым.${\displaystyle r>1}$${\displaystyle 40r+30x}$${\displaystyle 30r+30y}$${\displaystyle x+y=2r}$${\displaystyle r\leq 200/130=60/39\приблизительно 1,54}$${\displaystyle (x=60/39,y=60/39)}$
• Вместо того чтобы брать эталонный набор с равными количествами каждого ресурса (r,r), мы можем взять эталонный набор с разными количествами (r,s). Затем мы должны распределить единицы AB и единицы BC, где . Поскольку имеется 100 единиц каждого товара, мы имеем . Объединяя это с условием отсутствия зависти, получаем . Раздел, при котором агенты AB получают 30/21 единиц AB, агенты BC получают 35/21 единиц BC, а агенты AC получают 30/21 единиц AB плюс 35/21 единиц BC, является EE, поскольку каждый агент безразличен между своей долей и постоянным набором . Это также PE, поэтому это PEEEA. Это также EF, поэтому это также PEEFA. Однако это несправедливо: относительная полезность агентов AB составляет , агентов BC - , а агентов AC - .${\displaystyle 40r+30x}$${\displaystyle 30с+30л}$${\displaystyle x+y=r+s}$${\displaystyle 70r+60s\leq 200}$${\displaystyle r=100/70=30/21\приблизительно 1,43,s=100/60=35/21\приблизительно 1,67}$${\displaystyle (x=30/21,y=35/21)}$${\displaystyle 30/21\approx 1.43}$${\displaystyle 35/21\approx 1.67}$${\displaystyle 32.5/21\approx 1.54}$

Подведем итог: в этом примере разделитель, который верит в важность эгалитарной эквивалентности, должен выбрать между равенством и отсутствием зависти.

Когда есть два агента, набор распределений PEEE содержит набор распределений PEEF. Преимущество PEEEA в том, что они существуют даже тогда, когда нет PEEFA. ^[1]

Однако при наличии трех или более агентов множество распределений PE, которые являются как EE, так и EF, может быть пустым. Это имеет место как в экономиках обмена с однородными делимыми ресурсами ^[5], так и в экономиках с неделимостью. ^[6]

В особом случае, когда эталонный набор содержит постоянную долю каждого товара, правило PEEEA имеет некоторые более желательные свойства: ^{[4] : 248–251}

• пропорциональность : каждый агент считает, что его доля по крайней мере так же хороша, как и набор, содержащий каждый ресурс.${\displaystyle 1/n}$
• Монотонность популяции : когда агент покидает сцену и ресурсы перераспределяются по тому же правилу, каждый из оставшихся агентов оказывается в слабой выгоде.

Однако ему не хватает некоторых других желательных свойств:

• отсутствие зависти : даже если все агенты считают, что их набор эквивалентен тому же эталонному набору, они все равно могут считать, что другой набор стоит больше, чем их.
• Монотонность ресурсов : когда для распределения доступно больше ресурсов и они перераспределяются в соответствии с тем же правилом, некоторые агенты могут оказаться в худшем положении.

В некоторых ситуациях правило PEEEA эквивалентно решению по переговорам Калаи-Смородинского . ^{[4] : 275}

• Правило эгалитаризма — общее правило социального выбора.
• Эгалитарное разделение пирога и справедливое разделение пирога — схожие критерии в контексте раздела неоднородного ресурса.