Эффективный домен

В выпуклом анализе , разделе математики, эффективная область расширяет область определения функции, определенную для функций, которые принимают значения на расширенной действительной числовой оси. ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.}$

В выпуклом анализе и вариационном анализе обычно ищут точку, в которой минимизируется некоторая заданная расширенная вещественная функция, где такая точка называется точкой глобального минимума . Эффективная область этой функции определяется как множество всех точек в области этой функции, в которых ее значение не равно ^[1] Она определяется таким образом, потому что только эти точки имеют хотя бы отдаленный шанс быть точкой глобального минимума. Действительно, в этих областях общепринятой практикой является установление функции равной в точке специально для того, чтобы исключить эту точку даже из рассмотрения в качестве потенциального решения (задачи минимизации). ^[1] Точки, в которых функция принимает значение (если таковые имеются), принадлежат эффективной области, потому что такие точки считаются приемлемыми решениями задачи минимизации, ^[1] при этом обоснование заключается в том, что если бы такая точка была неприемлема в качестве решения, то функция уже была бы установлена ​​в этой точке вместо этого. ${\displaystyle +\infty .}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$

Когда необходимо найти точку минимума (в ) функции , но область определения является собственным подмножеством некоторого векторного пространства , то часто бывает технически полезно расширить ее на все , установив в каждом ^[1] По определению, ни одна точка из не принадлежит эффективной области определения , что согласуется с желанием найти точку минимума исходной функции, а не вновь определенного расширения на все${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(x):=+\infty }$${\displaystyle x\in V\setminus X.}$${\displaystyle V\setminus X}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle V.}$

Если же задача представляет собой задачу максимизации (что должно быть четко указано), то эффективная область вместо этого состоит из всех точек в области определения функции, в которых она не равна${\displaystyle -\infty .}$

Предположим, что есть отображение, оцененное в расширенной числовой прямой , область определения которого, которая обозначается как ( где будет предполагаться подмножеством некоторого векторного пространства всякий раз, когда это предположение необходимо). Тогда эффективная область определения обозначается как и обычно определяется как множество ^{[1] [2] [3],} если только не является вогнутой функцией или не ищется максимум (а не минимум) , в этом случае эффективная область определения вместо этого является множеством ^[2]${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle \operatorname {domain} f,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {dom} f}$$${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)>-\infty \}.}$$

В выпуклом анализе и вариационном анализе обычно предполагается, что , если явно не указано иное.${\displaystyle \operatorname {dom} f}$${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X~:~f(x)<+\infty \}}$

Пусть обозначает каноническую проекцию , на которую определено Эффективная область равна изображению надграфика при канонической проекции То есть${\displaystyle \pi _{X}:X\times \mathbb {R} \to X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle (x,r)\mapsto x.}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$${\displaystyle \pi _{X}.}$

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\pi _{X}\left(\operatorname {epi} f\right)=\left\{x\in X~:~{\text{ there exists }}y\in \mathbb {R} {\text{ such that }}(x,y)\in \operatorname {epi} f\right\}.}$^[4]

Для задачи максимизации (например, если является вогнутым, а не выпуклым), эффективная область вместо этого равна изображению под гипографом .${\displaystyle f}$${\displaystyle \pi _{X}}$${\displaystyle f}$

Если функция никогда не принимает значение , например, если функция является вещественной , то ее область определения и эффективная область определения равны. ${\displaystyle +\infty ,}$

Функция является собственно выпуклой функцией тогда и только тогда, когда она выпукла, эффективная область определения непуста и для каждого ^[4]${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)>-\infty }$${\displaystyle x\in X.}$

• Правильная выпуклая функция
• Эпиграф (математика)  – область над графиком.
• Гипограф (математика)  – область под графиком.

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e