отношение Маккамбера

Соотношение Маккамбера (или теория Маккамбера) — это соотношение между эффективными сечениями поглощения и испускания света в физике твердотельных лазеров . ^{[1] [2]} Оно названо в честь Дина Маккамбера, который предложил это соотношение в 1964 году.

Пусть будет эффективное сечение поглощения, будут эффективные сечения испускания на частоте , и пусть будет эффективная температура среды. Соотношение Маккамбера имеет вид${\displaystyle \сигма _{\rm {a}}(\омега )}$${\displaystyle \сигма _{\рм {е}}(\омега )}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle ~Т~}$

(1)${\displaystyle {\frac {\sigma _{\rm {e}}(\omega )}{\sigma _{\rm {a}}(\omega )}}\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)=\left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)}$

где - термическое стационарное отношение популяций; частота называется частотой "нулевой линии"; ^{[3] [4]} - постоянная Планка , а - постоянная Больцмана . Обратите внимание, что правая часть уравнения (1) не зависит от .${\displaystyle \left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}}$${\displaystyle \omega _ {\rm {z}}}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$${\displaystyle ~\омега ~}$

Характерно, что свойства лазерной генерации среды определяются температурой и заселенностью возбужденного лазерного уровня и не чувствительны к способу возбуждения, используемому для его достижения. В этом случае сечение поглощения и сечение испускания на частоте могут быть связаны с усилением лазеров таким образом, что усиление на этой частоте может быть определено следующим образом:${\displaystyle \сигма _{\rm {a}}(\омега )}$${\displaystyle \сигма _{\рм {е}}(\омега )}$${\displaystyle ~\омега ~}$

(2)${\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~G(\omega )=N_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )-N_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )}$

DEMcCumber постулировал эти свойства и обнаружил, что сечения испускания и поглощения не являются независимыми; ^{[1] [2]} они связаны с уравнением (1).

В случае идеализированного двухуровневого атома детальный баланс для излучения и поглощения , который сохраняет формулу Планка для излучения черного тела, приводит к равенству сечения поглощения и излучения. В твердотельных лазерах расщепление каждого из лазерных уровней приводит к уширению, которое значительно превышает естественную ширину спектральной линии. В случае идеального двухуровневого атома произведение ширины линии на время жизни имеет порядок единицы, что подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга . В твердотельных лазерных материалах ширина линии на несколько порядков больше, поэтому спектры излучения и поглощения определяются распределением возбуждения по подуровням, а не формой спектральной линии каждого отдельного перехода между подуровнями. Это распределение определяется эффективной температурой в пределах каждого из лазерных уровней. Гипотеза Маккамбера заключается в том, что распределение возбуждения по подуровням является тепловым. Эффективная температура определяет спектры излучения и поглощения (Эффективную температуру ученые называют температурой , даже если возбужденная среда в целом довольно далека от теплового состояния).

Рассмотрим набор активных центров (рис.1.). Предположим быстрый переход между подуровнями внутри каждого уровня и медленный переход между уровнями. Согласно гипотезе Маккамбера, сечения и не зависят от населенностей и . Поэтому мы можем вывести соотношение, предполагая тепловое состояние.${\displaystyle \сигма _{\рм {а}}}$${\displaystyle \сигма _{\рм {е}}}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$

Пусть — групповая скорость света в среде, произведение — спектральная скорость вынужденного излучения , а — спектральная скорость поглощения; — спектральная скорость спонтанного излучения . (Обратите внимание, что в этом приближении нет такого понятия, как спонтанное поглощение). Баланс фотонов дает:${\displaystyle ~v(\omega)~}$${\displaystyle ~n_{2}\sigma _ {\rm {e}}(\omega)v(\omega)D(\omega)~}$${\displaystyle ~n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$${\displaystyle а(\omega )n_{2}}$

(3) ${\displaystyle ~~~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )+n_{2}a(\omega )=n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(баланс)}}}$

Что можно переписать как

(4)${\displaystyle ~~~D(\omega)={\frac {\frac {a(\omega)}{\sigma _{\rm {e}}(\omega)v(\omega)}}{{\ frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}} -1}}~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(D1)}}}$

Тепловое распределение плотности фотонов следует из излучения черного тела ^[5]

(5)${\displaystyle ~~~D(\omega )~=~{\frac {{\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}}{\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}~~~~~{\rm {(D2)}}}$

Оба соотношения (4) и (5) справедливы для всех частот . Для случая идеализированных двухуровневых активных центров , и , что приводит к соотношению между спектральной скоростью спонтанного излучения и сечением излучения . ^[5] (Мы сохраняем термин вероятность излучения для величины , которая является вероятностью излучения фотона в пределах малого спектрального интервала в течение короткого интервала времени , предполагая, что в момент времени атом возбужден.) Соотношение (D2) является фундаментальным свойством спонтанного и стимулированного излучения и, возможно, единственным способом запретить спонтанное нарушение теплового равновесия в тепловом состоянии возбуждений и фотонов.${\displaystyle ~\омега ~}$${\displaystyle ~\сигма _{\rm {a}}(\omega )=\сигма _{\rm {e}}(\omega )~}$${\displaystyle ~n_{1}/n_{2}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)}$${\displaystyle а(\омега)}$${\displaystyle ~\сигма _{\rm {e}}(\омега)~}$${\displaystyle ~a(\omega ){\rm {d}}\omega {\rm {d}}t~}$${\displaystyle ~(\omega ,\omega +{\rm {d}}\omega )~}$${\displaystyle ~(t,t+{\rm {d}}t)~}$${\displaystyle ~т~}$

Для каждого номера узла , для каждого номера подуровня , парциальная спектральная вероятность излучения может быть выражена из рассмотрения идеализированных двухуровневых атомов: ^[5]${\displaystyle ~с~}$${\displaystyle j}$${\displaystyle ~a_{s,j}(\omega)~}$

(6)${\displaystyle ~~~a_{s,j}(\omega )=\sigma _{s,j}(\omega ){\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~.~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {сравнение1}}~~{\rm {частичное}}}$

Пренебрегая кооперативными когерентными эффектами, эмиссия является аддитивной: для любой концентрации узлов и для любой частичной заселенности подуровней сохраняется та же пропорциональность между и для эффективных сечений:${\displaystyle ~q_{s}~}$${\displaystyle ~n_{s,j}~}$${\displaystyle ~а~}$${\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}~}$

(7)${\displaystyle {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}={\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm {comparison)(av)}}}$

Тогда сравнение (D1) и (D2) дает соотношение

(8)${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)~~.~~~~~~~~{\rm {(n1n2)(mc1)}}}$

Это соотношение эквивалентно соотношению МакКамбера (mc), если мы определим частоту нулевой линии как решение уравнения${\displaystyle \omega _{Z}}$

(9)${\displaystyle ~\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{\!T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {Z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)~~~~,~~~}$

нижний индекс указывает, что отношение популяций оценивается в термическом состоянии. Частота нулевой линии может быть выражена как ${\displaystyle ~T~}$

(10)${\displaystyle \omega _{\rm {Z}}={\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar }}\ln \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{T}~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{({\rm {oz)}}}}$

Тогда (n1n2) становится эквивалентом соотношения МакКамбера (mc).

Для соблюдения соотношения МакКамбера не требуется никаких специфических свойств подуровней активной среды. Оно следует из предположения о быстрой передаче энергии между возбужденными лазерными уровнями и между нижними лазерными уровнями. Соотношение МакКамбера (mc) имеет ту же область применимости, что и само понятие сечения испускания.

Соотношение МакКамбера подтверждается для различных сред. ^{[6] [7]} В частности, соотношение (1) позволяет аппроксимировать две функции частоты, сечения излучения и поглощения с помощью единой подгонки. ^[8]

В 2006 году сильное нарушение соотношения Маккамбера было обнаружено для Yb:Gd ₂ SiO ₅ и описано в 3 независимых журналах. ^{[9] [10] [11]} Типичное поведение представленных сечений показано на рис. 2 жирными кривыми. Сечение испускания практически равно нулю на длине волны 975 нм; это свойство делает Yb:Gd ₂ SiO ₅ превосходным материалом для эффективных твердотельных лазеров .

Однако, сообщаемое свойство (толстые кривые) не совместимо со вторым законом термодинамики . С таким материалом устройство вечного двигателя было бы возможно. Достаточно было бы заполнить коробку с отражающими стенками Yb:Gd2SiO5 _и позволить ему обмениваться излучением с черным телом через спектрально-селективное окно, которое прозрачно вблизи 975 нм и отражает на других длинах волн. Из-за отсутствия излучательной способности _на 975 нм среда должна нагреваться, нарушая тепловое равновесие.

На основе второго закона термодинамики экспериментальные результаты ^{[9] [10] [11]} были опровергнуты в 2007 году. С помощью теории Маккамбера была предложена поправка для эффективного сечения излучения (черная тонкая кривая). ^[3] Затем эта поправка была подтверждена экспериментально. ^[12]