Карта землетрясений

В гиперболической геометрии карта землетрясений — это метод преобразования одного гиперболического многообразия в другое, введенный Уильямом Терстоном  (1986).

Если задана простая замкнутая геодезическая на ориентированной гиперболической поверхности и действительное число t , можно разрезать многообразие вдоль геодезической, сдвинуть края на расстояние t влево и склеить их обратно. Это дает новую гиперболическую поверхность, а (возможно, прерывистая) карта между ними является примером левого землетрясения.

В более общем случае можно сделать то же самое построение с конечным числом непересекающихся простых геодезических, каждая из которых имеет действительное число, прикрепленное к ней. Результат называется простым землетрясением.

Землетрясение — это своего рода предел простых землетрясений, где имеется бесконечное число геодезических линий, и вместо того, чтобы приписывать положительное действительное число каждой геодезической линии, на них накладывается мера.

Геодезическое расслоение гиперболической поверхности — это замкнутое подмножество со расслоением геодезическими. Левое землетрясение E состоит из отображения между копиями гиперболической плоскости с геодезическими расслоениями, то есть изометрии от каждого слоя расслоения к страте. Более того, если A и B — два слоя, то E⁻¹
_АЭ
_Бпредставляет собой гиперболическое преобразование, ось которого разделяет A и B и которое переносится влево, где E _A представляет собой изометрию всей плоскости, которая ограничивается E на A , и аналогично для B.

Теорема Терстона о землетрясении утверждает, что для любых двух точек x , y пространства Тейхмюллера существует единственное левое землетрясение из x в y . Она была доказана Уильямом Терстоном на курсе в Принстоне в 1976–1977 годах, но в то время он ее не опубликовал, а первое опубликованное утверждение и доказательство были даны Керкхоффом (1983), который использовал ее для решения проблемы реализации Нильсена .

• Керкхофф, Стивен П. (1983), «Проблема реализации Нильсена», Annals of Mathematics , вторая серия, 117 (2): 235–265 , CiteSeerX  10.1.1.353.3593 , doi :10.2307/2007076, ISSN  0003-486X, JSTOR  2007076, MR  0690845
• Travaux de Thurston sur les Surfaces, Asterisque, vol. 66, Париж: Société Mathématique de France , 1979, ISBN. 978-99920-1-230-7, МР  0568308
• Терстон, Уильям П. (1986), «Землетрясения в двумерной гиперболической геометрии», в DBA Epstein (ред.), Низкоразмерная топология и клейновские группы , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33905-6