гипотеза Дайсона

В математике гипотеза Дайсона ( Freeman Dyson  1962) — гипотеза о постоянном члене некоторых многочленов Лорана , доказанная независимо в 1962 году Уилсоном и Гансоном. Эндрюс обобщил её до гипотезы q-Дайсона , доказанной Зейльбергером и Брессо и иногда называемой теоремой Зейльбергера–Брессо . Макдональд обобщил её далее на более общие корневые системы с помощью гипотезы Макдональда о постоянном члене , доказанной Чередником .

Гипотеза Дайсона утверждает, что многочлен Лорана

${\displaystyle \prod _{1\leq i\neq j\leq n}(1-t_{i}/t_{j})^{a_{i}}}$

имеет постоянный член

${\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})!}{a_{1}!a_{2}!\cdots a_{n}!}}.}$

Гипотеза была впервые независимо доказана Уилсоном (1962) и Гансоном (1962). Гуд (1970) позже нашел короткое доказательство, заметив, что многочлены Лорана, а следовательно, и их постоянные члены, удовлетворяют рекурсивным соотношениям

${\displaystyle F(a_{1},\dots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}F(a_{1},\dots ,a_{i}-1,\dots ,a_{n}).}$

Случай n  = 3 гипотезы Дайсона следует из тождества Диксона .

Силлс и Зейлбергер (2006) и (Силлс 2006) использовали компьютер для нахождения выражений для непостоянных коэффициентов полинома Лорана Дайсона.

Когда все значения a _i равны β/2, постоянный член в гипотезе Дайсона равен значению интеграла Дайсона

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\prod _{1\leq j<k\leq n}|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}|^{\beta }\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}.}$

Интеграл Дайсона является частным случаем интеграла Сельберга после замены переменной и имеет значение

${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+\beta n/2)}{\Gamma (1+\beta /2)^{n}}}}$

что дает еще одно доказательство гипотезы Дайсона в этом частном случае.

Эндрюс (1975) нашел q-аналог гипотезы Дайсона, заявив, что постоянный член

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}\left({\frac {x_{i}}{x_{j}}};q\right)_{a_{i}}\left({\frac {qx_{j}}{x_{i}}};q\right)_{a_{j}}}$

является

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{a_{1}+\cdots +a_{n}}}{(q;q)_{a_{1}}\cdots (q;q)_{a_{n}}}}.}$

Здесь ( a ; q ) _n — символ q-Похгаммера . Эта гипотеза сводится к гипотезе Дайсона для q = 1 и была доказана Зейлбергером и Брессу (1985) с использованием комбинаторного подхода, вдохновленного предыдущими работами Айры Гессель и Доминика Фоата . Более короткое доказательство с использованием формальных рядов Лорана было дано в 2004 году Айрой Гессель и Гуосе Синем, а еще более короткое доказательство с использованием количественной формы, принадлежащей Карасеву и Петрову, и независимо Лясону, из Noga Alon's Combinatorial Nullstellensatz, было дано в 2012 году Дьюлой Каройи и Золтаном Лорантом Надем. Последний метод был расширен в 2013 году Шалошем Б. Эхадом и Дороном Зейлбергером для вывода явных выражений любого конкретного коэффициента, а не только постоянного члена; Подробные ссылки см. на сайте http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/qdyson.html.

Макдональд (1982) распространил гипотезу на произвольные конечные или аффинные корневые системы , при этом исходная гипотеза Дайсона соответствовала случаю корневой системы A _{n −1} , а гипотеза Эндрюса — аффинной корневой системы A _{n −1} . Макдональд переформулировал эти гипотезы как гипотезы о нормах полиномов Макдональда . Гипотезы Макдональда были доказаны (Cherednik 1995) с использованием дважды аффинных алгебр Гекке.

Форма гипотезы Дайсона для корневых систем типа BC, предложенная Макдональдом, тесно связана с интегралом Сельберга .

• Эндрюс, Джордж Э. (1975), «Проблемы и перспективы основных гипергеометрических функций», Теория и применение специальных функций (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1975) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр.  191–224 , MR  0399528
• Чередник, И. (1995), «Двойные аффинные алгебры Гекке и гипотезы Макдональда», Анналы математики , 141 (1): 191– 216, doi :10.2307/2118632, JSTOR  2118632
• Дайсон, Фримен Дж. (1962), «Статистическая теория энергетических уровней сложных систем. I», Журнал математической физики , 3 (1): 140– 156, Bibcode : 1962JMP.....3..140D, doi : 10.1063/1.1703773, ISSN  0022-2488, MR  0143556
• Good, IJ (1970), "Короткое доказательство гипотезы Дайсона", Журнал математической физики , 11 (6): 1884, Bibcode : 1970JMP....11.1884G, doi : 10.1063/1.1665339, ISSN  0022-2488, MR  0258644
• Гансон, Дж. (1962), «Доказательство гипотезы Дайсона в статистической теории уровней энергии», Журнал математической физики , 3 (4): 752– 753, Bibcode : 1962JMP.....3..752G, doi : 10.1063/1.1724277 , ISSN  0022-2488, MR  0148401
• Macdonald, IG (1982), «Некоторые гипотезы для корневых систем», SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988– 1007, doi :10.1137/0513070, ISSN  0036-1410, MR  0674768
• Силлс, Эндрю В. (2006), «Нарушение гипотезы Дайсона, в целом ХОРОШИМ способом», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 113 (7): 1368– 1380, arXiv : 1812.05557 , doi : 10.1016/j.jcta.2005.12.005, ISSN  1096-0899, MR  2259066, S2CID  1565705
• Силлс, Эндрю В.; Зейлбергер, Дорон (2006), «Нарушение гипотезы Дайсона (в хорошем смысле)», Experimental Mathematics , 15 (2): 187– 191, arXiv : 1812.04490 , doi : 10.1080/10586458.2006.10128959, ISSN  1058-6458, MR  2253005, S2CID  14594152
• Уилсон, Кеннет Г. (1962), «Доказательство гипотезы Дайсона», Журнал математической физики , 3 (5): 1040– 1043, Bibcode : 1962JMP.....3.1040W, doi : 10.1063/1.1724291, ISSN  0022-2488, MR  0144627
• Zeilberger, Doron ; Bressoud, David M. (1985), "Доказательство гипотезы Эндрюса о q-Дайсоне", Discrete Mathematics , 54 (2): 201– 224, doi : 10.1016/0012-365X(85)90081-0 , ISSN  0012-365X, MR  0791661