Лемма Дуба–Дынкина

Утверждение в теории вероятностей

В теории вероятностей лемма Дуба–Дынкина , названная в честь Джозефа Л. Дуба и Юджина Дынкина (также известная как лемма о факторизации ), характеризует ситуацию, когда одна случайная величина является функцией другой посредством включения -алгебр , порожденных случайными величинами. Обычная формулировка леммы формулируется в терминах того, что одна случайная величина измерима относительно -алгебры, порожденной другой. $\сигма$ $\сигма$

Лемма играет важную роль в условном ожидании в теории вероятностей, где она позволяет заменить обусловленность случайной величины обусловленностью -алгебры , которая генерируется случайной величиной. $\сигма$

Примечания и вступительные замечания

В лемме ниже является -алгеброй борелевских множеств на Если и является измеримым пространством, то ${\mathcal {B}}[0,1]$ $\сигма$ $[0,1].$ $T\двоеточие от X до Y,$ $(Y, {\mathcal {Y}})$

\sigma (T)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{T^{-1}(S)\mid S\in {\mathcal {Y}}\}

является наименьшей -алгеброй на такая, что является -измеримой. $\сигма$ $X$ $Т$ $\sigma (T)/{\mathcal {Y}}$

Утверждение леммы

Пусть - функция, и - измеримое пространство. Функция -измерима тогда и только тогда, когда для некоторого -измеримого ^[1] $T\двоеточие \Омега \rightarrow \Омега '$ $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$ $f\двоеточие \Омега \rightarrow [0,1]$ $\сигма (T)/{\mathcal {B}}[0,1]$ $f=g\circ T,$ ${\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]$ $g\colon \Omega '\to [0,1].$

Замечание. Часть «если» просто утверждает, что композиция двух измеримых функций измерима. Часть «только если» доказана ниже.

Доказательство.

Пусть будет -измеримым. $f$ $\сигма (T)/{\mathcal {B}}[0,1]$

Во-первых, отметим, что согласно приведенному выше описательному определению как множества прообразов -измеримых множеств относительно , мы знаем, что если , то существует такое , что . $\сигма (Т)$ ${\mathcal {A}}'$ $Т$ $A\in \сигма (T)$ $A'\in {\mathcal {A}}'$ $A=T^{-1}(A')$

Теперь предположим, что является индикатором некоторого множества . Если мы определим такое, что , то функция удовлетворяет требованию, и поскольку , такое множество всегда существует. По линейности утверждение распространяется на любую простую измеримую функцию $f=\mathbf {1} _{A}$ $A\in \сигма (T)$ $A'\in {\mathcal {A}}'$ $A=T^{-1}(A')$ $g=\mathbf {1} _{A'}$ $A\in \сигма (T)$ $A'\in {\mathcal {A}}'$ $ф.$

Пусть будет измеримой, но не обязательно простой. Как объясняется в статье о простых функциях , является поточечным пределом монотонно неубывающей последовательности простых функций. Предыдущий шаг гарантирует, что для некоторой измеримой Супремум существует на всем и является измеримым. (Статья об измеримых функциях объясняет, почему супремум последовательности измеримых функций является измеримым). Для каждой последовательность не убывает, поэтому что показывает, что $f$ $f$ $f_{n}\geq 0$ $f_{n}=g_{n}\circ T,$ $g_{n}.$ $\textstyle g(x)=\sup _{n\geq 1}g_{n}(x)$ $\Омега '$ $x\in \operatorname {Im} T,$ $g_{n}(x)$ $\textstyle g|_{\operatorname {Im} T}(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n}|_{\operatorname {Im} T}(x)$ $f=g\circ T.$

Замечание. Лемма остается справедливой, если пространство заменить на , где является биекцией и биекция измерима в обоих направлениях. $([0,1],{\mathcal {B}}[0,1])$ $(S,{\mathcal {B}}(S)),$ $S\subseteq [-\infty ,\infty ],$ $S$ $[0,1],$

По определению измеримость означает, что для любого борелевского множества Поэтому и лемму можно переформулировать следующим образом. $f$ $f^{-1}(S)\in \сигма (T)$ $S\subseteq [0,1].$ $\сигма (f)\subseteq \сигма (T),$

Лемма. Пусть и — измеримое пространство. Тогда для некоторого —измеримого тогда и только тогда, когда . $T\двоеточие \Омега \rightarrow \Омега ',$ $f\двоеточие \Омега \rightarrow [0,1],$ $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$ $f=g\circ T,$ ${\mathcal {A}}'/{\mathcal {B}}[0,1]$ $g\colon \Omega '\to [0,1],$ $\сигма (f)\subseteq \сигма (T)$

Смотрите также

Условное ожидание

Ссылки

^ Калленберг, Олав (1997). Основы современной теории вероятностей . Springer. стр. 7. ISBN 0-387-94957-7.

А. Бобровски: Функциональный анализ вероятностей и стохастических процессов: введение , Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
MM Rao, RJ Swift: Теория вероятностей и ее приложения , Математика и ее приложения, т. 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7 doi :10.1007/0-387-27731-5

[1] Калленберг, Олав (1997). Основы современной теории вероятностей . Springer. стр. 7. ISBN 0-387-94957-7.