площадь Дёрфи

В теории чисел квадрат Дёрфи является атрибутом целочисленного разбиения . Разбиение n имеет квадрат Дёрфи размера s , если s — наибольшее число, такое, что разбиение содержит не менее s частей со значениями ≥ s . ^[1] Эквивалентное, но более наглядное определение состоит в том, что квадрат Дёрфи — это наибольший квадрат, содержащийся в диаграмме Феррерса разбиения . ^[2] Длина стороны квадрата Дёрфи известна как ранг разбиения. ^[3]

Символ Дёрфи состоит из двух частей, представленных точками справа или снизу квадрата Дёрфи.

Раздел 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1:

имеет квадрат Дёрфи со стороной 3 (красный), поскольку он содержит 3 части, которые ≥ 3, но не содержит 4 частей, которые ≥ 4. Его символ Дёрфи состоит из 2 частей 1 и 2+1+1.

Квадраты Дёрфи названы в честь Уильяма Питта Дёрфи , ученика английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра . В письме Артуру Кейли в 1883 году Сильвестр написал: ^[4]

« Квадрат Дёрфи — великое изобретение, о важности которого его автор не имеет ни малейшего представления » .

Метод квадратов Дёрфи приводит к следующей производящей функции для целочисленных разбиений:

${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k^{2}}}{\prod _{i=1}^{k}(1-x^{i})^{2}}}}$

где — размер квадрата Дёрфи, а представляет собой две секции справа и снизу квадрата Дёрфи размером k (представляющие собой два разбиения на части размером не более k , что эквивалентно разбиениям с не более чем k частями). ^[5]${\displaystyle x^{k^{2}}}$${\displaystyle (1-x^{i})^{2}}$

Из визуального определения ясно, что квадрат Дёрфи разбиения и его сопряженное разбиение имеют одинаковый размер. Разбиения целого числа n содержат квадраты Дёрфи со сторонами до и включая .${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$

• индекс Хирша
• Тройное произведение Якоби