Теорема Дадли
В теории вероятностей теорема Дадли представляет собой результат, связывающий ожидаемую верхнюю границу и свойства регулярности гауссовского процесса с его энтропией и ковариационной структурой.
История
Результат был впервые сформулирован и доказан В. Н. Судаковым, как указано в статье Ричарда М. Дадли . [1] Ранее Дадли приписывал Фолькеру Штрассену установление связи между энтропией и регулярностью.
Заявление
Пусть ( X t ) t ∈ T — гауссовский процесс, а d X — псевдометрика на T, определяемая формулой
![{\displaystyle d_{X}(s,t)={\sqrt {\mathbf {E} {\big [}|X_{s}-X_{t}|^{2}]}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770206df9ebe1f1c09dbea1684a2951cbae3309d)
Для ε > 0 обозначим через N ( T , d X ; ε ) число энтропии , т. е. минимальное число (открытых) d X -шаров радиуса ε, необходимое для покрытия T . Тогда
![{\displaystyle \mathbf {E} \left[\sup _{t\in T}X_{t}\right]\leq 24\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N(T,d_{X};\varepsilon )}}\,\mathrm {d} \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb0f5968f253567ccb5f75d5932eb0e68a73cd8)
Более того, если интеграл энтропии в правой части сходится, то X имеет версию, в которой почти все пути выборки ограничены и (равномерно) непрерывны на ( T , dX ) .
Ссылки
- ^ Дадли, Ричард (2016). Удре, Кристиан; Мейсон, Дэвид; Рейно-Буре, Патрисия ; Ян Росинский, Ян (ред.). Работа В. Н. Судакова об ожидаемых супремумах гауссовских процессов. Высокоразмерная вероятность. Т. VII. С. 37–43 .
- Дадли, Ричард М. (1967). «Размеры компактных подмножеств гильбертова пространства и непрерывность гауссовских процессов». Журнал функционального анализа . 1 (3): 290– 330. doi :10.1016/0022-1236(67)90017-1. MR 0220340.
- Леду, Мишель; Талагран, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах . Берлин: Springer-Verlag. С. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. МР 1102015.(См. главу 11)
