Доксастическая логика

Доксастическая логика — это тип логики, связанный с рассуждениями об убеждениях .

Термин доксастический происходит от древнегреческого δόξα ( doxa , «мнение, вера»), из которого также заимствован английский термин doxa («популярное мнение или вера»). Обычно доксастическая логика использует обозначение для обозначения «разумеющий верит, что это правда», а множество обозначает множество убеждений . В доксастической логике убеждение рассматривается как модальный оператор .${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}x}$${\displaystyle с}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {B} _{c}:\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$ ${\displaystyle с}$

Существует полный параллелизм между человеком, который верит в предложения , и формальной системой , которая выводит предложения. Используя доксастическую логику, можно выразить эпистемический аналог теоремы Геделя о неполноте металогики , а также теоремы Лёба и других металогических результатов в терминах веры. ^[1]

Чтобы продемонстрировать свойства наборов убеждений, Рэймонд Смаллиан определяет следующие типы рассуждающих:

• Точный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Точный рассуждающий никогда не верит ни одному ложному утверждению. (модальная аксиома T )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to p}$

• Неточный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Неточный рассуждающий верит по крайней мере в одно ложное утверждение.

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Последовательный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Последовательный рассуждающий никогда одновременно не верит в утверждение и его отрицание. (модальная аксиома D )

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}_{c}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to \neg {\mathcal {B}}_{c}\neg p}$

• Нормальный рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Нормальный рассуждающий — это тот, кто, веря, также верит , что он верит p (модальная аксиома 4 ).${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {BB}}p}$

Вариацией этого варианта может быть тот, кто, не веря, также верит , что он не верит в p (модальная аксиома 5 ).${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:\neg {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}_{c}p)}$

• Странный мыслитель : ^{[1] [4]} Странный мыслитель верит в утверждение p, одновременно веря в то, что он не верит. Хотя странный мыслитель может показаться странным психологическим феноменом (см. парадокс Мура ), странный мыслитель обязательно неточен, но не обязательно непоследователен.${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• Регулярно рассуждающий : ^{[1] [2] [3] [4]} Регулярно рассуждающий — это тот, кто, веря , также верит .${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рефлексивный мыслитель : ^{[1] [4]} Рефлексивный мыслитель — это тот, для кого каждое предложение содержит некоторое предложение , в которое он верит .${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$

${\displaystyle \forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

Если рефлексивный рассуждающий типа 4 [см. ниже] верит , он поверит p. Это параллелизм теоремы Лёба для рассуждающих.${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$

• Самоуверенный рассудок : ^{[1] [4]} Самоуверенный рассудок считает, что его убеждения никогда не бывают неточными.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

Переписанное в форме de re , это логически эквивалентно следующему:

${\displaystyle \forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

Это подразумевает, что:

${\displaystyle \forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p)}$

Это показывает, что самодовольный рассуждающий человек всегда рассуждающий человек стабильно (см. ниже).

• Нестабильный рассуждающий : ^{[1] [4]} Нестабильный рассуждающий — это тот, кто верит, что верит в какое-то предложение, но на самом деле не верит в него. Это столь же странное психологическое явление, как и особенность; однако нестабильный рассуждающий не обязательно непоследователен.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\wedge \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Стабильный рассуждающий : ^{[1] [4]} Стабильный рассуждающий не является нестабильным. То есть, для каждого , если они верят , то они верят Обратите внимание, что стабильность является обратной стороной нормальности. Мы скажем, что рассуждающий верит, что он стабилен, если для каждого предложения он верит (веря: «Если я когда-нибудь поверю, что я верю, то я действительно поверю »). Это соответствует наличию плотного отношения доступности в семантике Крипке , и любой точный рассуждающий всегда стабилен.${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Скромный рассуждающий : ^{[1] [4]} Скромный рассуждающий — это тот, для кого для каждого верящего предложения , только если он верит . Скромный рассуждающий никогда не верит, если он не верит . Любой рефлексивный рассуждающий типа 4 является скромным. ( Теорема Лёба )${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Человек, мыслящий нестандартно : ^[4] Человек, мыслящий нестандартно, принадлежит к типу G и считает, что они непоследовательны, но ошибается в этом убеждении.
• Робкий рассуждающий : ^[4] Робкий рассуждающий не верит [«боится» верить ], если он верит, что вера в ведёт к противоречивому убеждению.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Рассуждающий тип 1 : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Рассуждающий тип 1 обладает полным знанием пропозициональной логики , т.е. он рано или поздно верит каждой тавтологии /теореме (любому предложению, доказуемому с помощью таблиц истинности ):

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}_{c}p}$

Символ означает тавтологию/теорему, доказуемую в исчислении высказываний. Кроме того, их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут относительно modus ponens . Если они когда-либо поверят , то они (рано или поздно) поверят :${\displaystyle \vdash _{PC}p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q}$

Это правило можно также рассматривать как утверждение, что убеждение распространяется на следствие, поскольку это логически эквивалентно следующему:

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

Обратите внимание, что в действительности даже предположение о наличии рассуждений типа 1 может оказаться слишком сильным для некоторых случаев (см. Парадокс лотереи ).

• Тип рассуждения 1* : ^{[1] [2] [3] [4]} Тип рассуждения 1* верит всем тавтологиям; их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут относительно modus ponens, и для любых предложений и если они верят, то они будут верить, что если они верят , то они будут верить . Тип рассуждения 1* имеет «чуть больше» самосознания, чем тип рассуждения 1.${\displaystyle p}$${\displaystyle q,}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рассуждающий тип 2 : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждающий тип 2, если он относится к типу 1, и если для каждого и он (правильно) полагает: «Если я когда-либо поверю и в и , то я поверю ». Будучи рассуждающим типом 1, он также полагает в логически эквивалентное утверждение: Рассуждающий тип 2 знает, что его убеждения замкнуты относительно modus ponens.${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\to q,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• Рассуждающий тип 3 : ^{[1] [2] [3] [4]} Рассуждающий относится к типу 3, если он является обычным рассуждающим типом 2.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p}$

• Рассуждающий тип 4 : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Рассуждающий относится к типу 4, если он относится к типу 3 и считает себя нормальным.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p)]}$

• Рассудительный тип G : ^{[1] [4]} Рассудительный тип 4, который считает себя скромным.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p)]}$

Для систем мы определяем рефлексивность как то, что для любого (на языке системы) существует такое , что доказуемо в системе. Теорема Лёба (в общей форме) заключается в том, что для любой рефлексивной системы типа 4, если доказуемо в системе, то и ^{[1] [4]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$${\displaystyle p.}$

Если последовательный рефлексивный рассуждающий типа 4 верит, что они стабильны, то они станут нестабильными. Иначе говоря, если стабильный рефлексивный рассуждающий типа 4 верит, что они стабильны, то они станут непоследовательными. Почему это так? Предположим, что стабильный рефлексивный рассуждающий типа 4 верит, что они стабильны. Мы покажем, что они (рано или поздно) поверят в каждое предложение (и, следовательно, будут непоследовательными). Возьмем любое предложение Рассуждающий верит , следовательно, по теореме Лёба они поверят (потому что они верят, где находится предложение , и поэтому они поверят, что является предложением ). Будучи стабильными, они тогда поверят ^{[1] [4]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p,}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$${\displaystyle p.}$

• Эпистемическая модальная логика
• Пересмотр убеждений
• Общеизвестно (логика)
• Джордж Булос
• Яакко Хинтикка
• Модальная логика
• Рэймонд Смаллиан

• Линдстрём, Ст.; Рабинович, Вл. (1999). "DDL Unlimited. Динамическая доксастическая логика для интроспективных агентов". Erkenntnis . 51 ( 2– 3): 353– 385. doi :10.1023/A:1005577906029. S2CID  116984078.
• Лински, Л. (1968). «Об интерпретации доксастической логики». Журнал философии . 65 (17): 500– 502. doi :10.2307/2024352. JSTOR  2024352.
• Сегерберг, Кр. (1999). «Логика по умолчанию как динамическая доксастическая логика». Erkenntnis . 50 ( 2–3 ): 333–352 . doi :10.1023/A:1005546526502. S2CID  118747031.
• Вансинг, Х. (2000). «Сведение доксастической логики к логике действия». Erkenntnis . 53 ( 1– 2): 267– 283. doi :10.1023/A:1005666218871. S2CID  58939606.