Геометрия Доулинга

В комбинаторной математике геометрия Даулинга , названная в честь Томаса А. Даулинга, представляет собой матроид, связанный с группой . Для каждой группы существует геометрия Даулинга каждого ранга. Если ранг равен по крайней мере 3, геометрия Даулинга однозначно определяет группу. Геометрии Даулинга играют роль в теории матроидов как универсальные объекты (Кан и Кунг, 1982); в этом отношении они аналогичны проективным геометриям , но основаны на группах вместо полей .

Решетка Даулинга — это геометрическая решетка плоских поверхностей , связанная с геометрией Даулинга. Решетка и геометрия математически эквивалентны: знание одной из них определяет другую. Решетки Даулинга и, как следствие, геометрии Даулинга были введены Даулингом (1973a,b).

Решётка Даулинга или геометрия ранга n группы G часто обозначается Q _n ( G ).

В своей первой статье (1973a) Доулинг определил решетку Доулинга ранга n мультипликативной группы конечного поля F . Это множество всех тех подпространств векторного пространства F ⁿ , которые порождаются подмножествами множества E , состоящего из векторов с не более чем двумя ненулевыми координатами. Соответствующая геометрия Доулинга — это множество одномерных векторных подпространств, порождаемых элементами E .

В своей второй статье (1973b) Доулинг дал внутреннее определение решетки Доулинга ранга n любой конечной группы G. Пусть S будет множеством {1,..., n }. G - меченое множество ( T , α ) — это множество T вместе с функцией α : T → G. Два G -меченых множества, ( T , α ) и ( T , β ), эквивалентны , если существует элемент группы g , такой что β = gα . Класс эквивалентности обозначается [ T , α ]. Частичное G -разбиение S — это множество γ = {[ B1 , α1 _] , ..., [ Bk , αk _] } классов эквивалентности G -меченых множеств _, такое, что _B1 , _... , Bk _— непустые подмножества S , которые попарно не пересекаются. ( k может быть равно 0.) Частичное G -разбиение γ называется ≤ другим, γ *, если

• каждый блок второго является объединением блоков первого, и
• для каждого B _{i ,} содержащегося в B * _j , α _i эквивалентно ограничению α * _j на область B _i .

Это дает частичное упорядочение множества всех частичных G -разбиений S. Полученное частично упорядоченное множество представляет собой решетку Даулинга Q _n ( G ).

Определения справедливы, даже если F или G бесконечны, хотя Доулинг упоминал только конечные поля и группы.

Графическое определение было затем дано Дубиле, Ротой и Стэнли (1972). Мы даем немного более простое (но по сути эквивалентное) графическое определение Заславского (1991), выраженное в терминах графиков усиления .

Возьмем n вершин, и между каждой парой вершин, v и w , возьмем набор | G | параллельных ребер, помеченных каждым из элементов группы G . Метки ориентированы, в том смысле, что если метка в направлении от v к w является элементом группы g , то метка того же ребра в противоположном направлении, от w к v , является g ⁻¹ . Метка ребра, таким образом, зависит от направления ребра; такие метки называются усилениями . Также добавьте к каждой вершине петлю, усиление которой является любым значением, отличным от 1. (1 является элементом идентичности группы .) Это дает граф, который называется GK _n ^o (обратите внимание на приподнятый круг). (Немного другое определение необходимо для тривиальной группы; добавленные ребра должны быть полуребрами .)

Тогда цикл в графе имеет усиление. Цикл представляет собой последовательность ребер, e ₁ e ₂ ··· e _k . Предположим , что усиления этих ребер в фиксированном направлении вокруг цикла равны g ₁ , g ₂ , ..., g _k . Тогда усиление цикла равно произведению g ₁ g ₂ ··· g _k . Значение этого усиления не вполне хорошо определено, поскольку оно зависит от направления, выбранного для цикла, и от того, что называется «первым» ребром цикла. Что не зависит от этих выборов, так это ответ на следующий вопрос: равен ли усиление 1 или нет? Если оно равно 1 при одном наборе выборов, то оно также равно 1 при всех наборах выборов.

Для определения геометрии Даулинга мы указываем контуры (минимальные зависимые множества). Контуры матроида имеют вид

• циклы, коэффициент усиления которых равен 1,
• пары циклов с обоими коэффициентами усиления, не равными 1, и которые пересекаются только в одной вершине и больше ни в чем, и
• тета -графики, в которых ни один из трех циклов не имеет прироста, равного 1.

Таким образом, геометрия Даулинга Q _n ( G ) является фреймовым матроидом (или матроидом смещения) графа усиления GK _n ^o (поднятый круг обозначает наличие петель). Другие эквивалентные определения описаны в статье о графах усиления .

Одна из причин интереса к решеткам Даулинга заключается в том, что характеристический многочлен очень прост. Если L — решетка Даулинга ранга n конечной группы G, имеющей m элементов, то

${\displaystyle p_{L}(y)=(y-1)(ym-1)\cdots (y-[n-1]m-1),}$

исключительно простая формула для любой геометрической решетки.

Существует также геометрия Даулинга, только ранга 3, связанная с каждой квазигруппой ; см. Dowling (1973b). Это не обобщается напрямую на более высокие ранги. Существует обобщение, полученное Заславским (2012), которое включает n -арные квазигруппы.

• Питер Дубилет, Джан-Карло Рота и Ричард П. Стэнли (1972), Об основах комбинаторной теории (VI): Идея производящей функции. В: Труды Шестого Берклийского симпозиума по математической статистике и вероятности (Беркли, Калифорния, 1970/71), Том II: Теория вероятности , стр. 267–318. Издательство Калифорнийского университета, Беркли, Калифорния, 1972.
• TA Dowling (1973a), A q -аналог решетки разбиения. Глава 11 в: JN Srivastava et al., eds., A Survey of Combinatory Theory (Proceedings of an International Symposium, Ft. Collins, Colo., 1971), стр. 101–115. North-Holland, Amsterdam, 1973.
• TA Dowling (1973b), Класс геометрических решеток, основанных на конечных группах. Журнал комбинаторной теории, Серия B , Том 14 (1973), стр. 61–86.
• Кан, Джефф и Кунг, Джозеф П. С. (1982), Многообразия комбинаторных геометрий. Труды Американского математического общества , т. 271, стр. 485–499.
• Томас Заславский (1991), Смещенные графы. II. Три матроида. Журнал комбинаторной теории, Серия B , Том 51, стр. 46–72.
• Томас Заславский (2012), Ассоциативность в мультитарных квазигруппах: путь смещенных расширений. « Математические уравнения », Том. 83, нет. 1, стр. 1–66.