Удвоение пространства

В математике метрическое пространство X с метрикой d называется удваивающимся , если существует некоторая константа удвоения M > 0 такая, что для любых x ∈ X и r > 0 можно покрыть шар B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r } объединением не более чем M шаров радиуса ⁠г/2⁠ . ^[1] Логарифм M по основанию 2 называется удвоенной размерностью X. ^[2] Евклидовы пространства, снабженные обычной евклидовой метрикой, являются примерами удвоительных пространств, где константа удвоения M зависит от размерности  d . Например, в одном измерении M = 3 ; а в двух измерениях M = 7 . ^[3] В общем случае евклидово пространство имеет удвоенную размерность. ^{[2] [4]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Тета (d)}$

Важным вопросом в геометрии метрического пространства является характеристика тех метрических пространств, которые могут быть вложены в некоторое евклидово пространство билипшицевой функцией. Это означает, что можно по существу думать о метрическом пространстве как о подмножестве евклидова пространства. Не все метрические пространства могут быть вложены в евклидово пространство. С другой стороны, удвоение метрических пространств, казалось бы, имеет больше шансов, поскольку условие удвоения говорит, в некотором смысле, что метрическое пространство не является бесконечномерным. Однако в общем случае это все еще не так. Группа Гейзенберга с ее метрикой Карно-Каратеодори является примером удвоения метрического пространства, которое не может быть вложено ни в какое евклидово пространство. ^[5]

Теорема Ассуада утверждает, что для M -удваивающего метрического пространства X , если мы дадим ему метрику d ( x , y ) ^ε для некоторого 0 < ε < 1 , то существует L -билипшицево отображение , где d и L зависят от M и ε .${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$

Нетривиальная мера на метрическом пространстве X называется удваивающей, если мера любого шара конечна и приблизительно равна мере его удвоения, или, точнее, если существует константа C  > 0 такая, что

${\displaystyle 0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,}$

для всех x в X и r  > 0. В этом случае мы говорим, что μ является C-удвоением . Фактически, можно доказать, что, обязательно, C   2. ^[6]${\displaystyle \geq}$

Метрическое пространство меры, которое поддерживает меру удвоения, обязательно является метрическим пространством удвоения, где константа удвоения зависит от константы  C. Наоборот, каждое полное метрическое пространство удвоения поддерживает меру удвоения. ^{[7] [8]}

Простым примером меры удвоения является мера Лебега на евклидовом пространстве. Однако можно иметь меры удвоения на евклидовом пространстве, которые являются сингулярными относительно меры Лебега. Одним из примеров на действительной прямой является слабый предел следующей последовательности мер: ^[9]

${\displaystyle d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.}$

Можно построить другую сингулярную меру удвоения μ на интервале [0, 1] следующим образом: для каждого k  ≥ 0 разбить единичный интервал [0, 1] на 3 ^k интервалов длины 3 ^{− k} . Пусть Δ будет совокупностью всех таких интервалов в [0, 1], полученных для каждого k (это триадические интервалы ), и для каждого такого интервала I пусть m ( I ) обозначает его интервал "средней трети". Зафиксируем 0 <  δ  < 1 и пусть μ будет мерой такой, что μ ([0, 1]) = 1 и для каждого триадического интервала I , μ ( m ( I )) =  δμ ( I ). Тогда это дает меру удвоения на [0, 1], сингулярную по отношению к мере Лебега. ^[10]

Определение меры удвоения может показаться произвольным или чисто геометрическим интересом. Однако многие результаты классического гармонического анализа и вычислительной геометрии распространяются на настройку метрических пространств с мерами удвоения.

• Размеры шоссе