Последовательность делимости

В математике последовательность делимости — это целочисленная последовательность, индексированная положительными целыми числами n, такая, что${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle {\text{если }}м\мид n{\text{ то }}а_{м}\мид a_{н}}$

для всех  m ,  n . То есть, всякий раз, когда один индекс кратен другому, то соответствующий термин также кратен другому термину. Понятие может быть обобщено на последовательности со значениями в любом кольце , где определено понятие делимости .

Сильная делимость — это целочисленная последовательность , такая что для всех положительных целых чисел  m ,  n ,${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \НОД(a_{м},a_{н})=a_{\НОД(м,н)}.}$

Каждая последовательность сильной делимости является последовательностью делимости: тогда и только тогда, когда . Следовательно, по свойству сильной делимости, и, следовательно , .${\displaystyle \НОД(м,п)=м}$${\displaystyle м\середина н}$${\displaystyle \НОД(a_{м},a_{н})=a_{м}}$${\displaystyle a_{m}\mid a_{n}}$

• Любая постоянная последовательность является последовательностью сильной делимости.
• Каждая последовательность вида для некоторого ненулевого целого числа k является последовательностью делимости.${\displaystyle a_{n}=kn,}$
• Числа вида ( числа Мерсенна ) образуют последовательность сильной делимости.${\displaystyle 2^{n}-1}$
• Числа репунита в любой системе счисления R _n ^(b) образуют последовательность сильной делимости.
• В более общем смысле, любая последовательность вида для целых чисел является последовательностью делимости. Фактически, если и взаимно просты, то это сильная последовательность делимости.${\displaystyle a_{n}=A^{n}-B^{n}}$${\displaystyle А>Б>0}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$
• Числа Фибоначчи F _n образуют последовательность сильной делимости.
• В более общем случае любая последовательность Люка первого рода U _n ( P , Q ) является последовательностью делимости. Более того, это сильная последовательность делимости, когда gcd( P , Q ) = 1 .
• Еще одним классом таких последовательностей являются последовательности эллиптической делимости .

• Эверест, Грэм; ван дер Портен, Альф; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3387-2.
• Холл, Маршалл (1936). «Последовательности делимости третьего порядка». Am. J. Math . 58 (3): 577–584. doi :10.2307/2370976. JSTOR  2370976.
• Уорд, Морган (1939). «Заметка о последовательностях делимости». Bull. Amer. Math. Soc . 45 (4): 334–336. doi : 10.1090/s0002-9904-1939-06980-2 .
• Хоггатт, младший, VE; Лонг, CT (1973). "Свойства делимости обобщенных полиномов Фибоначчи" (PDF) . Fibonacci Quarterly : 113.
• Bézivin, J.-P.; Pethö, A.; van der Porten, AJ (1990). «Полная характеристика последовательностей делимости». Am. J. Math . 112 (6): 985–1001. doi :10.2307/2374733. JSTOR  2374733.
• P. Ingram; JH Silverman (2012), "Primitive divisors in elliptic divisibility sequences", в Dorian Goldfeld; Jay Jorgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (ред.), Number Theory, Analysis and Geometry. В память о Серже Ланге , Springer, стр. 243–271, ISBN 978-1-4614-1259-5