Мера риска искажения

В финансовой математике и экономике мера риска искажения — это тип меры риска , который связан с кумулятивной функцией распределения доходности финансового портфеля .

Математическое определение

Функция , связанная с функцией искажения, является мерой риска искажения , если для любой случайной величины коэффициентов усиления (где — пространство L p ), то ρ г : Л п → Р {\displaystyle \rho _{g}:L^{p}\to \mathbb {R} } г : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {\displaystyle g:[0,1]\to [0,1]} Х ∈ Л п {\displaystyle X\in L^{p}} Л п {\displaystyle L^{p}}

ρ г ( Х ) = − ∫ 0 1 Ф − Х − 1 ( п ) г г ~ ( п ) = ∫ − ∞ 0 г ~ ( Ф − Х ( х ) ) г х − ∫ 0 ∞ г ( 1 − Ф − Х ( х ) ) г х {\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{1}F_{-X}^{-1}(p)d{\tilde {g}}(p)=\int _{-\infty }^{0}{\tilde {g}}(F_{-X}(x))dx-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx}

где — кумулятивная функция распределения для и — двойная функция искажения . [1] Ф − Х {\displaystyle F_{-X}} − Х {\displaystyle -X} г ~ {\displaystyle {\тильда {г}}} г ~ ( ты ) = 1 − г ( 1 − ты ) {\displaystyle {\tilde {g}}(u)=1-g(1-u)}

Если почти наверняка, то задается интегралом Шоке , т.е. [1] [2] Эквивалентно, [2] такое, что — вероятностная мера , порожденная , т.е. для любой сигма -алгебры , то . [3] Х ≤ 0 {\displaystyle X\leq 0} ρ г {\displaystyle \rho _{g}} ρ г ( Х ) = − ∫ 0 ∞ г ( 1 − Ф − Х ( х ) ) г х . {\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx.} ρ г ( Х ) = Э В [ − Х ] {\displaystyle \rho _{g}(X)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[-X]} В {\displaystyle \mathbb {Q} } г {\displaystyle г} А ∈ Ф {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} В ( А ) = г ( П ( А ) ) {\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (A))}

Характеристики

Помимо свойств общих мер риска, меры риска искажения также обладают:

  1. Закон инварианта : если распределения и одинаковы, то . X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} ρ g ( X ) = ρ g ( Y ) {\displaystyle \rho _{g}(X)=\rho _{g}(Y)}
  2. Монотонно относительно стохастического доминирования первого порядка .
    1. Если — вогнутая функция искажения, то она монотонна относительно стохастического доминирования второго порядка. g {\displaystyle g} ρ g {\displaystyle \rho _{g}}
  3. g {\displaystyle g} является вогнутой функцией искажения тогда и только тогда, когда является последовательной мерой риска . [1] [2] ρ g {\displaystyle \rho _{g}}

Примеры

  • Рискованная стоимость – это мера риска искажения с соответствующей функцией искажения [2] [3] g ( x ) = { 0 if  0 ≤ x < 1 − α 1 if  1 − α ≤ x ≤ 1 . {\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}
  • Условное значение риска представляет собой меру риска искажения с соответствующей функцией искажения [2] [3] g ( x ) = { x 1 − α if  0 ≤ x < 1 − α 1 if  1 − α ≤ x ≤ 1 . {\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}
  • Отрицательное ожидание является мерой риска искажения с соответствующей функцией искажения . [1] g ( x ) = x {\displaystyle g(x)=x}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcd Середа, EN; Бронштейн Е.М.; Рачев, С.Т.; Фабоцци, Ф.Дж.; Сан, В.; Стоянов, С.В. (2010). «Меры риска искажений при оптимизации портфеля». Справочник по портфельному строительству . п. 649. CiteSeerX  10.1.1.316.1053 . дои : 10.1007/978-0-387-77439-8_25. ISBN 978-0-387-77438-1.
  2. ^ abcde Джулия Л. Вирч; Мэри Р. Харди. "Distortion Risk Measures: Coherence and Stochastic Dominance" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2016 г. . Получено 10 марта 2012 г. .
  3. ^ abc Balbás, A.; Garrido, J.; Mayoral, S. (2008). "Свойства мер риска искажения". Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей . 11 (3): 385. doi :10.1007/s11009-008-9089-z. hdl : 10016/14071 . S2CID  53327887.
  • У, Сяньи; Сянь Чжоу (7 апреля 2006 г.). «Новая характеристика премий за искажение посредством счетной аддитивности для сомонотонных рисков». Страхование: Математика и экономика . 38 (2): 324–334. doi :10.1016/j.insmatheco.2005.09.002.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Distortion_risk_measure&oldid=1135749310"