Теория расхождений
В математике теория расхождений описывает отклонение ситуации от желаемого состояния. Ее также называют теорией нерегулярностей распределения . Это относится к теме классической теории расхождений, а именно распределению точек в некотором пространстве таким образом, чтобы они были равномерно распределены относительно некоторых (в основном геометрически определенных) подмножеств. Расхождение (нерегулярность) измеряет, насколько данное распределение отклоняется от идеального.
Теорию расхождений можно описать как изучение неизбежных нерегулярностей распределений в мерно-теоретических и комбинаторных установках. Так же, как теория Рамсея проливает свет на невозможность полного беспорядка, теория расхождений изучает отклонения от полной однородности.
Значимым событием в истории теории расхождений стала работа Вейля 1916 года о равномерном распределении последовательностей в единичном интервале. [1]
Теоремы
Теория расхождений основана на следующих классических теоремах:
- Теория геометрического несоответствия
- Теорема ван Аарденна-Эренфеста.
- Арифметические прогрессии (Рот, Саркози, Бек , Матусек и Спенсер )
- Теорема Бека–Фиалы [2]
- Достаточно шести стандартных отклонений (Спенсер) [3]
Основные открытые проблемы
К нерешенным проблемам, связанным с теорией расхождений, относятся:
- Прямоугольники, параллельные осям, в измерениях три и выше (фольклор)
- гипотеза Комлоша
- Задача треугольника Хейльбронна о минимальной площади треугольника, определяемой тремя точками из n -точечного множества
Приложения
Приложения теории расхождений включают:
- Численное интегрирование: методы Монте-Карло в больших размерностях
- Вычислительная геометрия: алгоритм «разделяй и властвуй»
- Обработка изображений: Полутоновая обработка
- Формулировка случайного испытания: Рандомизированное контролируемое испытание [4] [5] [6]
Смотрите также
Ссылки
- ^ Вейль, Герман (1 сентября 1916 г.). «Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins» [О равном распределении чисел]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 77 (3): 313–352. дои : 10.1007/BF01475864. ISSN 1432-1807. S2CID 123470919.
- ^ Йожеф Бек и Тибор Фиала (1981). «Теоремы о целых числах». Дискретная прикладная математика . 3 (1): 1–8. дои : 10.1016/0166-218x(81)90022-6 .
- ↑ Джоэл Спенсер (июнь 1985 г.). «Достаточно шести стандартных отклонений». Труды Американского математического общества . 289 (2). Труды Американского математического общества, т. 289, № 2: 679–706. doi : 10.2307/2000258 . JSTOR 2000258.
- ^ Харшоу, Кристофер; Сэвье, Фредрик; Шпильман, Дэниел А.; Чжан, Пэн (2024). «Балансировка ковариатов в рандомизированных экспериментах с планом прогулки Грама--Шмидта». Журнал Американской статистической ассоциации . Журнал Американской статистической ассоциации: 1–13.
- ^ Шпильман, Дэниел (11 мая 2020 г.). Использование теории расхождений для улучшения дизайна рандомизированных контролируемых испытаний.
- ^ Шпильман, Дэниел (29 января 2021 г.). Теория расхождений и рандомизированные контролируемые испытания.
Дальнейшее чтение
- Бек, Йожеф; Чен, Уильям В. Л. (1987). Нерегулярности распространения . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-30792-9.
- Шазелл, Бернард (2000). Метод расхождения: случайность и сложность . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 0-521-77093-9.
- Матоусек, Иржи (1999). Геометрическое несоответствие: Иллюстрированное руководство . Алгоритмы и комбинаторика. Том 18. Берлин: Springer. ISBN 3-540-65528-X.
