Прямой функтор изображения

В математике функтор прямого образа — это конструкция в теории пучков , которая обобщает функтор глобальных сечений на относительный случай. Он имеет фундаментальное значение в топологии и алгебраической геометрии . Если задан пучок F на топологическом пространстве X и непрерывное отображение f : X → Y , мы можем определить новый пучок f _∗ F на Y , называемый пучком прямого образа или пучком прямого образа F вдоль f , таким образом, что глобальные сечения f _∗ F задаются глобальными сечениями F . Это назначение порождает функтор f _∗ из категории пучков на X в категорию пучков на Y , который известен как функтор прямого образа. Аналогичные конструкции существуют во многих других алгебраических и геометрических контекстах, включая контекст квазикогерентных пучков и этальных пучков на схеме .

Функторы изображений для пучков
прямое изображение f ∗ {\displaystyle f_{*}}
обратное изображение${\displaystyle f^{*}}$
прямое изображение с компактной поддержкой${\displaystyle f_{!}}$
исключительное обратное изображение${\displaystyle Rf^{!}}$
${\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}$
${\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}$
Теоремы об изменении базы
в т е

Пусть f : X → Y — непрерывное отображение топологических пространств, а Sh(–) обозначает категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Функтор прямого образа

${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$

отправляет пучок F на X в его прямой образ предпучок f _∗ F на Y , определенный на открытых подмножествах U из Y как

${\displaystyle f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)).}$

Это оказывается пучком на Y , и он называется прямым образом пучка или прямым пучком F вдоль f .

Поскольку морфизм пучков φ: F → G на X очевидным образом порождает морфизм пучков f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G ) на Y , то мы действительно имеем, что f _∗ является функтором.

Если Y — точка, а f : X → Y — единственное непрерывное отображение, то Sh( Y ) — категория Ab абелевых групп, а функтор прямого образа f _∗ : Sh( X ) → Ab равен глобальному функтору сечений .

Если мы имеем дело с пучками множеств вместо пучков абелевых групп, то применимо то же определение. Аналогично, если f : ( X , O _X ) → ( Y , O _Y ) — морфизм окольцованных пространств , мы получаем функтор прямого образа f _∗ : Sh( X , O _X ) → Sh( Y , O _Y ) из категории пучков O _X -модулей в категорию пучков O _Y -модулей. Более того, если f теперь является морфизмом квазикомпактных и квазиразделенных схем, то f _∗ сохраняет свойство быть квазикогерентным, поэтому мы получаем функтор прямого образа между категориями квазикогерентных пучков. ^[1]

Аналогичное определение применимо к пучкам на топосах , таким как этальные пучки . Там вместо указанного выше прообраза f ⁻¹ ( U ) используется послойное произведение U и X над Y .

• Формирование категорий пучков и функторов прямого образа само по себе определяет функтор из категории топологических пространств в категорию категорий: для заданных непрерывных отображений f : X → Y и g : Y → Z имеем ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗ .
• Функтор прямого образа является правым сопряженным к функтору обратного образа , что означает, что для любых непрерывных и пучков соответственно на X , Y существует естественный изоморфизм:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

• Если f — включение замкнутого подпространства X ⊆ Y , то f _∗ является точным . Фактически, в этом случае f _∗ является эквивалентностью между категорией пучков на X и категорией пучков на Y , содержащихся на X . Это следует из того факта, что слой равен , если и нулю в противном случае (здесь используется замкнутость X в Y ).${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}}$${\displaystyle y\in X}$
• Если f — морфизм аффинных схем, определяемый кольцевым гомоморфизмом , то функтор прямого образа f _∗ на квазикогерентных пучках отождествляется с ограничением функтора скаляров вдоль φ.${\displaystyle \mathrm {Spec} \,S\to \mathrm {Spec} \,R}$${\displaystyle \phi :R\to S}$

Функтор прямого образа точен слева , но обычно не точен справа. Поэтому можно рассмотреть правые производные функторы прямого образа. Они называются высшими прямыми образами и обозначаются R ^q f _∗ .

Можно показать, что существует выражение, похожее на приведенное выше, для высших прямых образов: для пучка F на X пучок R ^q f _∗ ( F ) является пучком, связанным с предпучком

${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$,

где H ^q обозначает когомологии пучка .

В контексте алгебраической геометрии и морфизма квазикомпактных и квазиразделенных схем также имеется правый производный функтор${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle Rf_{*}:D_{qcoh}(X)\to D_{qcoh}(Y)}$

как функтор между (неограниченными) производными категориями квазикогерентных пучков. В этой ситуации всегда допускает правый сопряженный . ^[2] Это тесно связано, но в общем случае не эквивалентно, исключительному функтору обратного образа , если только не является также собственным .${\displaystyle Rf_{*}}$${\displaystyle f^{\times }}$ ${\displaystyle f^{!}}$${\displaystyle f}$

• Правильная теорема об изменении основания

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, МР  0842190, особенно раздел II.4