Мембрана Дирака
Модель заряженной мембраны

В квантовой механике мембрана Дирака — это модель заряженной мембраны, введенная Полем Дираком в 1962 году. Первоначальной мотивацией Дирака было объяснить массу мюона как возбуждение основного состояния, соответствующего электрону . [ 1] Опередив рождение теории струн почти на десятилетие, он первым ввел то, что сейчас называется типом действия Намбу–Гото для мембран. [2] [3]

В модели мембраны Дирака отталкивающие электромагнитные силы на мембране уравновешиваются сжимающими силами, возникающими из-за положительного натяжения. В случае сферической мембраны классические уравнения движения подразумевают, что баланс выполняется для радиуса , где — классический радиус электрона . Используя условие квантования Бора–Зоммерфельда для гамильтониана сферически-симметричной мембраны, Дирак находит приближение массы, соответствующей первому возбуждению, как , где — масса электрона, что составляет около четверти наблюдаемой массы мюона. 0,75 г е {\displaystyle 0.75r_{e}} г е {\displaystyle r_{e}} 53 м е {\displaystyle 53м_{е}} м е {\displaystyle m_{e}}

Принцип действия

Дирак выбрал нестандартный способ формулировки принципа действия для мембраны. Поскольку замкнутые мембраны в обеспечивают естественное разделение пространства на внутреннюю и внешнюю части, существует особая криволинейная система координат в пространстве-времени и функция такая, что Р 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} х μ {\displaystyle x^{\mu }} ф ( х ) {\displaystyle f(x)}

  • ф ( х ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} определяет мембрану
  • ф ( х ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} , опишите область снаружи или внутри мембраны ф ( х ) < 0 {\displaystyle f(x)<0}

Выбирая и следующую калибровку , , где ( ) — внутренняя параметризация мирового объема мембраны, действие мембраны, предложенное Дираком, равно х 1 = ф ( х ) {\displaystyle x^{1}=f(x)} σ 0 = х 0 =: τ {\displaystyle \сигма ^{0}=x^{0}=:\тау } σ 1 = х 2 {\displaystyle \сигма ^{1}=x^{2}} σ 2 = х 3 {\displaystyle \сигма^{2}=x^{3}} σ α {\displaystyle \сигма ^{\альфа}} α = 0 , 1 , 2 {\displaystyle \альфа =0,1,2}

С = С Э М + С мембрана {\displaystyle S=S_{EM}+S_{\text{мембрана}}}
С Э М = − 1 16 π ∫ х 1 > 0 Дж. г μ ρ г ν σ Ф μ ν Ф ρ σ г 4 х ,         С мембрана = − ω 4 π ∫ х 1 = 0 М г х 0 г х 2 г х 3 {\displaystyle S_{EM}=-{\frac {1}{16\pi}}\int _{x^{1}>0}Jg^{\mu \rho}g^{\nu \sigma}F_{\mu \nu}F_{\rho \sigma}d^{4}x,\ \ \ \ S_{\text{мембрана}}=-{\frac {\omega}{4\pi}}\int _{x^{1}=0}Mdx^{0}dx^{2}dx^{3}}

где индуцированная метрика и факторы J и M задаются как

г μ ν = ∂ μ у Λ ∂ ν у Λ ,       Λ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle g_{\mu \nu } =\partial _ {\mu }y^{\Lambda } \partial _ {\nu }y_ {\Lambda },\ \ \ \Lambda =0,1,2,3}
Дж. = − дет г μ ν .       М = Дж. − г 11 {\displaystyle J={\sqrt {-\det g_ {\mu \nu }}}.\ \ \ M=J {\sqrt {-g^{11}}}}

В приведенном выше примере прямолинейны и ортогональны. Используемая сигнатура пространства-времени — (+,-,-,-). Обратите внимание, что — это просто обычное действие для электромагнитного поля в криволинейной системе, тогда как — это интеграл по мировому объему мембраны, то есть именно тот тип действия, который позже использовался в теории струн. у Λ {\displaystyle y^{\Лямбда}} С Э М {\displaystyle S_{EM}} С мембрана {\displaystyle S_{\text{мембрана}}}

Уравнения движения

Из вариации по и вытекают 3 уравнения движения : А μ {\displaystyle A_{\mu }} у Λ {\displaystyle y^{\Лямбда}}

  • вариация wrt для - это приводит к уравнениям Максвелла без источника А μ {\displaystyle A_{\mu }} х 1 > 0 {\displaystyle x_{1}>0}
  • вариация wrt для - это дает следствие уравнений Максвелла у Λ {\displaystyle y^{\Лямбда}} х 1 > 0 {\displaystyle x_{1}>0}
  • изменение относительно для у Λ {\displaystyle y^{\Лямбда}} х 1 = 0 {\displaystyle x_{1}=0}
1 2 Ф α 1 Ф α 1 = ω Дж. − 1 ( М г 1 μ / г 11 ) , μ {\displaystyle {\frac {1}{2}}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1}=\omega J^{-1}(Mg^{1\mu }/g^{11})_{,\mu }}

Последнее уравнение имеет геометрическую интерпретацию: правая ось пропорциональна кривизне мембраны. Для сферически симметричного случая получаем

е 2 2 ρ 4 = ω г г т ρ ˙ 1 − ρ ˙ 2 + 2 ω ρ 1 − ρ ˙ 2 {\displaystyle {\frac {e^{2}}{2\rho ^{4}}}=\omega {\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {\rho }}{\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}+{\frac {2\omega }{\rho {\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}}}

Следовательно, условие баланса подразумевает, что где — радиус сбалансированной мембраны. Полная энергия для сферической мембраны с радиусом равна ρ ˙ = 0 {\displaystyle {\точка {\ро}}=0} а 3 = е 2 / 4 ω {\displaystyle a^{3}=e^{2}/4\omega } а {\displaystyle а} ρ {\displaystyle \ро}

Э ( ρ ) = е 2 / 2 ρ + β ρ 2 {\displaystyle E(\rho)=e^{2}/2\rho +\beta \rho ^{2}}

и она минимальна в равновесии для , следовательно . С другой стороны, полная энергия в равновесии должна быть (в единицах) и поэтому мы получаем . β = ω {\displaystyle \beta =\omega } Э ( а ) = 3 е 2 / 4 а {\displaystyle E(a)=3e^{2}/4a} м е {\displaystyle m_{e}} с = 1 {\displaystyle с=1} а = 0,75 г е {\displaystyle a=0.75r_{e}}

Гамильтонова формулировка

Малые колебания около равновесия в сферически-симметричном случае подразумевают частоты - . Поэтому, переходя к квантовой теории, энергия одного кванта будет . Это намного больше массы мюона, но частоты отнюдь не малы, поэтому это приближение может работать некорректно. Чтобы получить лучшую квантовую теорию, нужно вывести гамильтониан системы и решить соответствующее уравнение Шредингера. 6 / а {\displaystyle {\sqrt {6}}/a} час ν = 6 ℏ / а = 448 м е {\displaystyle h\nu ={\sqrt {6}}\hbar /a=448m_{e}}

Для гамильтоновой формулировки Дирак вводит обобщенные импульсы

  • для : и - импульсы, сопряженные с и соответственно ( , выбор координат ) х 1 > 0 {\displaystyle x^{1}>0} Б μ {\displaystyle B^{\mu }} ж Р {\displaystyle w_{R}} А μ {\displaystyle A_{\mu }} у Р {\displaystyle y^{R}} Р = 1 , 2 , 3 {\displaystyle R=1,2,3} х 0 = у 0 {\displaystyle x^{0}=y^{0}}
  • для : - импульсы, сопряженные х 1 = 0 {\displaystyle x^{1}=0} Вт Р {\displaystyle W_{R}} у Р {\displaystyle y^{R}}

Затем можно заметить следующие ограничения:

  • для поля Максвелла
    Б 0 = 0 ,       Б г , г = 0 ,       ж Р у Р , с − Б г Ф г с = 0 {\displaystyle B^{0}=0,\ \ \ {B^{r}}_{,r}=0,\ \ \ w_{R}{y^{R}}_{,s}-B^{r}F_{rs}=0}
  • для мембранных импульсов
    Вт Р у Р , 2 = Вт Р у Р , 3 = 0 ,       16 π 2 Вт Р Вт Р = ω 2 М 2 с 00 ( с 00 − 1 ) {\displaystyle W_{R}{y^{R}}_{,2}=W_{R}{y^{R}}_{,3}=0,\ \ \ 16\pi ^{2}W_{R}W_{R}=\omega ^{2}M^{2}c^{00}(c^{00}-1)}
где - обратная величина , . c a b {\displaystyle c^{ab}} g a b {\displaystyle g_{ab}} a , b = 0 , 2 , 3 {\displaystyle a,b=0,2,3}

Эти ограничения необходимо включить при вычислении гамильтониана с использованием метода скобок Дирака . Результатом этого вычисления является гамильтониан вида

H = H E M + H s {\displaystyle H=H_{EM}+H_{s}}
H s = 1 4 π ∫ 16 π 2 W R W R + ω 2 ( g 22 g 33 − g 23 2 ) d x 2 d x 3 {\displaystyle H_{s}={\frac {1}{4\pi }}\int {\sqrt {16\pi ^{2}W_{R}W_{R}+\omega ^{2}(g_{22}g_{33}-g_{23}^{2})}}dx^{2}dx^{3}}

где — гамильтониан электромагнитного поля, записанный в криволинейной системе. H E M {\displaystyle H_{EM}}

Квантование

Для сферически симметричного движения гамильтониан имеет вид

H = η 2 + ω 2 ρ 4 + e 2 / 2 ρ ,       { ρ , η } = 1 {\displaystyle H={\sqrt {\eta ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{4}}}+e^{2}/2\rho ,\ \ \ \{\rho ,\eta \}=1}

Однако прямое квантование не ясно из-за квадратного корня дифференциального оператора. Чтобы получить больше информации, Дирак рассматривает метод Бора-Зоммерфельда:

2 π ℏ n = 2 ∫ ρ m i n ρ m a x η d ρ {\displaystyle 2\pi \hbar n=2\int _{\rho _{min}}^{\rho _{max}}\eta d\rho }

и находит для . E 1 ≈ 53 m e {\displaystyle E_{1}\approx 53m_{e}} n = 1 {\displaystyle n=1}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ "мембрана в nLab". ncatlab.org . Архивировано из оригинала 2023-11-02 . Получено 2023-11-02 .
  2. ^ Санюк, Валерий И.; Суханов, Александр Д. (2003-09-01). «Дирак в физике 20-го века: оценка столетия». Успехи физики . 46 (9): 937–956 . ISSN  1063-7869. Архивировано из оригинала 2023-11-08 . Получено 2023-11-09 .
  3. ^ Тонг, Дэвид (2009). «Теория струн». Кембриджский университет . Архивировано из оригинала 2021-04-23 . Получено 2023-11-02 .
  • П. А. М. Дирак, Расширяемая модель электрона, Proc. Roy. Soc. A268, (1962) 57–67.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dirac_membrane&oldid=1249378219"