Обозначение скобок

Эта статья может нуждаться в реорганизации для соответствия правилам Википедии по макету . Пожалуйста, помогите, отредактировав статью, чтобы улучшить общую структуру. ( Февраль 2023 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Часть серии статей о
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение скобок Гамильтониан Вмешательство
Основы Взаимодополняемость Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число Состояние Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция Крах
Эксперименты Неравенство Белла неравенство CHSH Дэвиссон–Гермер Двойной щелевой Элицур–Вайдман Франк–Герц неравенство Леггетта Неравенство Леггетта–Гарга Маха–Цендера Поппер Квантовый ластик Отложенный выбор Кот Шредингера Штерн–Герлах Отложенный выбор Уиллера
Формулировки Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по траектории)
Уравнения Дирак Клейн–Гордон Паули Рюдберг Шредингер
Интерпретации байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройля–Бома Ансамбль Скрытая переменная Местный Супердетерминизм Множество миров Цель-коллапс Квантовая логика Относительный Transactional Von Neumann–Wigner
Advanced topics Relativistic quantum mechanics Quantum field theory Quantum information science Quantum computing Quantum chaos EPR paradox Density matrix Scattering theory Quantum statistical mechanics Quantum machine learning
Scientists Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Обозначение Бракета , также называемое обозначением Дирака , — это обозначение для линейной алгебры и линейных операторов на комплексных векторных пространствах вместе с их дуальным пространством как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае. Оно специально разработано для упрощения типов вычислений, которые часто встречаются в квантовой механике . Его использование в квантовой механике довольно широко распространено.

Обозначение Bra–ket было создано Полем Дираком в его публикации 1939 года «Новая нотация для квантовой механики» . Обозначение было введено как более простой способ записи квантово-механических выражений. ^[1] Название происходит от английского слова «bracket».

В квантовой механике для обозначения квантовых состояний повсеместно используется обозначение бра–кет . В обозначении используются угловые скобки , и , а также вертикальная черта , для построения «бра» и «кет».${\displaystyle \langle }$${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle |}$

Кет имеет вид . Математически он обозначает вектор , , в абстрактном (комплексном) векторном пространстве , а физически он представляет состояние некоторой квантовой системы.${\displaystyle |v\rangle }$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle V}$

Бюстгальтер имеет вид . Математически это обозначает линейную форму , т.е. линейное отображение , которое отображает каждый вектор в число в комплексной плоскости . Позволяя линейному функционалу действовать на вектор , записывается как .${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle f|}$${\displaystyle |v\rangle }$${\displaystyle \langle f|v\rangle \in \mathbb {C} }$

Предположим, что существует скалярное произведение с антилинейным первым аргументом, которое создает скалярное произведение пространство . Тогда с помощью этого скалярного произведения каждый вектор можно идентифицировать с соответствующей линейной формой, поместив вектор в антилинейный первый слот скалярного произведения: . Соответствие между этими обозначениями тогда таково . Линейная форма является ковектором для , а множество всех ковекторов образует подпространство дуального векторного пространства , к исходному векторному пространству . Цель этой линейной формы теперь можно понять с точки зрения создания проекций на состояние для определения того, насколько линейно зависимы два состояния и т. д.${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle }$${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V^{\vee }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }},}$

Для векторного пространства кеты можно идентифицировать с векторами-столбцами, а бра — с векторами-строками. Комбинации бра, кетов и линейных операторов интерпретируются с помощью умножения матриц . Если имеет стандартное эрмитово внутреннее произведение , при этой идентификации идентификация кетов и бра и наоборот, предоставляемая внутренним произведением, принимает эрмитово сопряжение (обозначается ).${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w}$${\displaystyle \dagger }$

Обычно векторную или линейную форму из нотации бра–кет подавляют и используют только метку внутри типографики для бра или кет. Например, оператор спина в двумерном пространстве спиноров имеет собственные значения с собственными спинорами . В нотации бра–кет это обычно обозначается как , и . Как и выше, кеты и бра с одинаковой меткой интерпретируются как кеты и бра, соответствующие друг другу с помощью внутреннего произведения. В частности, когда они также идентифицируются со строковыми и столбцовыми векторами, кеты и бра с одинаковой меткой идентифицируются с эрмитово сопряженными столбцовыми и строковыми векторами.${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$${\displaystyle \Delta }$${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle }$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle }$

Нотация Бракета была фактически установлена ​​в 1939 году Полем Дираком ; ^{[1] [2]} поэтому она также известна как нотация Дирака, несмотря на то, что у этой нотации был предшественник в лице Германа Грассмана , использовавшего ее для внутренних произведений почти 100 лет назад. ^{[3] [4]}${\displaystyle [\phi {\mid }\psi ]}$

В математике термин «вектор» используется для элемента любого векторного пространства. В физике, однако, термин «вектор» имеет тенденцию относиться почти исключительно к таким величинам, как смещение или скорость , которые имеют компоненты, которые напрямую связаны с тремя измерениями пространства , или релятивистски, с четырьмя измерениями пространства-времени . Такие векторы обычно обозначаются стрелками ( ), жирным шрифтом ( ) или индексами ( ).${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle v^{\mu }}$

В квантовой механике квантовое состояние обычно представляется как элемент комплексного гильбертова пространства , например, бесконечномерного векторного пространства всех возможных волновых функций (квадратно интегрируемых функций, отображающих каждую точку трехмерного пространства в комплексное число) или некоторого более абстрактного гильбертова пространства, построенного более алгебраически. Чтобы отличить этот тип вектора от описанных выше, в физике принято и полезно обозначать элемент абстрактного комплексного векторного пространства как кет , называть его «кет», а не вектором, и произносить его как «кет- » или «кет-А» для | A ⟩ .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \phi }$

Символы, буквы, числа или даже слова — все, что служит удобной меткой — можно использовать в качестве метки внутри кет-символа, с четким указанием того, что метка указывает на вектор в векторном пространстве. Другими словами, символ « | A ⟩ » имеет узнаваемое математическое значение относительно вида представляемой переменной, в то время как просто « A » само по себе не имеет. Например, |1⟩ + |2⟩ не обязательно равно |3⟩ . Тем не менее, для удобства, обычно за метками внутри кет-символов стоит некоторая логическая схема, например, распространенная практика маркировки энергетических собственных кет-символов в квантовой механике посредством перечисления их квантовых чисел . В простейшем случае метка внутри кет-символа является собственным значением физического оператора, например , , , и т. д.${\displaystyle |\ \rangle }$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$

Поскольку кеты — это просто векторы в эрмитовом векторном пространстве, ими можно манипулировать, используя обычные правила линейной алгебры. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что последняя строка выше включает в себя бесконечно много различных кетов, по одному для каждого действительного числа x .

Поскольку кет является элементом векторного пространства, бра является элементом его дуального пространства , то есть бра является линейным функционалом, который является линейным отображением из векторного пространства в комплексные числа. Таким образом, полезно думать о кетах и ​​бра как об элементах разных векторных пространств (см. ниже, однако), причем оба являются разными полезными концепциями.${\displaystyle \langle A|}$

Бюстгальтер и кет (т.е. функционал и вектор) можно объединить в оператор ранга один с внешним произведением${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

Обозначение бра–кет особенно полезно в гильбертовых пространствах, которые имеют скалярное произведение ^[5] , которое допускает эрмитово сопряжение и отождествление вектора с непрерывным линейным функционалом, т. е. кет с бра, и наоборот (см. теорему о представлении Рисса ). Скалярное произведение в гильбертовом пространстве (с первым аргументом антилинейным, как предпочитают физики) полностью эквивалентно (антилинейному) отождествлению между пространством кетов и пространством бра в обозначении бра-кет: для векторного кет определим функционал (т. е. бра) как${\displaystyle (\ ,\ )}$${\displaystyle \psi =|\psi \rangle }$${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

В простом случае, когда мы рассматриваем векторное пространство , кет может быть идентифицирован как вектор-столбец , а бра как вектор-строка . Если, кроме того, мы используем стандартное эрмитово внутреннее произведение на , бра, соответствующие кету, в частности бра ⟨ m | и кет | m ⟩ с той же меткой, являются сопряженными транспонированными . Более того, соглашения установлены таким образом, что написание бра, кетов и линейных операторов рядом друг с другом просто подразумевает умножение матриц . ^[6] В частности, внешнее произведение столбца и вектора-строки кет и бра может быть идентифицировано с умножением матриц (вектор-столбец умножить на вектор-строку равно матрице).${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

Для конечномерного векторного пространства, используя фиксированный ортонормированный базис , скалярное произведение можно записать как матричное умножение вектора-строки на вектор-столбец: Исходя из этого, бра и кеты можно определить как: и тогда понятно, что бра рядом с кетом подразумевает матричное умножение.$${\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Сопряженное транспонирование (также называемое эрмитовым сопряжением ) бюстгальтера является соответствующим кет-множеством и наоборот: потому что если начать с бюстгальтера , затем выполнить комплексное сопряжение , а затем транспонирование матрицы , то в итоге получится кет-множество.$${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$$

Запись элементов конечномерного (или mutatis mutandis , счетно бесконечного) векторного пространства в виде вектора-столбца чисел требует выбора базиса . Выбор базиса не всегда полезен, поскольку вычисления в квантовой механике часто включают переключение между различными базисами (например, базис положения, базис импульса, базис собственной энергии), и можно написать что-то вроде " | m ⟩ ", не привязываясь к какому-либо конкретному базису. В ситуациях, связанных с двумя различными важными базисными векторами, базисные векторы могут быть взяты в нотации явно и здесь будут упоминаться просто как " | − ⟩ " и " | + ⟩ ".

Обозначение Бракета можно использовать, даже если векторное пространство не является гильбертовым .

В квантовой механике общепринятой практикой является запись кетов, имеющих бесконечную норму , т. е. ненормализуемых волновых функций . Примерами служат состояния, волновые функции которых являются дельта-функциями Дирака или бесконечными плоскими волнами . Они, технически, не принадлежат самому гильбертову пространству . Однако определение «гильбертова пространства» можно расширить, чтобы включить эти состояния (см. конструкцию Гельфанда–Наймарка–Сигала или оснащенные гильбертовы пространства ). Обозначение бра–кет продолжает работать аналогичным образом в этом более широком контексте.

Банаховы пространства являются другим обобщением гильбертовых пространств. В банаховом пространстве B векторы могут быть обозначены как kets, а непрерывные линейные функционалы как bras. Над любым векторным пространством без топологии мы также можем обозначить векторы как kets, а линейные функционалы как bras. В этих более общих контекстах скобка не имеет смысла скалярного произведения, поскольку теорема Рисса о представлении не применяется.

Математическая структура квантовой механики в значительной степени основана на линейной алгебре :

• Волновые функции и другие квантовые состояния могут быть представлены как векторы в комплексном гильбертовом пространстве. (Точная структура этого гильбертова пространства зависит от ситуации.) Например, в скобочной нотации электрон может находиться в «состоянии» | ψ ⟩ . (Технически квантовые состояния являются лучами векторов в гильбертовом пространстве, поскольку c | ψ ⟩ соответствует одному и тому же состоянию для любого ненулевого комплексного числа c .)
• Квантовые суперпозиции можно описать как векторные суммы составляющих состояний. Например, электрон в состоянии ⁠1/√2⁠ |1⟩ + ⁠я/√2⁠ |2⟩ находится в квантовой суперпозиции состояний |1⟩ и |2⟩ .
• Измерения связаны с линейными операторами (называемыми наблюдаемыми ) в гильбертовом пространстве квантовых состояний.
• Динамика также описывается линейными операторами в гильбертовом пространстве. Например, в картине Шредингера существует линейный оператор эволюции времени U со свойством, что если электрон находится в состоянии | ψ ⟩ прямо сейчас, в более позднее время он будет в состоянии U | ψ ⟩ , то же самое U для каждого возможного | ψ ⟩ .
• Нормализация волновой функции — это масштабирование волновой функции таким образом, чтобы ее норма равнялась 1.

Поскольку практически каждое вычисление в квантовой механике включает векторы и линейные операторы, оно может включать, и часто включает, скобочную нотацию. Ниже приведено несколько примеров:

Гильбертово пространство точечной частицы со спином -0 охватывается « базисом положения » { | r ⟩ } , где метка r распространяется на множество всех точек в пространстве положения . Эта метка является собственным значением оператора положения, действующего на такое базисное состояние, . ^{[ необходима цитата ]} Поскольку в базисе имеется несчетное бесконечное число векторных компонент, это несчетное бесконечномерное гильбертово пространство. ^[7] Размерности гильбертова пространства (обычно бесконечные) и пространства положения (обычно 1, 2 или 3) не следует смешивать.${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle }$

Начиная с любого кет-множителя |Ψ⟩ в этом гильбертовом пространстве, можно определить комплексную скалярную функцию от r , известную как волновая функция , ^{[ необходимо разъяснение ]}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

С левой стороны Ψ( r ) — функция, отображающая любую точку пространства в комплексное число; с правой стороны — кет-функция, состоящая из суперпозиции кет-функций с относительными коэффициентами, заданными этой функцией.$${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$

Тогда принято определять линейные операторы, действующие на волновые функции, через линейные операторы, действующие на кет-функции, следующим образом:$${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

Например, оператор импульса имеет следующее координатное представление:${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

Иногда даже встречается выражение типа , хотя это своего рода злоупотребление обозначениями . Дифференциальный оператор следует понимать как абстрактный оператор, действующий на кеты, который имеет эффект дифференцирования волновых функций, как только выражение проецируется на базис положения, даже если в базисе импульса этот оператор сводится к простому оператору умножения (на iħ p ). То есть, можно сказать, или${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

В квантовой механике выражение ⟨ φ | ψ ⟩ обычно интерпретируется как амплитуда вероятности коллапса состояния ψ в состояние φ . Математически это означает коэффициент для проекции ψ на φ . Его также описывают как проекцию состояния ψ на состояние φ .

Стационарная частица со спином 1 ⁄ 2 имеет двумерное гильбертово пространство. Один ортонормированный базис имеет вид: где |↑ _z ⟩ — состояние с определенным значением оператора спина S _{z ,} равным + 1 ⁄ 2 , а |↓ _z ⟩ — состояние с определенным значением оператора спина S _{z ,} равным − 1 ⁄ 2 .$${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

Поскольку они являются базисом, любое квантовое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию (т.е. квантовую суперпозицию ) этих двух состояний: где a _ψ и b _ψ — комплексные числа.$${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

Другой базис для того же самого гильбертова пространства: определяется в терминах S _{x ,} а не S _z .$${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

Опять же, любое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию этих двух:$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

В векторной форме вы можете писать в зависимости от того, какой базис вы используете. Другими словами, «координаты» вектора зависят от используемого базиса.$${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$

Существует математическая связь между , , и ; см. изменение базиса .${\displaystyle a_{\psi }}$${\displaystyle b_{\psi }}$${\displaystyle c_{\psi }}$${\displaystyle d_{\psi }}$

Существуют некоторые соглашения и способы обозначения, которые могут оказаться запутанными или неоднозначными для непосвященных или начинающих студентов.

Причиной путаницы является то, что нотация не отделяет операцию внутреннего произведения от нотации для (bra)-вектора. Если (дуальный пространственный) бра-вектор построен как линейная комбинация других бра-векторов (например, при выражении его в некотором базисе), нотация создает некоторую двусмысленность и скрывает математические детали. Мы можем сравнить нотацию bra–ket с использованием жирного шрифта для векторов, таких как , и для внутреннего произведения. Рассмотрим следующий дуальный пространственный бра-вектор в базисе :${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$$${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

Необходимо определить по соглашению, находятся ли комплексные числа внутри или снаружи внутреннего произведения, и каждое соглашение дает разные результаты.${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

Обычно для меток и констант используется один и тот же символ . Например, , где символ используется одновременно как имя оператора , его собственный вектор и связанное с ним собственное значение . Иногда шляпа также сбрасывается для операторов, и можно увидеть такие обозначения, как . ^[8]${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$

Обычно можно увидеть использование , где крестик ( ) соответствует эрмитовому сопряжению. Однако это неверно в техническом смысле, поскольку кет, , представляет собой вектор в комплексном гильбертовом пространстве , а бра, , является линейным функционалом на векторах в . Другими словами, является просто вектором, в то время как является комбинацией вектора и скалярного произведения.${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$

Это делается для быстрой записи масштабирующих векторов. Например, если вектор масштабируется на , он может быть обозначен как . Это может быть неоднозначно, так как это просто метка для состояния, а не математический объект, над которым можно выполнять операции. Такое использование более распространено при обозначении векторов как тензорных произведений, где часть меток перемещается за пределы спроектированного слота, например .${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$

Линейный оператор — это отображение, которое принимает на вход кет-вектор и выводит кет-вектор. (Чтобы называться «линейным», необходимо обладать определенными свойствами .) Другими словами, если — линейный оператор и — кет-вектор, то — другой кет-вектор.${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

В -мерном гильбертовом пространстве мы можем наложить базис на пространство и представить в терминах его координат как вектор-столбец . Используя тот же базис для , он представляется комплексной матрицей. Кет-вектор теперь можно вычислить путем умножения матриц.${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

Линейные операторы повсеместно встречаются в теории квантовой механики. Например, наблюдаемые физические величины представлены самосопряженными операторами , такими как энергия или импульс , тогда как преобразующие процессы представлены унитарными линейными операторами, такими как вращение или прогрессия времени.

Операторы также можно рассматривать как действующие на бюстгальтеры с правой стороны . В частности, если A — линейный оператор, а ⟨ φ | — бюстгальтер, то ⟨ φ | A — другой бюстгальтер, определенный правилом (другими словами, композиция функций ). Это выражение обычно записывается как (ср. energy inner product )$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$$${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

В N -мерном гильбертовом пространстве ⟨ φ | можно записать как вектор-строку размером 1 × N , а A (как в предыдущем разделе) — это матрица размером N × N. Тогда bra ⟨ φ | A можно вычислить с помощью обычного умножения матриц.

Если один и тот же вектор состояния появляется как на стороне бра, так и на стороне кет, то это выражение дает математическое ожидание или среднее значение наблюдаемой, представленной оператором A для физической системы в состоянии | ψ ⟩ .$${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$

Удобный способ определения линейных операторов в гильбертовом пространстве H задается внешним произведением : если ⟨ ϕ | — бра, а | ψ ⟩ — кет-множитель, то внешнее произведение обозначает оператор ранга один с правилом $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$$${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

Для конечномерного векторного пространства внешнее произведение можно понимать как простое умножение матриц: внешнее произведение представляет собой матрицу N × N , как и ожидалось для линейного оператора.$${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$

Одним из применений внешнего произведения является построение операторов проекции . Если задан кет | ψ ⟩ нормы 1, ортогональная проекция на подпространство, натянутое на | ψ ⟩, равна Это идемпотент в алгебре наблюдаемых, действующий в гильбертовом пространстве.$${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$

Так же, как кеты и бра могут быть преобразованы друг в друга (превращая | ψ ⟩ в ⟨ ψ | ), элемент из дуального пространства, соответствующий A | ψ ⟩, есть ⟨ ψ | A ^† , где A ^† обозначает эрмитово сопряженное (или сопряженное) значение оператора A . Другими словами,$${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

Если A выражена как матрица N × N , то A ^† является ее сопряженной транспонированной матрицей.

Нотация Bra–ket была разработана для облегчения формальной манипуляции линейно-алгебраическими выражениями. Некоторые свойства, которые позволяют такую ​​манипуляцию, перечислены здесь. В дальнейшем c ₁ и c ₂ обозначают произвольные комплексные числа , c * обозначает комплексно сопряженное число c , A и B обозначают произвольные линейные операторы, и эти свойства должны сохраняться для любого выбора bra и ket.

• Поскольку бюстгальтеры являются линейными функционалами,$${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• По определению сложения и скалярного умножения линейных функционалов в двойственном пространстве, ^[9] $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

При наличии любого выражения, включающего комплексные числа, bras, kets, внутренние произведения, внешние произведения и/или линейные операторы (но не сложение), записанного в нотации bra–ket, группировки в скобках не имеют значения (т. е. сохраняется ассоциативное свойство ). Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

и так далее. Выражения справа (без каких-либо скобок) могут быть записаны однозначно из-за равенств слева. Обратите внимание, что ассоциативное свойство не выполняется для выражений, которые включают нелинейные операторы, такие как антилинейный оператор обращения времени в физике.

Обозначение Bra–ket делает особенно простым вычисление эрмитово сопряженного (также называемого dagger и обозначаемого † ) выражения. Формальные правила таковы:

• Эрмитово сопряжение бюстгальтера — это соответствующий кет, и наоборот.
• Эрмитово сопряженное число комплексного числа — это его комплексно сопряженное число.
• Эрмитово сопряженное эрмитово сопряженное значение чего-либо (линейных операторов, бра, кетов, чисел) само по себе, т.е.$${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• Для любой комбинации комплексных чисел, бра-, кет-, скалярных произведений, внешних произведений и/или линейных операторов, записанных в скобочно-кетной нотации, ее эрмитово сопряженное число можно вычислить, изменив порядок компонентов на обратный и взяв эрмитово сопряженное число каждого из них.

Этих правил достаточно для формальной записи эрмитово сопряженного выражения любого такого типа; вот некоторые примеры:

• Кеты:$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• Внутренние произведения: Обратите внимание, что ⟨ φ | ψ ⟩ является скаляром, поэтому эрмитово сопряжение является просто комплексным сопряжением, т.е.$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• Элементы матрицы:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• Внешние продукты:$${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$

Два гильбертовых пространства V и W могут образовывать третье пространство V ⊗ W с помощью тензорного произведения . В квантовой механике это используется для описания составных систем. Если система состоит из двух подсистем, описанных в V и W соответственно, то гильбертово пространство всей системы является тензорным произведением двух пространств. (Исключением является случай, когда подсистемы на самом деле являются идентичными частицами . В этом случае ситуация немного сложнее.)

Если | ψ ⟩ — кет-контур в V и | φ ⟩ — кет-контур в W , то тензорное произведение двух кет-контуров является кет-контуром в V ⊗ W . Это записывается в различных обозначениях:

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.}$

См. квантовую запутанность и парадокс ЭПР для получения информации о применении этого продукта.

Рассмотрим полную ортонормированную систему ( базис ) для гильбертова пространства H относительно нормы из скалярного произведения ⟨·,·⟩ .$${\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,}$$

Из базового функционального анализа известно, что любой кет-умножитель можно также записать в виде ⟨ ·|·⟩ со скалярным произведением в гильбертовом пространстве.${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$$

Из коммутативности кет-множеств с (комплексными) скалярами следует, что должен быть оператор тождества , который переводит каждый вектор в себя.$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I} }$$

Затем это можно вставить в любое выражение, не влияя на его значение; например , в последней строке для избежания беспорядка использовано соглашение Эйнштейна о суммировании .$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}}$$

В квантовой механике часто бывает так, что мало или совсем нет информации о внутреннем произведении ⟨ ψ | φ ⟩ двух произвольных (состояний) кетов, в то время как все еще можно что-то сказать о коэффициентах разложения ⟨ ψ | e _i ⟩ = ⟨ e _i | ψ ⟩ * и ⟨ e _i | φ ⟩ этих векторов относительно определенного (ортонормированного) базиса. В этом случае особенно полезно вставить единичный оператор в скобки один или несколько раз.

Для получения дополнительной информации см. Разрешение тождества , ^[10] где$${\displaystyle {\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,}$$$${\displaystyle |p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

Так как ⟨ x ′ | x ⟩ = δ ( x − x ′ ) , то следуют плоские волны,$${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

В своей книге (1958), гл. III.20, Дирак определяет стандартный кет , который с точностью до нормировки является трансляционно-инвариантным собственным состоянием импульса в импульсном представлении, т.е. . Следовательно, соответствующая волновая функция является константой, , а также${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$${\displaystyle {\hat {p}}|\varpi \rangle =0}$${\displaystyle \langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1}$$${\displaystyle |x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},}$$$${\displaystyle |p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .}$$

Обычно, когда все матричные элементы оператора, такие как доступны, это разрешение служит для восстановления полного оператора,$${\displaystyle \langle x|A|y\rangle }$$$${\displaystyle \int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.}$$

Объектом, который физики рассматривают при использовании скобочной нотации, является гильбертово пространство ( полное внутреннее произведение).

Пусть — гильбертово пространство, а h ∈ H — вектор в H. То, что физики обозначают как | h ⟩, — это сам вектор. То есть,${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$$${\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}.}$$

Пусть H * будет двойственным пространством H . Это пространство линейных функционалов на H . Вложение определяется соотношением , где для каждого h ∈ H линейный функционал удовлетворяет для каждого g ∈ H функциональному уравнению . Возникает путаница в обозначениях при отождествлении φ _h и g с ⟨ h | и | g ⟩ соответственно. Это происходит из-за буквальных символических подстановок. Пусть и пусть g = G = | g ⟩ . Это дает${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}}$${\displaystyle \Phi (h)=\varphi _{h}}$${\displaystyle \varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle }$${\displaystyle \varphi _{h}=H=\langle h\mid }$$${\displaystyle \varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.}$$

Один игнорирует скобки и удаляет двойные черты.

Более того, математики обычно пишут дуальную сущность не на первом месте, как это делают физики, а на втором, и обычно используют не звездочку, а черточку сверху (которую физики оставляют для средних значений и сопряженного спинора Дирака ) для обозначения комплексно-сопряженных чисел; т. е. для скалярных произведений математики обычно пишут, тогда как физики написали бы для той же величины$${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,}$$$${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.}$$

• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• n- щелевое интерферометрическое уравнение
• Квантовое состояние
• Внутреннее пространство продукта

• Дирак, П. А. М. (1939). «Новая нотация для квантовой механики». Математические труды Кембриджского философского общества . 35 (3): 416– 418. Bibcode :1939PCPS...35..416D. doi :10.1017/S0305004100021162. S2CID  121466183.. См. также его стандартный текст, Принципы квантовой механики , IV издание, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115 
• Грассман, Х. (1862). Теория расширений . История источников математики. Перевод 2000 г. Ллойда К. Канненберга. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество.
• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений, том II. Open Court Publishing . стр. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). ISBN 0-306-44790-8.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1965). Лекции Фейнмана по физике. Том III. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8.
• Сакурай, Дж. Дж.; Наполитано, Дж. (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42241-3.

• Ричард Фицпатрик, «Квантовая механика: курс для выпускников», Техасский университет в Остине. Включает:
  • 1. Кетское пространство
  • 2. Место для бюстгальтера
  • 3. Операторы
  • 4. Внешний продукт
  • 5. Собственные значения и собственные векторы
• Роберт Литтлджон, Конспект лекций по теме «Математический формализм квантовой механики», включая скобочную нотацию. Калифорнийский университет в Беркли.
• Gieres, F. (2000). «Математические сюрпризы и формализм Дирака в квантовой механике». Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893– 1931. arXiv : quant-ph/9907069 . Bibcode :2000RPPh...63.1893G. doi :10.1088/0034-4885/63/12/201. S2CID  10854218.