Элемент объема

В математике элемент объема обеспечивает средство для интегрирования функции относительно объема в различных системах координат, таких как сферические координаты и цилиндрические координаты . Таким образом, элемент объема представляет собой выражение вида , где являются координатами, так что объем любого множества может быть вычислен с помощью Например, в сферических координатах , и так .$${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2} \,\mathrm {d} u_{3}}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle Б}$$${\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\ mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}$${\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}$

Понятие элемента объема не ограничивается тремя измерениями: в двух измерениях он часто известен как элемент площади , и в этой обстановке он полезен для выполнения поверхностных интегралов . При изменении координат элемент объема изменяется на абсолютное значение определителя Якоби преобразования координат (по формуле замены переменных ). Этот факт позволяет определить элементы объема как своего рода меру на многообразии . На ориентируемом дифференцируемом многообразии элемент объема обычно возникает из формы объема : дифференциальной формы высшей степени . На неориентируемом многообразии элемент объема обычно является абсолютным значением (локально определенной) формы объема: он определяет 1-плотность .

В евклидовом пространстве элемент объема задается произведением дифференциалов декартовых координат. В различных системах координат вида , , , элемент объема изменяется на якобиан (определитель) изменения координат: Например, в сферических координатах (математическое соглашение) определитель якобиана таков, что Это можно рассматривать как частный случай того факта, что дифференциальные формы преобразуются посредством обратного хода как$${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z.}$$${\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned} }}$$$${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }$$$${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ rho ^ {2} \ sin \ phi \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi .}$$${\displaystyle F^{*}}$$${\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$

Рассмотрим линейное подпространство n -мерного евклидова пространства R ⁿ , которое покрыто совокупностью линейно независимых векторов. Чтобы найти элемент объема подпространства, полезно знать факт из линейной алгебры , что объем параллелепипеда, покрытый , равен квадратному корню из определителя матрицы Грама :$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}$$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}$$

Любой точке p в подпространстве можно задать координаты таким образом, что Если в точке p образовать небольшой параллелепипед со сторонами , то объем этого параллелепипеда будет равен квадратному корню из определителя матрицы Грамма. Таким образом, это определяет форму объема в линейном подпространстве.${\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots,u_{k})}$$${\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}$$${\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}$$${\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}$$

На ориентированном римановом многообразии размерности n элемент объема представляет собой форму объема, равную двойственной по Ходжу функции единичной константы : Эквивалентно, элемент объема представляет собой в точности тензор Леви-Чивиты . ^[1] В координатах, где — определитель метрического тензора g, записанный в системе координат.${\displaystyle f(x)=1}$$${\displaystyle \omega =\star 1.}$$ ${\displaystyle \epsilon}$$${\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$$${\displaystyle \det g}$

Простой пример элемента объема можно изучить, рассмотрев двумерную поверхность, вложенную в n -мерное евклидово пространство . Такой элемент объема иногда называют элементом площади . Рассмотрим подмножество и функцию отображения , таким образом определяющую поверхность, вложенную в . В двух измерениях объем — это просто площадь, а элемент объема дает способ определения площади частей поверхности. Таким образом, элемент объема — это выражение формы , которое позволяет вычислить площадь множества B, лежащего на поверхности, путем вычисления интеграла${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {Площадь} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}$$

Здесь мы найдем элемент объема на поверхности, который определяет площадь в обычном смысле. Матрица Якоби отображения имеет индекс i, пробегающий от 1 до n , и j, пробегающий от 1 до 2. Евклидова метрика в n -мерном пространстве индуцирует метрику на множестве U с матричными элементами$${\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}$$${\displaystyle g=J^{T}J}$$${\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}$$

Определитель метрики определяется выражением$${\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)}$$

Для регулярной поверхности этот определитель не равен нулю; эквивалентно, матрица Якоби имеет ранг 2.

Теперь рассмотрим изменение координат на U , заданное диффеоморфизмом, так что координаты задаются в терминах . Матрица Якоби этого преобразования задается как$${\displaystyle f\colon U\to U,}$$${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$${\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}$$${\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}$$

В новых координатах имеем и поэтому метрика преобразуется как где — метрика обратного хода в системе координат v . Определитель равен$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}$$$${\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}$$${\displaystyle {\tilde {g}}}$$${\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}$$

Учитывая вышеприведенную конструкцию, теперь должно быть легко понять, как элемент объема остается инвариантным при изменении координат, сохраняющем ориентацию.

В двух измерениях объем — это просто площадь. Площадь подмножества определяется интегралом${\displaystyle B\subset U}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, в любой системе координат элемент объема принимает одно и то же выражение: выражение элемента объема инвариантно относительно изменения координат.

Обратите внимание, что в приведенном выше представлении не было ничего конкретного относительно двух измерений; вышеизложенное тривиально обобщается на произвольные измерения.

Например, рассмотрим сферу с радиусом r с центром в начале координат в R ³ . Ее можно параметризовать с помощью сферических координат с картой Тогда и элемент площади равен$${\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}$$$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}$$

• Цилиндрическая система координат § Линейные и объемные элементы
• Сферическая система координат § Интеграция и дифференциация в сферических координатах
• Интеграл объема
• Поверхностный интеграл
• Интеграл линии
• Элемент линии

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+510, ISBN. 978-3-540-15279-8