Дифференциальный посет

В математике дифференциальный посет — это частично упорядоченное множество (или посет для краткости), удовлетворяющее определенным локальным свойствам. (Формальное определение дано ниже.) Это семейство посетов было введено Стэнли (1988) как обобщение решетки Юнга (посет целочисленных разбиений, упорядоченных включением), многие из комбинаторных свойств которого являются общими для всех дифференциальных посетов. Помимо решетки Юнга, другим наиболее значимым примером дифференциального посета является решетка Юнга–Фибоначчи .

Посет P называется дифференциальным посетом и, в частности, r - дифференциальным (где r — положительное целое число ), если он удовлетворяет следующим условиям:

• P градуирован и локально конечен с единственным минимальным элементом ;
• для каждых двух различных элементов x , y из P число элементов, охватывающих как x, так и y, равно числу элементов, охватываемых как x, так и  y ; и
• для каждого элемента x из P число элементов, покрывающих x, ровно на r больше числа элементов, покрываемых  x .

Эти основные свойства могут быть переформулированы различными способами. Например, Стэнли показывает, что число элементов, охватывающих два различных элемента x и y дифференциального частично упорядоченного множества, всегда равно 0 или 1, поэтому второе определяющее свойство может быть изменено соответствующим образом.

Определяющие свойства можно также переформулировать в следующей линейно-алгебраической постановке: принимая элементы частично упорядоченного множества P за формальные базисные векторы (бесконечномерного) векторного пространства , пусть D и U будут операторами, определенными так, что D  x равен сумме элементов, охватываемых x , а U  x равен сумме элементов, охватывающих  x . (Операторы D и U называются операторами вниз и вверх по понятным причинам.) Тогда второе и третье условия можно заменить утверждением, что DU  −  UD  =  r  I (где I — тождество).

Эта последняя переформулировка превращает дифференциальное частично упорядоченное множество в комбинаторную реализацию алгебры Вейля и, в частности, объясняет название «дифференциал» : операторы « d / dx » и «умножение на x » в векторном пространстве многочленов подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и U и D / r .

Каноническими примерами дифференциальных частично упорядоченных множеств являются решетка Юнга , частично упорядоченное множество целочисленных разбиений, упорядоченных по включению, и решетка Юнга–Фибоначчи . В первоначальной статье Стэнли было установлено, что решетка Юнга является единственной 1-дифференциальной дистрибутивной решеткой , в то время как Бирнс (2012) показал, что это единственные 1-дифференциальные решетки .

Существует каноническая конструкция (называемая «отражением») дифференциального частично упорядоченного множества, заданного конечным частично упорядоченным множеством, которое подчиняется всем определяющим аксиомам ниже своего верхнего ранга. (Решетка Юнга–Фибоначчи — это частично упорядоченное множество, которое возникает при применении этой конструкции, начиная с одной точки.) Это можно использовать для того, чтобы показать, что существует бесконечно много дифференциальных частично упорядоченных множеств. Стэнли (1988) включает замечание о том, что «[Дэвид] Вагнер описал очень общий метод построения дифференциальных частично упорядоченных множеств, который делает маловероятным, что [их можно классифицировать]». Это уточняется в Льюисе (2007), где показано, что существует несчетное количество 1-дифференциальных частично упорядоченных множеств . С другой стороны, явные примеры дифференциальных частично упорядоченных множеств редки; Льюис (2007) дает свернутое описание дифференциального частично упорядоченного множества, отличного от решеток Юнга и Янга–Фибоначчи.

Решетка Юнга-Фибоначчи имеет естественный r -дифференциальный аналог для каждого положительного целого числа  r . Эти частично упорядоченные множества являются решетками и могут быть построены с помощью вариации конструкции отражения. Кроме того, произведение r -дифференциального и s -дифференциального частично упорядоченного множества всегда является ( r  +  s )-дифференциальным частично упорядоченным множеством. Эта конструкция также сохраняет свойство решетки. Неизвестно для любого r > 1, существуют ли какие-либо r -дифференциальные решетки, отличные от тех, которые возникают при взятии произведений решеток Юнга-Фибоначчи и решетки Юнга.

В дополнение к вопросу о том, существуют ли другие дифференциальные решетки, существует несколько давно открытых проблем, связанных с ростом ранга дифференциальных частично упорядоченных множеств. В работе Стэнли (1988) было высказано предположение , что если P — дифференциальное частично упорядоченное множество с r _n вершинами в ранге n , то

${\displaystyle p(n)\leq r_{n}\leq F_{n},}$

где p ( n ) — число целочисленных разбиений n , а F _n — n- е число Фибоначчи . Другими словами, гипотеза утверждает, что в каждом ранге каждое дифференциальное частично упорядоченное множество имеет число вершин, лежащих между числами для решетки Юнга и решетки Юнга-Фибоначчи. Верхняя граница была доказана в Byrnes (2012), в то время как нижняя граница остается открытой. Stanley & Zanello (2012) доказали асимптотическую версию нижней границы, показав, что

${\displaystyle r_{n}\gg n^{a}\exp(2{\sqrt {n}})}$

для каждого дифференциального частично упорядоченного множества и некоторой константы a . Для сравнения, функция распределения имеет асимптотику

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right).}$

Все известные границы ранговых размеров дифференциальных частично упорядоченных множеств являются быстро растущими функциями. В оригинальной статье Стэнли было показано (с использованием собственных значений оператора DU ), что ранговые размеры слабо увеличиваются. Однако потребовалось 25 лет, прежде чем Миллер (2013) показал, что ранговые размеры r -дифференциального частично упорядоченного множества строго увеличиваются (за исключением тривиального случая между рангами 0 и 1, когда r  = 1).

Каждый дифференциальный посет P имеет большое количество комбинаторных свойств. Некоторые из них включают:

• Число путей длины 2 n в диаграмме Хассе P , начинающихся и заканчивающихся в минимальном элементе, равно (2 n − 1)!! , где m !! — функция двойного факториала . В r -дифференциальном частично упорядоченном множестве число таких путей равно (2 n − 1)!!  r ⁿ . ^[1]
• Число путей длины 2 n в диаграмме Хассе множества P, начинающихся с минимального элемента, так что первые n шагов покрывают отношения от меньшего к большему элементу P , а последние n шагов покрывают отношения от большего к меньшему элементу P , равно n ! . В r -дифференциальном частично упорядоченном множестве число равно n !  r ⁿ . ^[2]
• Число восходящих путей длины n в диаграмме Хассе P, начинающихся с минимального элемента, равно числу инволюций в симметрической группе на n буквах. В r -дифференциальном частично упорядоченном множестве последовательность этих чисел имеет экспоненциальную производящую функцию e ^{rx + x 2 /2} . ^[3]

В дифференциальном частично упорядоченном множестве один и тот же набор ребер используется для вычисления операторов вверх и вниз U и D. Если разрешить различные наборы верхних и нижних ребер (разделяющих одни и те же наборы вершин и удовлетворяющих одному и тому же отношению), то результирующая концепция — это двойственный градуированный граф , первоначально определенный Фоминым (1994). Дифференциальные частично упорядоченные множества восстанавливаются в случае, когда два набора ребер совпадают.

Большая часть интереса к дифференциальным частично упорядоченным множествам вызвана их связями с теорией представлений . Элементами решетки Юнга являются целочисленные разбиения, которые кодируют представления симметричных групп и связаны с кольцом симметричных функций ; Окада (1994) определил алгебры , представление которых кодируется решеткой Юнга–Фибоначчи, и допускает аналогичные конструкции, такие как версия Фибоначчи симметричных функций. Неизвестно, существуют ли подобные алгебры для каждого дифференциального частично упорядоченного множества. ^{[ необходима цитата ]} В другом направлении Лам и Шимозоно (2007) определили дуальные градуированные графы, соответствующие любой алгебре Каца–Муди .

Возможны и другие варианты; Стэнли (1990) определил версии, в которых число r в определении меняется от ранга к рангу, в то время как Лэм (2008) определил знаковый аналог дифференциальных частично упорядоченных множеств, в котором отношениям покрытия может быть назначен «вес» −1.

• Стэнли, Ричард (2011), Перечислительная комбинаторика (PDF) , т. 1 (2-е изд.), архивировано из оригинала (PDF) 2011-05-31 , извлечено 2015-09-21
• Бирнс, Патрик (2012), Структурные аспекты дифференциальных частично упорядоченных множеств , ISBN 9781267855169
• Фомин, Сергей (1994), «Двойственность градуированных графов», Журнал алгебраической комбинаторики , 3 (4): 357–404, doi : 10.1023/A:1022412010826
• Лэм, Томас Ф. (2008), «Знаковые дифференциальные частично упорядоченные множества и знаковый дисбаланс», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 115 (3): 466–484, arXiv : math/0611296 , doi : 10.1016/j.jcta.2007.07.003, S2CID  10802016
• Лэм, Томас Ф.; Шимозоно, Марк (2007), «Двойственные градуированные графы для алгебр Каца-Муди», Алгебра и теория чисел , 1 (4): 451–488, arXiv : math/0702090 , doi : 10.2140/ant.2007.1.451, S2CID  18253442
• Льюис, Джоэл Брюстер (2007), О дифференциальных частично упорядоченных множествах (PDF)( Диссертация бакалавра Гарвардского колледжа )
• Миллер, Александр (2013), «Дифференциальные частично упорядоченные множества имеют строгий рост ранга: гипотеза Стэнли», Order , 30 (2): 657–662, arXiv : 1202.3006 , doi : 10.1007/s11083-012-9268-y, S2CID  38737147
• Окада, Соичи (1994), «Алгебры, связанные с решеткой Юнга-Фибоначчи», Труды Американского математического общества , 346 (2), Американское математическое общество: 549–568, doi : 10.2307/2154860 , JSTOR  2154860
• Стэнли, Ричард П. (1988), «Дифференциальные частично упорядоченные множества», Журнал Американского математического общества , 1 (4), Американское математическое общество: 919–961, doi : 10.2307/1990995 , JSTOR  1990995
• Стэнли, Ричард П. (1990), «Вариации дифференциальных частично упорядоченных множеств», Теория инвариантов и таблицы (Миннеаполис, Миннесота), 1988 , IMA Vol. Math. Appl., т. 19, Springer, стр. 145–165
• Стэнли, Ричард П.; Занелло, Фабрицио (2012), «О ранговой функции дифференциального частично упорядоченного множества», Electronic Journal of Combinatorics , 19 (2): P13, arXiv : 1111.4371 , doi : 10.37236/2258 , S2CID  7405057