Диффеоморфометрия
Метрическое исследование формы и вида в вычислительной анатомии

Диффеоморфометрия — это метрическое исследование образов, форм и очертаний в дисциплине вычислительной анатомии (CA) в медицинской визуализации . Изучение изображений в вычислительной анатомии основано на группах многомерных диффеоморфизмов , которые генерируют орбиты формы , в которой изображения могут быть плотными скалярными изображениями магнитного резонанса или компьютерной аксиальной томографии . Для деформируемых форм это набор многообразий , точек, кривых и поверхностей . Диффеоморфизмы перемещают изображения и формы по орбите, в соответствии с которой определяются как групповые действия вычислительной анатомии . φ ∈ Разница В {\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}} я ≐ { φ ⋅ я ∣ φ ∈ Разница В } {\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}} я ∈ я {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}} М ≐ { φ ⋅ М ∣ φ ∈ Разница В } {\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}} ( φ , я ) ↦ φ ⋅ я {\displaystyle (\varphi,I)\mapsto \varphi \cdot I}

Орбита форм и образов превращается в метрическое пространство путем наведения метрики на группу диффеоморфизмов. Изучение метрик на группах диффеоморфизмов и изучение метрик между многообразиями и поверхностями стало областью значительных исследований. [1] [2] [3] [4 ] [ 5] [6] [7] [8] [9] В вычислительной анатомии метрика диффеоморфометрии измеряет, насколько близко и далеко друг от друга находятся две формы или изображения. Неформально метрика строится путем определения потока диффеоморфизмов , которые соединяют элементы группы друг с другом, так что для тогда . Метрика между двумя системами координат или диффеоморфизмами тогда является кратчайшей длиной или геодезическим потоком , соединяющим их. Метрика на пространстве, связанном с геодезическими, задается как . Метрики на орбитах наследуются от метрики, индуцированной на группе диффеоморфизмов. ϕ ˙ т , т ∈ [ 0 , 1 ] , ϕ т ∈ Разница В {\displaystyle {\dot {\phi }}_{t},t\in [0,1],\phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}} φ , ψ ∈ Разница В {\displaystyle \varphi,\psi \in \operatorname {Diff} _{V}} ϕ 0 = φ , ϕ 1 = ψ {\displaystyle \phi _{0}=\varphi,\phi _{1}=\psi } ρ ( φ , ψ ) = инф ϕ : ϕ 0 = φ , ϕ 1 = ψ ∫ 0 1 ‖ ϕ ˙ т ‖ ϕ т г т {\displaystyle \rho (\varphi,\psi)=\inf _{\phi:\phi _{0}=\varphi,\phi _{1} =\psi }\int _{0}^{1} \|{\dot {\phi }}_{t}\|_{\phi _{t}}\,dt} я , М {\displaystyle {\mathcal {I}}, {\mathcal {M}}}

Группа , таким образом, превращается в гладкое риманово многообразие с римановой метрикой, связанной с касательными пространствами во всех . Риманова метрика удовлетворяет в каждой точке многообразия существует скалярное произведение, индуцирующее норму на касательном пространстве , которая плавно изменяется по . φ ∈ Разница В {\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}} ‖ ⋅ ‖ φ {\displaystyle \|\cdot \|_{\varphi }} φ ∈ Разница В {\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}} ϕ ∈ Разница В {\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}} ‖ ϕ ˙ т ‖ ϕ т {\displaystyle \|{\dot {\phi }}_{t} \|_{\phi _{t}}} Разница В {\displaystyle \operatorname {Диф} _{V}}

Часто знакомая евклидова метрика не применима напрямую, поскольку шаблоны форм и изображений не образуют векторное пространство . В модели римановой орбиты вычислительной анатомии диффеоморфизмы, действующие на формы, не действуют линейно. Существует много способов определения метрик, и для множеств, связанных с формами, метрика Хаусдорфа является другим. Метод, используемый для индукции римановой метрики , заключается в индукции метрики на орбите форм путем определения ее в терминах метрической длины между диффеоморфными преобразованиями систем координат потоков. Измерение длин геодезического потока между системами координат на орбите форм называется диффеоморфометрией . φ ⋅ я ∈ я , φ ∈ Разница В , М ∈ М {\displaystyle \varphi \cdot I\in {\mathcal {I}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},M\in {\mathcal {M}}}

Группа диффеоморфизмов, генерируемая как лагранжевы и эйлеровы потоки

Диффеоморфизмы в вычислительной анатомии генерируются для удовлетворения лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потока , генерируемых с помощью обыкновенного дифференциального уравнения φ т , т ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}

г г т φ т = в т ∘ φ т ,   φ 0 = идентификатор ; {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}=\operatorname {id} ;} ( Лагранжев поток )

с эйлеровыми векторными полями в для . Обратное для потока задается как и матрица Якоби для потоков в задается как в ≐ ( в 1 , в 2 , в 3 ) {\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})} Р 3 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} в т = φ ˙ т ∘ φ т − 1 , т ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]} г г т φ т − 1 = − ( Д φ т − 1 ) в т ,   φ 0 − 1 = идентификатор , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=- (D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{ 0}^{-1}=\operatorname {id} ,} 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} Р 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}   Д φ ≐ ( ∂ φ я ∂ х дж ) . {\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}

Для обеспечения гладких потоков диффеоморфизмов с обратными векторными полями они должны быть по крайней мере однократно непрерывно дифференцируемыми в пространстве [10] [11] , которое моделируется как элементы гильбертова пространства с использованием теорем вложения Соболева, так что каждый элемент имеет производные, интегрируемые в квадрате 3, что подразумевает гладкие вложения в однократно непрерывно дифференцируемые функции. [10] [11] Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в норме Соболева: Р 3 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} ( В , ‖ ⋅ ‖ В ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})} в я ∈ ЧАС 0 3 , я = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,} ( В , ‖ ⋅ ‖ В ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}

Разница В ≐ { φ = φ 1 : φ ˙ т = в т ∘ φ т , φ 0 = идентификатор , ∫ 0 1 ‖ в т ‖ В г т < ∞ }   . {\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\doteq \{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t },\varphi _{0}=\operatorname {id},\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \}\ .} ( Группа Диффеоморфизмов )

Модель римановой орбиты

Формы в вычислительной анатомии (CA) изучаются с помощью диффеоморфного отображения для установления соответствий между анатомическими системами координат. В этой настройке трехмерные медицинские изображения моделируются как диффеоморфные преобразования некоторого образца, называемого шаблоном , в результате чего наблюдаемые изображения становятся элементами модели случайных орбит CA . Для изображений они определяются как , а для диаграмм, представляющих подмногообразия, обозначаются как . я т е м п {\displaystyle I_{temp}} я ∈ я ≐ { я = я т е м п ∘ φ , φ ∈ Разница В } {\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}} М ≐ { φ ⋅ М т е м п : φ ∈ Разница В } {\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M_{temp}:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}

Риманова метрика

Орбита форм и образов в Computational Anatomy генерируется действием группы , . Они превращаются в римановы орбиты путем введения метрики, связанной с каждой точкой и соответствующим касательным пространством. Для этого метрика определяется на группе, которая индуцирует метрику на орбите. Возьмем в качестве метрики для Computational anatomy в каждом элементе касательного пространства в группе диффеоморфизмов я ≐ { φ ⋅ я : φ ∈ Разница В } {\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}} М ≐ { φ ⋅ М : φ ∈ Разница В } {\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}} φ ∈ Разница В {\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}

‖ φ ˙ ‖ φ ≐ ‖ φ ˙ ∘ φ − 1 ‖ В = ‖ в ‖ В , {\displaystyle \|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\| v\|_{V},}

с векторными полями, смоделированными в гильбертовом пространстве с нормой в гильбертовом пространстве . Мы моделируем как воспроизводящее ядро ​​гильбертово пространство (RKHS), определяемое дифференциальным оператором 1-1 , где — дуальное пространство. В общем случае — обобщенная функция или распределение, линейная форма, связанная со скалярным произведением, и норма для обобщенных функций интерпретируется путем интегрирования по частям в соответствии с для , ( В , ‖ ⋅ ‖ В ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})} В {\displaystyle V} А : В → В ∗ {\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}} В ∗ {\displaystyle V^{*}} σ ≐ А в ∈ В ∗ {\displaystyle \sigma \doteq Av\in V^{*}} в , ж ∈ В {\displaystyle v,w\in V}

⟨ в , ж ⟩ В ≐ ∫ Х А в ⋅ ж г х ,   ‖ в ‖ В 2 ≐ ∫ Х А в ⋅ в г х ,   в , ж ∈ В   . {\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}

Когда , векторная плотность, A v ≐ μ d x {\displaystyle Av\doteq \mu \,dx} ∫ A v ⋅ v d x ≐ ∫ μ ⋅ v d x = ∑ i = 1 3 μ i v i d x . {\displaystyle \int Av\cdot v\,dx\doteq \int \mu \cdot v\,dx=\sum _{i=1}^{3}\mu _{i}v_{i}\,dx.}

Дифференциальный оператор выбирается так, чтобы ядро ​​Грина, связанное с обратным оператором, было достаточно гладким, чтобы векторные поля поддерживали 1-непрерывную производную . Аргументы теоремы вложения Соболева были приведены для демонстрации того, что 1-непрерывная производная требуется для гладких потоков. Оператор Грина , сгенерированный из функции Грина (скалярный случай), связанный с дифференциальным оператором, сглаживает.

Для правильного выбора тогда есть RKHS с оператором . Ядра Грина, связанные с дифференциальным оператором, сглаживают, поскольку для управления достаточным количеством производных в квадратично-интегральном смысле ядро ​​непрерывно дифференцируемо по обеим переменным, что подразумевает A {\displaystyle A} ( V , ‖ ⋅ ‖ V ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})} K = A − 1 : V ∗ → V {\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V} k ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}

K A v ( x ) i ≐ ∑ j ∫ R 3 k i j ( x , y ) A v j ( y ) d y ∈ V   . {\displaystyle KAv(x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)Av_{j}(y)\,dy\in V\ .}

Диффеоморфометрия пространства форм и образов

Правоинвариантная метрика на диффеоморфизмах

Метрика на группе диффеоморфизмов определяется расстоянием, определенным на парах элементов в группе диффеоморфизмов согласно

d D i f f V ( ψ , φ ) = inf v t ( ∫ 0 1 ∫ X A v t ⋅ v t d x d t : ϕ 0 = ψ , ϕ 1 = φ , ϕ ˙ t = v t ∘ ϕ t ) 1 / 2   . {\displaystyle d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=\inf _{v_{t}}\left(\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt:\phi _{0}=\psi ,\phi _{1}=\varphi ,{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}\right)^{1/2}\ .} ( метрические диффеоморфизмы )

Это расстояние обеспечивает правоинвариантную метрику диффеоморфометрии, [12] [13] [14] инвариантную к перепараметризации пространства, поскольку для всех , ϕ ∈ Diff V {\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}}

d Diff V ( ψ , φ ) = d Diff V ( ψ ∘ ϕ , φ ∘ ϕ ) . {\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \phi ,\varphi \circ \phi ).}

Метрика форм и образов

Расстояние на изображениях, [15] , d I : I × I → R + {\displaystyle d_{\mathcal {I}}:{\mathcal {I}}\times {\mathcal {I}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}

d I ( I , J ) = inf ϕ ∈ Diff V : ϕ ⋅ I = J d Diff V ( i d , ϕ )   ; {\displaystyle d_{\mathcal {I}}(I,J)=\inf _{\phi \in \operatorname {Diff} _{V}:\phi \cdot I=J}d_{\operatorname {Diff} _{V}}(id,\phi )\ ;} ( метрические-формы-формы )

Расстояние по формам и видам, [16] , d M : M × M → R + {\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}

d M ( M , N ) = inf ϕ ∈ Diff V : ϕ ⋅ M = N d D i f f V ( id , ϕ )   . {\displaystyle d_{\mathcal {M}}(M,N)=\inf _{\phi \in \operatorname {Diff} _{V}:\phi \cdot M=N}d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\operatorname {id} ,\phi )\ .} ( метрические-формы-формы )

Метрика геодезических потоков ориентиров, поверхностей и объемов внутри орбиты

Для вычисления метрики геодезические представляют собой динамическую систему, поток координат и управление векторным полем связаны посредством Гамильтоново представление [17] [18] [19] [20] [21] перепараметризует распределение импульса в терминах гамильтонова импульса , множителя Лагранжа, ограничивающего лагранжеву скорость . Соответственно: t ↦ ϕ t ∈ Diff V {\displaystyle t\mapsto \phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}} t ↦ v t ∈ V {\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V} ϕ ˙ t = v t ⋅ ϕ t , ϕ 0 = id . {\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\cdot \phi _{t},\phi _{0}=\operatorname {id} .} A v ∈ V ∗ {\displaystyle Av\in V^{*}} p : ϕ ˙ ↦ ( p ∣ ϕ ˙ ) {\displaystyle p:{\dot {\phi }}\mapsto (p\mid {\dot {\phi }})} ϕ ˙ t = v t ∘ ϕ t {\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}

H ( ϕ t , p t , v t ) = ∫ X p t ⋅ ( v t ∘ ϕ t ) d x − 1 2 ∫ X A v t ⋅ v t d x . {\displaystyle H(\phi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \phi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}

Принцип максимума Понтрягина [17] дает гамильтониан Оптимизирующее векторное поле с динамикой . Вдоль геодезической гамильтониан постоянен: [22] . Метрическое расстояние между системами координат, связанными геодезической, определяется индуцированным расстоянием между единичным и групповым элементом: H ( ϕ t , p t ) ≐ max v H ( ϕ t , p t , v )   . {\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)\ .} v t ≐ argmax v ⁡ H ( ϕ t , p t , v ) {\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)} ϕ ˙ t = ∂ H ( ϕ t , p t ) ∂ p , p ˙ t = − ∂ H ( ϕ t , p t ) ∂ ϕ {\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}={\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial p}},{\dot {p}}_{t}=-{\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial \phi }}} H ( ϕ t , p t ) = H ( id , p 0 ) = 1 2 ∫ X p 0 ⋅ v 0 d x {\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})=H(\operatorname {id} ,p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot v_{0}\,dx}

d D i f f V ( id , φ ) = ‖ v 0 ‖ V = 2 H ( id , p 0 ) {\displaystyle d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\operatorname {id} ,\varphi )=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H(\operatorname {id} ,p_{0})}}}

Геодезические ориентиры или точки

Для ориентиров , , гамильтонов импульс x i , i = 1 , … , n {\displaystyle x_{i},i=1,\dots ,n}

p ( i ) , i = 1 , … , n {\displaystyle p(i),i=1,\dots ,n}

с динамикой Гамильтона, принимающей форму

H ( ϕ t , p t ) = 1 2 ∑ j ∑ i p t ( i ) ⋅ K ( ϕ t ( x i ) , ϕ t ( x j ) ) p t ( j ) {\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{j}\sum _{i}\displaystyle p_{t}(i)\cdot K(\phi _{t}(x_{i}),\phi _{t}(x_{j}))p_{t}(j)}

с

{ v t = ∑ i K ( ⋅ , ϕ t ( x i ) ) p t ( i ) ,   p ˙ t ( i ) = − ( D v t ) | ϕ t ( x i ) T p t ( i ) , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \sum _{i}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x_{i}))p_{t}(i),\ \\{\dot {p}}_{t}(i)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x_{i})}}^{T}p_{t}(i),i=1,2,\dots ,n\\\end{cases}}}

Метрика между ориентирами d 2 = ∑ i p 0 ( i ) ⋅ ∑ j K ( x i , x j ) p 0 ( j ) . {\displaystyle d^{2}=\textstyle \sum _{i}p_{0}(i)\cdot \sum _{j}\displaystyle K(x_{i},x_{j})p_{0}(j).}

Динамика, связанная с этими геодезическими, показана на прилагаемом рисунке.

Геодезические исследования поверхности

Для поверхностей гамильтонов импульс определяется по всей поверхности, имеет гамильтониан

H ( ϕ t , p t ) = 1 2 ∫ U ∫ U p t ( u ) ⋅ K ( ϕ t ( m ( u ) ) , ϕ t ( m ( v ) ) ) p t ( v ) d u d v {\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{U}\int _{U}p_{t}(u)\cdot K(\phi _{t}(m(u)),\phi _{t}(m(v)))p_{t}(v)\,du\,dv}

и динамика

{ v t = ∫ U K ( ⋅ , ϕ t ( m ( u ) ) ) p t ( u ) d u   , p ˙ t ( u ) = − ( D v t ) | ϕ t ( m ( u ) ) T p t ( u ) , u ∈ U {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{U}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(m(u)))p_{t}(u)\,du\ ,\\{\dot {p}}_{t}(u)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(m(u))}}^{T}p_{t}(u),u\in U\end{cases}}}
Метрика между координатами поверхности d 2 = ( p 0 ∣ v 0 ) = ∫ U p 0 ( u ) ⋅ ∫ U K ( m ( u ) , m ( u ′ ) ) p 0 ( u ′ ) d u d u ′ {\displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{U}p_{0}(u)\cdot \int _{U}K(m(u),m(u^{\prime }))p_{0}(u^{\prime })\,du\,du^{\prime }}

Объемная геодезическая

Для объемов гамильтониан

H ( ϕ t , p t ) = 1 2 ∫ R 3 ∫ R 3 p t ( x ) ⋅ K ( ϕ t ( x ) , ϕ t ( y ) ) p t ( y ) d x d y {\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}p_{t}(x)\cdot K(\phi _{t}(x),\phi _{t}(y))p_{t}(y)\,dx\,dy\displaystyle }

с динамикой

{ v t = ∫ X K ( ⋅ , ϕ t ( x ) ) p t ( x ) d x   , p ˙ t ( x ) = − ( D v t ) | ϕ t ( x ) T p t ( x ) , x ∈ R 3 {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{X}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x))p_{t}(x)\,dx\ ,\\{\dot {p}}_{t}(x)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x)}}^{T}p_{t}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}\end{cases}}}
Метрика между объемами d 2 = ( p 0 ∣ v 0 ) = ∫ R 3 p 0 ( x ) ⋅ ∫ R 3 K ( x , y ) p 0 ( y ) d y d x . {\displaystyle \displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}p_{0}(x)\cdot \int _{{\mathbb {R} }^{3}}K(x,y)p_{0}(y)\,dy\,dx.}

Программное обеспечение для диффеоморфного отображения

Программные пакеты , содержащие различные алгоритмы диффеоморфного отображения, включают в себя следующее:

Облачное программное обеспечение

  • MRICloud [29]

Ссылки

  1. ^ Миллер, MI; Юнес, Л. (2001-01-01). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общая структура». International Journal of Computer Vision . 41 (1–2): 61–84. doi :10.1023/A:1011161132514. ISSN  0920-5691. S2CID  15423783.
  2. ^ Younes, L. (1998-04-01). «Вычислимые упругие расстояния между формами». Журнал SIAM по прикладной математике . 58 (2): 565–586. CiteSeerX 10.1.1.45.503 . doi :10.1137/S0036139995287685. 
  3. ^ Mio, Вашингтон; Srivastava, Anuj; Joshi, Shantanu (2006-09-25). «О форме плоских упругих кривых». International Journal of Computer Vision . 73 (3): 307–324. CiteSeerX 10.1.1.138.2219 . doi :10.1007/s11263-006-9968-0. S2CID  15202271. 
  4. ^ Michor, Peter W.; Mumford, David; Shah, Jayant; Younes, Laurent (2008). «Метрика в пространстве форм с явными геодезическими». Rend. Lincei Mat. Appl. () . 9 (2008): 25–57. arXiv : 0706.4299 . Bibcode :2007arXiv0706.4299M.
  5. ^ Michor, Peter W.; Mumford, David (2007). «Обзор римановых метрик на пространствах кривых с использованием гамильтоновского подхода». Applied and Computational Harmonic Analysis . 23 (1): 74–113. arXiv : math/0605009 . doi :10.1016/j.acha.2006.07.004. S2CID  732281.
  6. ^ Куртек, Себастьян; Классен, Эрик; Гор, Джон К.; Дин, Чжаохуа; Шривастава, Анудж (2012-09-01). «Эластичные геодезические пути в пространстве форм параметризованных поверхностей». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 34 (9): 1717–1730. doi :10.1109/TPAMI.2011.233. PMID  22144521. S2CID  7178535.
  7. ^ Шривастава, Анудж; Классен, Эрик; Джоши, Шантану Х.; Джермин, Ян Х. (2011). «Анализ формы упругих кривых в евклидовых пространствах». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 33 (7): 1415–1428. doi :10.1109/TPAMI.2010.184. ISSN  1939-3539. PMID  20921581. S2CID  12578618.
  8. ^ Jermyn, Ian H.; Kurtek, Sebastian; Klassen, Eric; Srivastava, Anuj (2012), Fitzgibbon, Andrew; Lazebnik, Svetlana; Perona, Pietro; Sato, Yoichi (ред.), "Elastic Shape Matching of Parameterized Surfaces Using Square Root Normal Fields", Computer Vision – ECCV 2012 , т. 7576, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 804–817, doi : 10.1007/978-3-642-33715-4_58 , ISBN 978-3-642-33714-7
  9. ^ Джермин, Ян Х.; Куртек, Себастьян; Лага, Хамид; Шривастава, Анудж (15.09.2017). «Анализ упругой формы трехмерных объектов». Synthesis Lectures on Computer Vision . 7 (3): 1–185. doi :10.2200/s00785ed1v01y201707cov012. ISSN  2153-1056. S2CID  52096321.
  10. ^ ab P. Dupuis, U. Grenander, MI Miller, Существование решений для потоков диффеоморфизмов, Quarterly of Applied Math, 1997.
  11. ^ аб А. Труве. Действия группы бесконечных измерений и разведка форм. CR Acad Sci Paris Ser I Math, 321(8):1031–1034, 1995.
  12. ^ Миллер, MI; Юнес, Л. (2001-01-01). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общая структура». Международный журнал компьютерного зрения . 41 : 61–84. CiteSeerX 10.1.1.37.4816 . doi :10.1023/A:1011161132514. S2CID  15423783. 
  13. ^ Миллер, М. И.; Юнес, Л.; Труве, А. (2014). «Диффеоморфометрия и геодезические системы позиционирования для анатомии человека». Технологии . 2 (1): 36. doi :10.1142/S2339547814500010. PMC 4041578. PMID  24904924 . 
  14. ^ Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (2015-01-01). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со дня Д'Арси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 (1): 447–509. doi :10.1146/annurev-bioeng-071114-040601. PMID  26643025.
  15. ^ Миллер, MI; Юнес, Л. (2001-01-01). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общая структура». Международный журнал компьютерного зрения . 41 : 61–84. CiteSeerX 10.1.1.37.4816 . doi :10.1023/A:1011161132514. S2CID  15423783. 
  16. ^ Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран; Труве, Ален (март 2014 г.). «Диффеоморфометрия и геодезические системы позиционирования для анатомии человека». Технологии . 2 (1): 36. doi :10.1142/S2339547814500010. ISSN  2339-5478. PMC 4041578. PMID 24904924  . 
  17. ^ ab Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (2015-01-01). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со дня Дарси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 (1): 447–509. doi :10.1146/annurev-bioeng-071114-040601. PMID  26643025.
  18. ^ Glaunès J, Trouvé A, Younes L. 2006. Моделирование изменения плоской формы с помощью гамильтоновых потоков кривых. В Statistics and Analysis of Shapes, ред. H Krim, A Yezzi Jr, стр. 335–61. Model. Simul. Sci. Eng. Technol. Boston: Birkhauser
  19. ^ Аргиллер С., Трела Э., Труве А., Юнес Л. 2014. Анализ деформации формы с точки зрения оптимального управления. arXiv : 1401.0661 [math.OC]
  20. ^ Миллер, MI; Юнес, L; Труве, A (2014). «Диффеоморфометрия и геодезические системы позиционирования для анатомии человека». Technology (Singap World Sci) . 2 (1): 36. doi :10.1142/S2339547814500010. PMC 4041578. PMID  24904924 . 
  21. ^ Michor, Peter W.; Mumford, David (2007-07-01). "Обзор римановых метрик на пространствах кривых с использованием гамильтоновского подхода". Applied and Computational Harmonic Analysis . Специальный выпуск по математической визуализации. 23 (1): 74–113. arXiv : math/0605009 . doi :10.1016/j.acha.2006.07.004. S2CID  732281.
  22. ^ Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (2015-01-01). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со дня Д'Арси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 (1): 447–509. doi :10.1146/annurev-bioeng-071114-040601. PMID  26643025.
  23. ^ Программное обеспечение - Стэнли Дуррлеман (Отчет).
  24. ^ Avants, Brian B.; Tustison, Nicholas J.; Song, Gang; Cook, Philip A.; Klein, Arno; Gee, James C. (2011-02-01). «Воспроизводимая оценка показателей подобия ANT при регистрации изображений мозга». NeuroImage . 54 (3): 2033–2044. doi :10.1016/j.neuroimage.2010.09.025. ISSN  1053-8119. PMC 3065962 . PMID  20851191. 
  25. ^ Эшбёрнер, Джон (15.10.2007). «Быстрый алгоритм регистрации диффеоморфных изображений». NeuroImage . 38 (1): 95–113. doi :10.1016/j.neuroimage.2007.07.007. PMID  17761438. S2CID  545830.
  26. ^ "Программное обеспечение - Том Веркаутерен" . сайты.google.com . Проверено 11 декабря 2015 г.
  27. ^ Бег, М. Фейсал; Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (2005-02-01). «Вычисление метрических отображений больших деформаций с помощью геодезических потоков диффеоморфизмов». Международный журнал компьютерного зрения . 61 (2): 139–157. doi :10.1023/B:VISI.0000043755.93987.aa. ISSN  0920-5691. S2CID  17772076.
  28. ^ "Сравнение алгоритмов диффеоморфной регистрации: стационарный LDDMM и диффеоморфные демоны (доступна загрузка PDF)". ResearchGate . Получено 2017-12-02 .
  29. ^ "MRICloud". Университет Джонса Хопкинса . Получено 1 января 2015 г.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Diffeomorphometry&oldid=1246712648"