Подпространства без декогеренции

Подпространство без декогеренции ( DFS ) — это подпространство гильбертова пространства квантовой системы , которое инвариантно к неунитарной динамике . Иначе говоря, они представляют собой небольшую часть гильбертова пространства системы, где система отделена от окружающей среды, и, таким образом, ее эволюция полностью унитарна. DFS также можно охарактеризовать как особый класс кодов коррекции квантовых ошибок. В этом представлении они являются пассивными кодами предотвращения ошибок, поскольку эти подпространства закодированы с информацией, которая (возможно) не потребует никаких активных методов стабилизации. Эти подпространства предотвращают деструктивные взаимодействия с окружающей средой, изолируя квантовую информацию . Как таковые, они являются важным предметом в квантовых вычислениях , где ( когерентное ) управление квантовыми системами является желаемой целью. Декогеренция создает проблемы в этом отношении, вызывая потерю когерентности между квантовыми состояниями системы и, следовательно, распад их интерференционных членов, что приводит к потере информации из (открытой) квантовой системы в окружающую среду. Поскольку квантовые компьютеры не могут быть изолированы от окружающей среды (т.е. в реальном мире не может быть по-настоящему изолированной квантовой системы) и информация может быть потеряна, изучение DFS важно для внедрения квантовых компьютеров в реальный мир.

Изучение DFS началось с поиска структурированных методов, позволяющих избежать декогеренции в области квантовой обработки информации (QIP). Методы включали попытки идентифицировать конкретные состояния, которые потенциально могут быть неизменными при определенных процессах декогеренции (т. е. определенных взаимодействиях с окружающей средой). Эти исследования начались с наблюдений, сделанных GM Palma, KA Suominen и AK Ekert , которые изучали последствия чистой дефазировки на двух кубитах , которые имеют одинаковое взаимодействие с окружающей средой. Они обнаружили, что два таких кубита не декогерируют. ^[1] Первоначально термин «субдекогеренция» использовался Palma для описания этой ситуации. Также следует отметить независимую работу Martin Plenio , Vlatko Vedral и Peter Knight, которые построили код исправления ошибок с кодовыми словами, которые инвариантны относительно определенной унитарной временной эволюции в спонтанном излучении. ^[2]

Вскоре после этого LM Duan и GC Guo также изучили это явление и пришли к тем же выводам, что и Palma, Suominen и Ekert. Однако Duan и Guo применили свою собственную терминологию, используя «состояния сохранения когерентности» для описания состояний, которые не декогерируют при дефазировке. Duan и Guo развили эту идею объединения двух кубитов для сохранения когерентности против дефазировки, как для коллективной дефазировки, так и для диссипации, показывая, что декогеренция предотвращается в такой ситуации. Это было показано, предполагая знание силы связи система- среда. Однако такие модели были ограничены, поскольку они имели дело исключительно с процессами декогеренции дефазировки и диссипации. Чтобы иметь дело с другими типами декогеренции, предыдущие модели, представленные Palma, Suominen и Ekert, а также Duan и Guo, были преобразованы в более общую постановку P. Zanardi и M. Rasetti. Они расширили существующую математическую структуру, включив в нее более общие взаимодействия системы и среды, такие как коллективная декогеренция — тот же процесс декогеренции, действующий на все состояния квантовой системы и общие гамильтонианы . Их анализ дал первые формальные и общие обстоятельства для существования состояний без декогеренции (DF), которые не полагались на знание силы связи система-среда. Занарди и Разетти назвали эти DF-состояния «кодами избегания ошибок». Впоследствии Дэниел А. Лидар предложил название «подпространство без декогеренции» для пространства, в котором существуют эти DF-состояния. Лидар изучил силу DF-состояний по отношению к возмущениям и обнаружил, что когерентность, преобладающая в DF-состояниях, может быть нарушена эволюцией гамильтониана системы. Это наблюдение выявило еще одну предпосылку для возможного использования DF-состояний для квантовых вычислений. Полностью общее требование для существования DF-состояний было получено Лидаром, Д. Бэконом и KB Whaley, выраженное в терминах представления суммы операторов Крауса (OSR). Позднее А. Шабани и Лидар обобщили структуру DFS, смягчив требование, чтобы начальное состояние было DF-состоянием, и модифицировали некоторые известные условия для DFS. ^[3]

Последующее развитие было сделано в обобщении картины DFS, когда Э. Книлл, Р. Лафламм и Л. Виола ввели концепцию «бесшумной подсистемы». ^[1] Книлл распространил ее на многомерные неприводимые представления алгебры , генерирующие динамическую симметрию во взаимодействии системы и окружающей среды. Более ранние работы по DFS описывали состояния DF как синглеты , которые являются одномерными неприводимыми представлениями. Эта работа оказалась успешной, поскольку результатом этого анализа стало снижение числа кубитов, необходимых для построения DFS при коллективной декогеренции, с четырех до трех. ^[1] Обобщение от подпространств до подсистем сформировало основу для объединения большинства известных стратегий предотвращения декогеренции и обнуления.

Рассмотрим N -мерную квантовую систему S, связанную с ванной B и описываемую комбинированным гамильтонианом система-ванна следующим образом: где гамильтониан взаимодействия задается обычным образом как и где действует только на систему (ванну), и является гамильтонианом системы (ванны), и является оператором тождества, действующим на систему (ванну). При этих условиях динамическая эволюция в пределах , где является гильбертовым пространством системы, является полностью унитарной (все возможные состояния ванны), если и только если:$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$$${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$$${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$$${\displaystyle {\hat {S}}_{i}{\big (}{\hat {B}}_{i}{\big )}}$${\displaystyle {\hat {H}}_{S}{\big (}{\hat {H}}_{B}{\big )}}$${\displaystyle {\hat {I}}_{S}{\big (}{\hat {I}}_{B}{\big )}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle \forall |\phi \rangle }$

Другими словами, если система начинается в (т.е. система и термостат изначально разделены), а гамильтониан системы оставляет инвариантным, то она является DFS тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию (i).${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$${\textstyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}=\operatorname {span} \left[\left\{|\phi _{k}\rangle \right\}_{k=1}^{N}\right]}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

Эти состояния являются вырожденными собственными состояниями и , таким образом, различимы, следовательно, сохраняют информацию в определенных процессах декогерентизации. Любое подпространство системного гильбертова пространства, которое удовлетворяет указанным выше условиям, является подпространством, свободным от декогерентности. Однако информация все еще может «просочиться» из этого подпространства, если условие (iii) не выполняется. Поэтому, даже если DFS существует при гамильтоновых условиях, все еще существуют неунитарные действия, которые могут действовать на эти подпространства и выводить состояния из них в другое подпространство, которое может быть или не быть DFS системного гильбертова пространства.${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$

Пусть будет N-мерным DFS, где — гильбертово пространство системы (только квантовой системы). Операторы Крауса , записанные в терминах базисных состояний N , которые охватывают , задаются как: ^{[ необходимо пояснение ]} где ( — комбинированный гамильтониан системы-ванны), действует на , а — произвольная матрица, которая действует на ( ортогональное дополнение к ). Поскольку действует на , то он не создаст декогеренцию в ; однако, он может (возможно) создать эффекты декогеренции в . Рассмотрим базисные кеты , которые охватывают и, кроме того, они выполняют:${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{l}={\begin{pmatrix}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\bar {A}} _{l}\end{pmatrix}},\quad g_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|\mathbf {U} _{C}|j\rangle }$$${\textstyle \mathbf {U} _{C}=\exp \left({-i\mathbf {H} _{C}t}/{\hbar }\right)}$${\displaystyle \mathbf {H} _{C}}$${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$$${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle =g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle ,\quad \forall {l}.}$$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$является произвольным унитарным оператором и может зависеть от времени или нет, но он не зависит от индексирующей переменной . 's являются комплексными константами. Поскольку spans , то любое чистое состояние можно записать как линейную комбинацию этих базисных кетов:${\displaystyle l}$${\displaystyle g_{l}}$${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{j=1}^{N}b_{j}|j\rangle ,\quad b_{j}\in \mathbb {C} .}$$

Это состояние будет свободным от декогеренции; это можно увидеть, рассмотрев действие на :${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle )\\&=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle )\\\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle .\end{aligned}}}$$

Следовательно, с точки зрения представления оператора плотности , эволюция этого состояния имеет вид:${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \rho _{\text{initial}}=|\psi \rangle \langle \psi |}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{final}}&=\sum _{l}\mathbf {A} _{l}\rho _{\text{initial}}\mathbf {A} _{l}^{\dagger }\\&=\sum _{l}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |h_{l}\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }\\&=\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

Выражение выше говорит, что является чистым состоянием и что его эволюция унитарна, поскольку является унитарным. Следовательно, любое состояние в не будет декогерировать, поскольку его эволюция управляется унитарным оператором, и поэтому его динамическая эволюция будет полностью унитарна. Таким образом, является подпространством, свободным от декогеренции. Приведенный выше аргумент можно обобщить и на начальное произвольное смешанное состояние . ^[1]${\displaystyle \rho _{\text{final}}}$${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

Эта формулировка использует полугрупповой подход . Декогерентный член Линдблада определяет, когда динамика квантовой системы будет унитарной; в частности, когда , где — оператор плотности, представляющий состояние системы, динамика будет свободна от декогеренции. Пусть span , где — гильбертово пространство системы. При предположениях, что:${\displaystyle L_{D}[\rho ]=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы быть DFS, является :${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle \forall {|j\rangle }}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha }|j\rangle =\lambda _{\alpha }|j\rangle ,\quad \forall \alpha .}$$

Вышеприведенное выражение утверждает, что все базисные состояния являются вырожденными собственными состояниями генераторов ошибок . Таким образом, их соответствующие термины когерентности не декогерируют. Таким образом, состояния внутри останутся взаимно различимыми после процесса декогерирования, поскольку их соответствующие собственные значения вырождены и, следовательно, идентифицируемы после действия под действием генераторов ошибок.${\displaystyle |j\rangle }$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {F} _{\alpha }\right\}_{\alpha =1}^{M=N\times {N}}.}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

DFS можно рассматривать как «кодирование» информации через ее набор состояний. Чтобы увидеть это, рассмотрим d -мерную открытую квантовую систему, которая подготовлена ​​в состоянии - неотрицательном (т.е. ее собственные значения положительны), нормализованном по следу ( ), операторе плотности, который принадлежит пространству Гильберта–Шмидта системы , пространству ограниченных операторов на ( ). Предположим, что этот оператор плотности (состояние) выбран из набора состояний , DFS (гильбертово пространство системы) и где . Этот набор состояний называется кодом , потому что состояния внутри этого набора кодируют определенный вид информации; ^[4] то есть набор S кодирует информацию через свои состояния. К этой информации, которая содержится внутри, должен быть доступ; поскольку информация закодирована в состояниях в , эти состояния должны быть различимы для некоторого процесса, скажем, который пытается получить информацию. Следовательно, для двух состояний процесс сохраняет информацию для этих состояний, если состояния остаются такими же различимыми после процесса, как и до него. Выражаясь более общим образом, код (или DFS) сохраняется процессом тогда и только тогда, когда каждая пара состояний так же различима после его применения, как и до его применения. ^[4] Более практичным описанием было бы: сохраняется процессом тогда и только тогда, когда и${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho ]=1}$${\displaystyle d\times d}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {B({\mathcal {H}})}}}$${\displaystyle S=\left\{\rho _{i}\right\}_{i=1}^{n}\in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle n<d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S,\;(i\neq j)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle \forall {\boldsymbol {\rho }},{\boldsymbol {\rho }}'\in S}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$$${\displaystyle {\big \|}{\boldsymbol {\zeta }}{\big (}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big )}{\big \|}_{1}={\big \|}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big \|}_{1}.}$$

Это просто говорит о том, что это карта, сохраняющая расстояние следа 1:1 на . ^[4] На этой картинке DFS представляют собой наборы состояний (скорее кодов), взаимная различимость которых не зависит от процесса .${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

Поскольку DFS могут кодировать информацию через свои наборы состояний, то они защищены от ошибок (процессов декогерирования). Таким образом, DFS можно рассматривать как особый класс QECC, где информация кодируется в состояния, которые могут быть нарушены взаимодействием с окружающей средой, но восстановлены некоторым обратным процессом. ^[1]

Рассмотрим код , который является подпространством пространства Гильберта системы, с закодированной информацией, заданной (т. е. «кодовыми словами»). Этот код может быть реализован для защиты от декогеренции и, таким образом, предотвращения потери информации в небольшой части пространства Гильберта системы. Ошибки вызваны взаимодействием системы с окружающей средой (ванной) и представлены операторами Крауса. ^[1] После того, как система взаимодействовала с ванной, содержащаяся в ней информация должна быть «декодирована»; поэтому для извлечения этой информации вводится оператор восстановления . Таким образом, QECC является подпространством вместе с набором операторов восстановления${\displaystyle C=\operatorname {span} \left[\left\{|j_{k}\rangle \right\}\right]}$${\displaystyle \left\{|j_{k}\rangle \right\}}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$

Пусть будет QECC для операторов ошибок, представленных операторами Крауса , с операторами восстановления Тогда является DFS тогда и только тогда, когда при ограничении на , тогда , ^[1] где — обратный оператор эволюции системы.${\displaystyle C}$${\displaystyle \left\{\mathbf {A} _{l}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {R} _{r}\propto \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger },\forall {r}}$${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger }}$

В этой картине обращения квантовых операций DFS являются частным случаем более общих QECC, при ограничении которых заданным кодом операторы восстановления становятся пропорциональными обратному оператору эволюции системы, что позволяет осуществлять унитарную эволюцию системы.

Обратите внимание, что тонкое различие между этими двумя формулировками существует в двух словах conservation и Correcting ; в первом случае используется метод error- Prevention , тогда как во втором случае это error- Correction . Таким образом, две формулировки отличаются тем, что одна является пассивным методом, а другая - активным методом.

Рассмотрим двухкубитное гильбертово пространство, охватываемое базисными кубитами , которые подвергаются коллективной дефазировке . Между этими базисными кубитами будет создана случайная фаза ; поэтому кубиты преобразуются следующим образом:${\displaystyle \left\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\right\}}$${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{2i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

При этом преобразовании базисные состояния получают тот же самый фазовый фактор . Таким образом, принимая это во внимание, состояние может быть закодировано с помощью этой информации (т.е. фазового фактора) и, таким образом, эволюционировать унитарно в этом процессе дефазировки, определяя следующие закодированные кубиты:${\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}$${\displaystyle e^{i\phi }}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{E}\rangle &=|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1_{E}\rangle &=|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

Поскольку это базисные кубиты, то любое состояние можно записать как линейную комбинацию этих состояний; следовательно,$${\displaystyle |\psi _{E}\rangle =l|0_{E}\rangle +m|1_{E}\rangle ,\quad l,m\in \mathbb {C} .}$$

Это состояние будет развиваться в процессе дефазировки следующим образом:$${\displaystyle |\psi _{E}\rangle \longrightarrow l|0\rangle _{1}\otimes e^{i\phi }|1\rangle _{2}+e^{i\phi }m|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}=e^{i\phi }|\psi _{E}\rangle .}$$

Однако общая фаза для квантового состояния ненаблюдаема и, как таковая, не имеет значения в описании состояния. Следовательно, остается инвариантным относительно этого процесса дефазировки, и, следовательно, базисный набор является подпространством без декогеренции 4-мерного гильбертова пространства. Аналогично, подпространства также являются DFS.${\displaystyle |\psi _{E}\rangle }$${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}}}$${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}},{\big \{}|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}{\big \}}}$

Рассмотрим квантовую систему с N-мерным системным гильбертовым пространством , которое имеет общую декомпозицию подсистемы Подсистема является подсистемой без декогеренции относительно связи система-среда, если каждое чистое состояние в остается неизменным относительно этой подсистемы при эволюции OSR. Это верно для любого возможного начального состояния среды. ^{[5] Чтобы понять разницу между} подпространством без декогеренции и подсистемой без декогеренции , рассмотрим кодирование одного кубита информации в двухкубитную систему. Эта двухкубитная система имеет 4-мерное гильбертово пространство; один из методов кодирования одного кубита в это пространство заключается в кодировании информации в подпространство, которое охватывается двумя ортогональными кубитами 4-мерного гильбертова пространства. Предположим, что информация кодируется в ортогональном состоянии следующим образом:${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$${\textstyle {\mathcal {H}}_{C}=\bigoplus _{j=1}^{N}(\bigotimes _{i=1}^{l_{N}}{\mathcal {H}}_{ji}).}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow \alpha |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}+\beta |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.}$$

Это показывает, что информация была закодирована в подпространстве двухкубитного гильбертова пространства. Другой способ кодирования той же информации — закодировать только один из кубитов двух кубитов. Предположим, что первый кубит закодирован, тогда состояние второго кубита совершенно произвольно, поскольку:

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow {\bigl (}\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}{\bigr )}\otimes |\psi \rangle .}$$

Это отображение представляет собой отображение «один ко многим» из кодирующей информацию одного кубита в двухкубитное гильбертово пространство. ^[5] Вместо этого, если отображение выполняется в , то оно идентично отображению из кубита в подпространство двухкубитного гильбертова пространства.${\displaystyle |\psi \rangle }$

• Квантовая декогеренция
• Квантовое измерение