Пространство Де Бранжа

В математике пространство де Бранжа (иногда пишется как пространство Де Бранжа ) — это понятие в функциональном анализе , которое строится на основе функции Де Бранжа .

Концепция названа в честь Луи де Бранжа, который доказал многочисленные результаты, касающиеся этих пространств, особенно пространств Гильберта , и использовал эти результаты для доказательства гипотезы Бибербаха .

Функция Эрмита-Билера , также известная как функция де Бранжа, представляет собой целую функцию E от до , удовлетворяющую неравенству для всех z в верхней половине комплексной плоскости .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$

Для функции Эрмита-Билера E пространство де Бранжа B ( E ) определяется как множество всех целых функций F таких, что :$${\displaystyle F/E,F^{\#}/E\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$$

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$— открытая верхняя половина комплексной плоскости.
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$.
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$— обычное пространство Харди на открытой верхней полуплоскости.

Пространство де Бранжа можно также определить как все целые функции F, удовлетворяющие всем следующим условиям:

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

Существует также аксиоматическое описание, полезное в теории операторов.

Дано пространство де Бранжа B ( E ) . Определим скалярное произведение:$${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.}$$

Можно доказать, что пространство де Бранжа с таким скалярным произведением является гильбертовым пространством .

• Кристиан Ремлинг (2003). «Обратная спектральная теория для одномерных операторов Шредингера: функция A». Math. Z . 245 : 597–617. doi :10.1007/s00209-003-0559-2.