ДеГрут обучение

Обучение ДеГрута относится к типу социального обучения по принципу «правила большого пальца». Идея была сформулирована в общей форме американским статистиком Моррисом Х. ДеГрутом ; ^[1] предшественники были сформулированы Джоном Р. П. Френчем ^[2] и Фрэнком Харари. ^[3] Модель использовалась в физике , информатике и наиболее широко в теории социальных сетей . ^{[4] [5]}

Возьмем общество агентов, где у каждого есть мнение по какому-либо вопросу, представленное вектором вероятностей . Агенты не получают новой информации, на основе которой они могли бы обновить свои мнения, но они общаются с другими агентами. Связи между агентами (кто знает кого) и вес, который они придают мнениям друг друга, представлены матрицей доверия, где — вес, который агент придает мнению агента. Таким образом, матрица доверия находится во взаимно-однозначном отношении с взвешенным направленным графом , где есть ребро между и тогда и только тогда, когда . Матрица доверия является стохастической , ее строки состоят из неотрицательных действительных чисел, причем каждая строка дает в сумме 1.${\displaystyle n}$${\displaystyle p(0)=(p_{1}(0),\dots ,p_{n}(0))}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle j}$${\displaystyle я}$${\displaystyle j}$${\displaystyle T_{ij}>0}$

Формально убеждения обновляются в каждом периоде по мере

${\displaystyle p(t)=Tp(t-1)}$

поэтому мнения th периода связаны с первоначальными мнениями${\displaystyle т}$

${\displaystyle p(t)=T^{t}p(0)}$

Важный вопрос заключается в том, сходятся ли убеждения к пределу и друг к другу в долгосрочной перспективе. Поскольку матрица доверия является стохастической , стандартные результаты в теории цепей Маркова могут быть использованы для установления условий, при которых предел

${\displaystyle p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)}$

существует для любых начальных убеждений . Следующие случаи рассматриваются в Golub и Jackson ^[6] (2010).${\displaystyle p(0)\in [0,1]^{n}}$

Если граф социальной сети (представленный матрицей доверия) является сильно связанным , то сходимость убеждений эквивалентна каждому из следующих свойств:

• представленный график является апериодическим${\displaystyle Т}$
• существует единственный левый собственный вектор , соответствующий собственному значению 1, сумма элементов которого равна 1, такой что для каждого , для каждого , где обозначает скалярное произведение .${\displaystyle с}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle p\in [0,1]^{n}}$${\displaystyle \left(\lim _{t\to \infty }T^{t}p\right)_{i}=s\cdot p}$${\displaystyle i\in \{1,\точки ,n\}}$${\displaystyle \cdot}$

Эквивалентность между двумя последними утверждениями является прямым следствием теоремы Перрона–Фробениуса .

Для того чтобы иметь конвергентные убеждения, не обязательно иметь тесно связанную социальную сеть, однако равенство ограничивающих убеждений в общем случае не выполняется.

Мы говорим, что группа агентов замкнута , если для любого , только если . Убеждения сходятся тогда и только тогда, когда каждый набор узлов (представляющих индивидов), который сильно связан и замкнут, также апериодичен .${\displaystyle C\subseteq \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle i\in C}$${\displaystyle T_{ij}>0}$${\displaystyle j\in C}$

Говорят, что группа людей достигает консенсуса, если для любого . Это означает, что в результате процесса обучения в пределе у них возникает одно и то же убеждение по данному вопросу.${\displaystyle С}$${\ displaystyle p_ {i} (\ infty) = p_ {j} (\ infty)}$${\displaystyle i,j\in C}$

В случае сильно связанной и апериодической сети вся группа достигает консенсуса. В общем, любая сильно связанная и закрытая группа индивидов достигает консенсуса для каждого начального вектора убеждений тогда и только тогда, когда он апериодический. Если, например, есть две группы, удовлетворяющие этим предположениям, они достигают консенсуса внутри групп, но не обязательно консенсуса на уровне общества.${\displaystyle С}$

Возьмем сильно связанную и апериодическую социальную сеть. В этом случае общее ограничивающее убеждение определяется первоначальными убеждениями через

${\displaystyle p(\infty)=s\cdot p(0)}$

где — уникальный левый собственный вектор единичной длины , соответствующий собственному значению 1. Вектор показывает веса, которые агенты придают начальным убеждениям друг друга в пределе консенсуса. Таким образом, чем выше , тем большее влияние индивидуум оказывает на консенсусное убеждение.${\displaystyle с}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle с}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle я}$

Свойство собственного вектора подразумевает, что ${\displaystyle s=sT}$

${\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}}$

Это означает, что влияние представляет собой средневзвешенное влияние тех агентов , которые обращают внимание на , с весами их уровня доверия. Следовательно, влиятельные агенты характеризуются тем, что им доверяют другие лица с высоким влиянием.${\displaystyle я}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle я}$

Эти примеры приведены в работе Джексона ^[4] (2008).

Рассмотрим общество из трех человек со следующей матрицей доверия:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

Следовательно, первый человек взвешивает убеждения двух других с равным весом, в то время как второй слушает только первого, третий только второго человека. Для этой структуры социального доверия предел существует и равен

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}\right)p(0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)}$

поэтому вектор влияния равен , а консенсусное убеждение равно . Другими словами, независимо от первоначальных убеждений, индивиды достигают консенсуса, где первоначальное убеждение первого и второго человека имеет в два раза большее влияние, чем убеждение третьего.${\displaystyle s=\left(2/5,2/5,1/5\right)}$${\displaystyle 2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3}(0)}$

Если мы изменим предыдущий пример так, что третий человек также будет слушать исключительно первого, то получим следующую матрицу доверия:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

В этом случае для любого мы имеем${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}}$

так что не существует и убеждения не сходятся в пределе. Интуитивно, 1 обновляется на основе убеждений 2 и 3, в то время как 2 и 3 обновляются исключительно на основе убеждения 1, поэтому они меняют свои убеждения в каждом периоде.${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}}$

Можно изучить результаты процесса обучения ДеГроота в больших обществах, то есть в пределе.${\displaystyle n\to \infty }$

Пусть предмет, по которому у людей есть мнения, будет "истинным состоянием" . Предположим, что у людей есть независимые шумовые сигналы (теперь верхний индекс относится ко времени, аргумент к размеру общества). Предположим, что для всех матрица доверия такова, что ограничивающие убеждения существуют независимо от начальных убеждений. Тогда последовательность обществ называется мудрой , если${\displaystyle \mu \in [0,1]}$${\displaystyle p_{i}^{(0)}(n)}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T(n)}$${\displaystyle p_{i}^{(\infty)}(n)}$${\displaystyle \left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0}$

где обозначает сходимость по вероятности . Это означает, что если общество растет без ограничений, со временем у них возникнет общее и точное убеждение по неопределенному вопросу.${\displaystyle {\xrightarrow {\ p\ }}}$

Необходимое и достаточное условие мудрости может быть задано с помощью векторов влияния. Последовательность обществ мудра тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0}$

то есть общество мудро именно тогда, когда влияние даже самого влиятельного индивида исчезает в пределе большого общества. Для дальнейшей характеристики и примеров см. Голуб и Джексон ^[6] (2010).