Циклический многогранник

В математике циклический многогранник , обозначаемый C ( n , d ), — это выпуклый многогранник , образованный выпуклой оболочкой n различных точек на рациональной нормальной кривой в Rd ^, где n больше d . Эти многогранники изучались Константином Каратеодори , Дэвидом Гейлом , Теодором Моцкиным , Виктором Клее и другими. Они играют важную роль в полиэдральной комбинаторике : согласно теореме о верхней границе , доказанной Питером МакМалленом и Ричардом Стэнли , граница Δ ( n , d ) циклического многогранника C ( n , d ) максимизирует число f _{i i} - мерных граней среди всех симплициальных сфер размерности d −1 с n вершинами.

Кривая момента определяется как${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \mathbf {x} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}}$. ^[1]

-мерный циклический многогранник с вершинами является выпуклой оболочкой${\displaystyle д}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}}$

различных точек на кривой момента. ^[1]${\displaystyle n>d\geq 2}$${\displaystyle \mathbf {x} (t_{i})}$${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$

Комбинаторная структура этого многогранника не зависит от выбранных точек, а полученный многогранник имеет размерность d и число вершин n . ^[1] Его граница представляет собой ( d − 1)-мерный симплициальный многогранник, обозначаемый Δ ( n , d ).

Условие четности Гейла ^[2] обеспечивает необходимое и достаточное условие для определения грани на циклическом многограннике.

Пусть . Тогда -подмножество образует грань тогда и только тогда, когда любые два элемента из разделены четным числом элементов из в последовательности .${\displaystyle T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}}$${\displaystyle д}$${\displaystyle T_{d}\subseteq T}$${\displaystyle C(n,d)}$ ${\displaystyle T\setminus T_{d}}$${\displaystyle T_{d}}$${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})}$

Циклические многогранники являются примерами соседских многогранников , в которых каждый набор из не более чем d /2 вершин образует грань. Они были первыми известными соседскими многогранниками, и Теодор Моцкин предположил, что все соседские многогранники комбинаторно эквивалентны циклическим многогранникам, но теперь известно, что это неверно. ^{[3] [4]}

Число i -мерных граней циклического многогранника Δ ( n , d ) определяется по формуле

${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$

и полностью определить с помощью уравнений Дена–Зоммервилля .${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$

Теорема о верхней границе утверждает, что циклические многогранники имеют максимально возможное число граней для заданной размерности и числа вершин: если Δ — симплициальная сфера размерности d − 1 с n вершинами, то

${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$

Гипотеза о верхней границе для симплициальных многогранников была предложена Теодором Моцкиным в 1957 году и доказана Питером МакМалленом в 1970 году. Виктор Клее предположил, что то же самое утверждение должно быть справедливо для всех симплициальных сфер, и это действительно было установлено в 1975 году Ричардом П. Стэнли ^[5] с использованием понятия кольца Стэнли–Райснера и гомологических методов.

• Комбинаторная коммутативная алгебра